Title: Met
1Metóda Konecných Prvkovvo výrobných technológiach
2Obsah prednášky
- Vektor, matica, tenzor
- Základné matematické operácie
- Spôsoby riešenia sústavy lineárnych algebraických
rovníc - Príklady
- Spôsoby riešenia sústavy nelineárnych
algebraických rovníc - Riešice používané programom ANSYS
3Základná terminológia
- Tenzor
- je fyzikálna velicina nezávislá od aktuálne
definovaného súradnicového systému - je urcená stupnom a usporiadaním
- Matica
- tenzor 2-ého rádu (stupna)
- Vektor
- tenzor 1-ého rádu (stupna)
- pre úplné urcenie veliciny je potrebné poznat
velkost, smer a nositelku - (volný, viazaný, polohový, jednotkový)
- Skalár
- tenzor 0-tého rádu (stupna)
- je urcený velkostou
4Základná terminológia
- pri uvažovaní 3D súradnicového systému je
tenzorom 2-ého rádu napr. napätie v bode telesa - tenzorom 1-ého rádu je napr. sila
- materiálové vlastnosti, ...
5Základné matematické operácie
Systém lineárnych algebraických
rovníc môžeme v maticovom tvare zapísat A x
b
6Základné matematické operácie
kde aij - prvok matice na i-tom riadku
a j-tom stlpci Ak m n - štvorcová matica m
1 - riadková matica (vektor) n 1 - stlpcová
matica (vektor)
7Základné matematické operácie
Scítavanie (odcítavanie) matíc ! matice A, B
musia mat rovnaký rozmer (m ? n) C A
B cij aij bij C A - B cij aij
bij Násobenie matíc kA C k aij
cij i 1, 2, ... l j 1, 2, ... n
asociatívnost A (B C) (A B) C avšak A B
? B A
8Základné matematické operácie
Transponovaná matica ak A aij potom AT
aji Symetrická matica štvorcová (n ? n)
matica A sa nazýva symetrická ak platí A AT
aij aji Jednotková matica IA AI A
9Základné matematické operácie
Determinant matice Cramerovo pravidlo Si
ngulárna matica det A 0
10Základné matematické operácie
Pozitívne definitná matica štvorcová (n ? n)
matica A sa nazýva pozitívne definitná ak pre
lubovolný nenulový vektor x platí xTA x gt 0
Matica A je potom nesingulárna. Inverzná
matica ! existuje iba pre štvorcové a
nesingulárne matice, ak det A ? 0 A A-1 A-1A
I kde C cij cij (-1)ij Mij Mij
je determinant matice, ktorá vznikne vynechaním
i-teho riadku a j-teho stlpca z matice A.
11Základné matematické operácie
Derivovanie a integrovanie matíc Okrem toho
platí (A B)T BTAT (A B C)T CT(A B)T
CTBTAT pre štvorcové matice A B BTA (A B)-1
B-1A-1
12Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc
- Na vyriešenie systému lineárnych algebraických
rovníc môžeme použit - Priame metódy
- inverznú maticu
- Gaussovu eliminacnú metódu (Gauss Elimination)
- Gauss-Jordanovu metódu (Gauss-Jordan Elimination)
- Cramerove pravidlo (Cramers Rule)
- LU rozklad (LU Decomposition)
- Choleskyho rozklad (Cholesky Decomposition)
- Nepriame metódy
- iteracné metódy (približné) napr.
Gauss-Seidelovu metódu, Jacobiho metódu vhodné
pre riešenie velkých sústav rovníc - ...
13Príklad Nájdite riešenie (x1 až x3) sústavy
rovníc x1 3x2 2x3 2 2x1 4x2 2x3
1 4x2 x3 3 Sústavu je možné v maticovom
tvare zapísat
14Inverzná matica A x b A-1A x A-1b I x
A-1b x A-1b Matica kofaktorov
15Inverzná matica det A A -6 Výpocet
korenov x A-1b
16Inverzná matica Vzhladom na nárocný výpocet
inverznej matice, z dôvodu nutnosti pocítat
determinanty matíc, sa táto metóda v pocítacovej
mechanike prakticky nepoužíva. (vid Cramerova
metóda)
17Cramerovo pravidlo kde D(i) je matica,
ktorej i-ty stlpec je nahradený vektorom
b. Výpocet korenov
18Cramerovo pravidlo
19Cramerovo pravidlo Praktické použitie tejto
metódy je obmedzené na malé matice n ? m
(približne n,m 5). Napr. pre výpocet
determinantu matice 10x10 by bolo potrebné
vykonat cez 30 miliónov operácií. Determinant by
mal 10! 3 628 800 clenov. Preto sa táto metóda
v pocítacovej mechanike, podobne ako metóda
inverznej matice, nepoužíva.
20Gaussova eliminacná metóda
21Gaussova eliminacná metóda 1. krok
22Gaussova eliminacná metóda úprava druhého
riadku matice
23Gaussova eliminacná metóda
24Gaussova eliminacná metóda
25Gaussova eliminacná metóda
26Gaussova eliminacná metóda 1. krok
27Gaussova eliminacná metóda 2. krok
28Gaussova eliminacná metóda Spätnou
substitúciou - posledný koren n -
ostatné korene (n-1) až 1 Výpocet korenov
29Gaussova eliminacná metóda Táto metóda v
pocítacovej mechanike používa velmi casto.
30LU dekompozícia A L U A x L U x L (U
x) b L y b U x y
31LU rozklad
32LU rozklad
33LU rozklad L y b Doprednou
substitúciou
34LU rozklad U x y Spätnou substitúciou
35LU rozklad Skúška správnosti A x b
36LU rozklad Táto metóda v pocítacovej mechanike
používa velmi casto.
37Choleskyho dekompozícia metóda použitelná len
pre symetrické matice matica musí byt
dostatocne pozitívne definitná A U T U
alternatívne A L LT
38Choleskyho rozklad A x b
39Choleskyho rozklad
40Choleskyho rozklad
41Choleskyho rozklad Doprednou
substitúciou
42Choleskyho rozklad Spätnou
substitúciou
43Choleskyho rozklad Skúška správnosti A x
b
44Choleskyho rozklad Táto metóda v pocítacovej
mechanike používa velmi casto.
45Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Majme sústavu rovníc A x b Pre
maticu A (n x n) platí aii ? 0 pre i
1...n Maticu A rozložme A AL AD
AU AL dolná trojuholníková matica AD
diagonálna matica diagaii AU horná
trojuholníková matica príp. ALT transponovaná
dolná trojuholníková matica Dalej uvažujeme len
prípad AU ALT (pre symetrické
matice) teda A AL AD ALT
46Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda
47Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Iteracný algoritmus pre výpocet korenov
Jacobiho iteracná metóda Gauss-Seidelova
iteracná metóda
48Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Iteracný algoritmus pre výpocet korenov
Jacobiho iteracná metóda kde Gauss-Seidelova
iteracná metóda kde
49Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Príklad Jacobiho metódou nájdite korene
sústavy rovníc s presnostou ? 0,0003 A x
b Rozložíme maticu A
50Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda
51Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Štartovacie riešenie (zvolené
riešenie) 1. iterácia
52Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda 2.
iterácia
53Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda 3.
iterácia
54Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda 4.
iterácia
55Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná metóda 164.
iterácia Presné riešenie
56Jacobiho a Gauss-Seidelova iteracná
metóda Skúška správnosti A x b Presné
riešenie
57Zle podmienené matice Majme sústavu rovníc
A x b Ak je matica A zle podmienená
(ill-conditioned matrix), riešenie úlohy môže byt
obtiažne. Napr. malé zaokrúhlenia clenov b
vektora, môže výrazne ovplyvnit riešenie /korene/
sústavy rovníc (x vektor).
58Zle podmienené matice Príklad Riešením
sústavy rovníc 9x 8y 0,8 8x 7y
0,7 sú korene x 0 y 0,1 Ak zavedieme
malú chybu do pravej strany rovníc (vektor b)
(napr. zaokrúhlovacou chybou) 9x 8y
0,81 8x 7y 0,69 sú korene x -0,15 y
0,27
59Riešenie systému nelineárnych algebraických rovníc
60Riešice implementované v programe ?NSYS
- Direct Solvers - priame riešice
- Sparse Direct Solver využíva LU rozklad
- Frontal (Wavefront) Solver založený na metóde
Gaussovej eliminácie - Iterative Solver - iteratívne riešice
- Jacobi Conjugate Gradient (JCG) Solver
- Preconditioned Conjugate Gradient (PCG) Solver
- Incomplete Cholesky Conjugate Gradient (ICCG)
Solver - Automatic Iterative (Fast) Solver Option
- Parallel/Distributed Solvers - distribuované
riešice - Algebraic Multigrid (AMG) Solver
- Distributed Jacobi Conjugate Gradient (DJCG)
Solver - Distributed Preconditioned Conjugate Gradient
(DPCG) Solver