Analisi e gestione del rischio

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Analisi e gestione del rischio

• Lezione 13

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Funzioni di copula

• Alla base delle funzioni di copula cè il
  principio delle trasformazione con integrale di
  probabilità.
• Se per una variabile Xi con distribuzione di
  probabilità Hi calcoliamo la trasformata
  integrale ui Hi(Xi), ui ha distribuzione
  uniforme in 0,1.
• Dalla distribuzione congiunta H(X1, X2,, Xn ),
• H(X1, X2,, Xn )
• H(H1-1 (u1), H2-1 (u2),, Hn-1 (un) )C(u1,
  u2,,un)
• La funzione C(u1, u2,,un) è detta funzione di
  copula. Che proprietà deve avere?

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Funzioni di copula

• Prendiamo per esempio il caso bivariato.
• Una funzione z C(u,v) è detta copula se e solo
  se
• z, u e v sono in 0,1
• C(0,v) C(u,0) 0, C(1,v) v, C(u,1) u
• C(u2, v2 ) C(u1, v2 ) C (u2, v1) C (u1, v1)
  ? 0 per tutti i valori u2 gt u1 e v2 gt v1
• Teorema di Sklar ogni distribuzione congiunta
  può essere scritta come una funzione di copula
  che abbia le distribuzioni marginali come
  argomenti e qualsiasi funzione di copula che
  abbia distribuzioni come argomenti è una
  distribuzione congiunta

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Funzioni di copula esempi

• Due rischi A e B con probabilità congiunta H(A,B)
  e probabilità marginali Ha(A) e Hb(B)
• H(A,B) C(Ha , Hb), e C è una funzione di
  copula.
• Casi
• 1) Cind(Ha , Hb) HaHb, rischi indipendenti
• 2) Cmax(Ha , Hb) min(Ha,Hb) dipendenza perfetta
  positiva
• 3) Cmin(Ha , Hb) max(Ha Hb 1,0) dipendenza
  perfetta negativa
• Dipendenza imperfetta (limiti di Fréchet)
• max(Ha Hb 1,0) ? C(Ha , Hb) ? min(Ha,Hb)

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Correlazione

• Uno dei problemi della non-normalità dei
  rendimenti a livello multivariato è che la
  correlazione lineare non è affidabile
• Può verificarsi che la correlazione lineare
  risulti inferiore a 1 (superiore a 1) anche se
  due variabili sono perfettamente dipendenti.
• Questo si verifica quando
• Le distribuzioni marginali non sono ellittiche
• Le relazioni tra le due variabili non sono
  lineari
• Esempio x N(0,1), y x2 ?1 è semplice
  mostrare che la covarianza è zero, anche se
  ovviamente x e y sono perfettamente correlati.

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Funzioni di copula e struttura di dipendenza

• Le funzioni di copula sono legate alle
  statistiche non-parametriche di dipendenza, come
  il ? di Kendall o il ?S di Spearmans
• Si noti, che, a differenza degli stimatori non
  parametrici, lindice di correlazione lineare ?
  dipende dalle distribuzioni marginali e può non
  coprire lintero range tra 1 e 1, e rende
  problematica la determinazione del grado relativo
  di dipendenza.

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Esempi di funzioni di copula Copule ellittiche

• Distribuzioni multivariate ellittiche, come la
  normale o la t di Student, possono essere
  utilizzati come funzioni di copula.
• Copule normali sono ottenute da
• C(u1, u2,, uN) N(N 1 (u1 ), N 1 (u2 ), ,
  N 1 (uN ) ?)
• e gli eventi estremi sono indipendenti.
• Per funzioni di copula Student t con v gradi di
  libertà
• C(u1, u2,, uN) T(T 1 (u1 ), T 1 (u2 ), ,
  T 1 (uN ) ?, v)
• eventi estremi sono dipendenti, e lindice di
  tail dependence è una funzione di ? e v.

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Esempi di funzioni di copula Copule archimedee

• Copule archimedee sono costruite a partire da una
  funzione generatrice ? da cui calcoliamo
• C(u,v) ? 1 ?(u)?(v)
• Un esempio è la copula di Clayton. Ponendo
• ?(t) t a 1/a
• otteniamo
• C(u,v) maxu av a 1,0 1/a