El modelo de la gota l

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El modelo de la gota líquida
1. Una detallada teoría de la ligadura nuclear,
basada en técnicas matemáticas y conceptos
físicos altamente sofisticadas, ha sido
desarrollada por Brueckner y colaboradores
(1954-1961).
2. Existe un modelo más crudo en el cual se
ignoran los aspectos más finos de las fuerzas
nucleares y se enfatiza la fuerte atracción
internuclear. Fue propuesto por Weizsäcker
(1935) sobre la base de una analogía, sugerida
por Bohr, de la materia nuclear con una gota
de líquido
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El modelo de la gota líquida
Bave B/A
En una gran parte de la Tabla Periódica, la
energía de ligadura por nucleón es
aproximadamente constante.
La densidad de masa de la materia nuclear es
aproximadamente constante en la mayoría de la
tabla periódica.
Estas dos propiedades de la materia nuclear son
muy similares a las propiedades de una gota de
líquido, especificamente la constante energía de
ligadura por molécula, aparte del efecto de
tensión superficial, y la densidad constante de
los líquidos incomprensibles.
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El modelo de la gota líquida
Las suposiciones esenciales del modelo de gota de
líquido
1. Un núcleo esférico consistente de materia
incomprensible, tal que R A1/3. 2. La fuerza
nuclear es idéntica para cada nucleón y en
particular, no depende de si éste es un protón o
un neutrón. Vpn Vpp Vnn (V denota el
potencial nuclear) 3. La fuerza nuclear satura.
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El modelo de la gota líquida
La energía de ligadura del núcleo.
Definición
(9)
El modelo de gota de líquido ? Fórmula de
Weizsäcker
(10)
Carl Friedrich von Weizsäcker, 1993 Un físico
alemán (1912-2007).
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El modelo de la gota líquida
(10)
Es el término de volumen que da cuenta de la
energía de ligadura de todos los nucleones como
si cada uno de ellos estuviera enteramente
rodeado por otros nucleones.
Es el término de superficie el cual corrige el
término de volumen de energía por el hecho de que
no todos los nucleones están rodeados por otros
nucleones sino que se encuentran en la superficie
o cerca de ella.
Los nucleones en la región de la superficie no
son atraídos tanto como lo son los que se
encuentran en el interior del un núcleo. Un
término proporcional al número de nucleones en la
región de la superficie debe ser restado al
término de volumen.
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El modelo de la gota líquida
(10)
Es el término de Coulomb el cual da la
contribución a la energía del núcleo debido a la
energía potencial de la carga nuclear.
Suponiendo una esfera cargada de radio r, como se
muestra en la figura (a). El trabajo adicional
requerido para adicionar una capa de grosor dr a
la esfera, puede ser calculado asumiendo la carga
(4/3)pr3? de la esfera original esta concentrado
en el centro del caparazón ver figura (b). La
energía potencial eléctrica del núcleo es por lo
tanto
donde
y
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El modelo de la gota líquida
(10)
Los tres términos que fueron discutidos
previamente tienen un sentido clásico. Los
siguientes términos, que van a ser discutidos,
son mecano cuánticos.
(1) El término de asimetría.
(2) El término de paring.
Estos incluyen
(3) El término de corrección de efecto de capa.
Es el término de asimetría el cual da cuenta
del hecho de que si todos los otros factores
fueran iguales, los núcleos más fuertemente
ligados, con un dado A, es el más cercano a tener
Z N.
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El modelo de la gota líquida
(10)
El principio de exclusión de Pauli establece que
dos fermiones no pueden ocupar exactamente el
mismo estado cuántico.
Diferentes sistemas de energía debido a
configuraciones asimétricas.
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El modelo de la gota líquida
1. Si Z N, entonces ambos pozos están
llenos al mismo nivel (el nivel de Fermi).
2. Si nos movemos un paso hacia arriba afuera de
la situación, es decir, en la dirección de N gt Z
(o Z gt N), entonces un protón debe ser cambiado a
un neutrón. Todas las otras cosas estando iguales
(incluyendo igual masa de protón y neutrón, este
estado tiene energía ?E mayor que el estado
inicial, donde ?E es el nivel de espaciado al
nivel Fermi.
3. Un segundo paso en la misma dirección causa
que el exceso sea 2?E.
4. Un siguiente paso significa mover un protón,
hacia arriba, tres rangos mientras cambia de
protón a neutrón y el exceso se hace 5?E.
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El modelo de la gota líquida
Efecto acumulativo
4. Por lo tanto, para cambiar de N Z 0 a N
gt Z, con A N Z permaneciendo
constante,requiere una energía de (N Z)2?E/8.
5. Esto es independiente si es tanto N o Z el
cual se vuelve más largo y significa que, si
todas las otras cosas son iguales, nucleidos con
Z N tienen menos energía y están, por lo tanto,
más fuertemente ligados que núcleos con Z ? N.
6. Los niveles de energía de una partícula en un
pozo de potencial tienen un espaciado
inversamente proporcional al volumen del pozo ,
así ?E A-1.
(11)
Este es el término de asimetría.
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El modelo de la gota líquida
(10)
1. Para un nucleído impar A (Z par, N impar o Z
impar, N par) ?d 0.
2. Para un A par hay dos clases
(12)
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El modelo de la gota líquida
(10)
Es el término que da cuenta del efecto de capa
nuclear cuando Z o N es algún número mágico. Este
término es mucho menos importante que otros. Por
lo tanto, no esta incluido en la mayoría de las
aplicaciones.
Una serie favorable de valores para los
coeficientes
aV 15.560 MeV aS 17.230MeV aC 0.6970
MeV aA 23.385 MeV aP 12.000 MeV
(13)
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El modelo de la gota líquida
(10)
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El modelo de la gota líquida
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El modelo de la gota líquida
4-4 Parábolas de masa y línea de estabilidad
Si hacemos una reorganización de la fórmula de
Weizsäcker, se puede escribir así
(14)
Para un número A de masa fijo, esta es la
ecuación de parábola con respecto a la variable
Z.
Debemos diferenciar la ecuación (14) y encontrar
la raiz (Z0, usualmente no es un número entero)
de la siguente ecuación (15). Z0 es el número
nuclear óptimo de protones para un número A de
masa fijo. El sistema nuclear con un número de
masa A especificado, es el más estable con número
de protón Z0.
(15)
(16)
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El modelo de la gota líquida
(16)
De la ecuación (15) los sistemas nucleares más
estables con varios números de masa A están
determinados por el valor de Z0. Usando la
relación A Z0 N somos capaces de trazar
líneas de estabilidad en el N-Z plot. Esto
sigue exactamente la forma empírica de la línea
de estabilidad en la figura. De la expresión
(16), podemos reconocer que la desviación de la
línea de estabilidad desde N Z o Z A/2 es
causada por la competición entre la energía de
Coulomb, que favorece Z0 lt A/2, y la energía de
asimetría que favorece Z0 A/2.
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El modelo de la gota líquida
(15)
Es claro, de la figura (a) que para nucleídos
A-impar puede haber solo un isóbaro estable.
(14)
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El modelo de la gota líquida
Para isobaras A-par, dos parábolas son generadas
por la ecuación (14), difiriendo en masa por2d.
Un caso típico esta dado en la figura (b).
Dependiendo de la curvatura de las parábolas y
de la separación 2d, pueden haber varios isóbaros
estables par-par. Figura (b) muestra que para
ciertos nucleidos impar-impar ambas condiciones
(15) se unen por lo que la desintegración
electrónica y positrónica para los nucleídos
idénticos es posible y de hecho ocurren.
(14)
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El modelo de la gota líquida
Tres tipos de desintegración ß-.
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El modelo de la gota líquida
4-5 Las implicaciones de la fórmula semi-empírica
de masa.
1. El término de volumen de binding aVA en la
fórmula de masa significa que cada nucleón
interactúa solo con sus vecinos más cercanos y
que la densidad constante es equivalente a quela
separación entre los vecinos más cercanos no
cambia con A. Todo esto significa saturación de
la fuerza nuclear y que está es de corto rango.
2. La densidad nuclear de nucleones es
aproximadamente 1 cada 7 fermis cúbicos, tal que
la separación promedio es de 1.9 fm. Por lo
tanto, el rango debe ser 1-2 fm.
1 fermi 10-15 m
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El modelo de la gota líquida
El modelo de gas de Fermi es una aplicación
mecano cuántica, cuantitativa, del modelo de
potencial medio discutido previamente. Le permite
a uno dar cuenta semi-cuantitativamente de varios
términos en la fórmula de Bethe-Weizsäker. En
este modelo, los nucleídos están considerados
como si estuvieran compuestos por dos gases de
fermiones, un gas de neutrones y un gas de
protones . Las partículas no interactúan, pero
están confinadas a una esfera que posee las
dimensiones del núcleo. Las interacciones
aparecen implícitamente por la suposición de que
el nucleón esta confinado en la esfera. El
modelo de gota de líquido esta basado en la
saturación de fuerzas nucleares y uno relaciona
la energía del sistema con sus propiedades
geométricas. El modelo de Fermi está basado en
los efectos de estadística cuántica en la energía
de los fermiones confinados. El modelo de Fermi
provee un medio para calcular las constantes aV,
aS y aA en la fórmula de Bethe-Weizsäker,
directamente de la densidad ? de la materia
nuclear. El éxito semi-cuantitativo justifica
adicionalmente a esta fórmula.
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El modelo de gas de Fermi.
El modelo de gas de Fermi esta basado en el hecho
de que una partícula de spin ½, confinada en un
volumen V, solo puede ocupar un número discreto
de estados. En el intervalo de momento d3p, el
número de estados es
con s 1/2. Este número va a ser derivado luego
para una caja cúbica, pero es, en efecto,
generalmente verdadero. Corresponde a una
densidad en el espacio de fases de 2 estados por
2ph3 de volumen en el espacio de fases. Ahora
ponemos N partículas en el volumen. En el estado
fundamental , las partículas llenan los niveles
más bajos de single particle, es decir,
aquellos hasta un momento máximo llamado
momento de Fermi ,pF, correspondiente a una
energía máxima,
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El modelo de gas de Fermi.
El momento de Fermi esta determinado por
Esto determina la energía de Fermi
donde n es el número de partículas por unidad de
volumen (n N/V). La energía (cinética) total
e del sistema es
En un sistema con A Z N nucleones, la
densidad de neutrones y protones es
respectivamente n0(N/A) y n0(Z/A), donde n0
0,15 fm-3 es la densidad de nucleones. La
energía cinética total es entonces
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El modelo de gas de Fermi.
En la aproximación Z N A/2, este valor de la
densidad nuclear corresponde a una energía Fermi
para protones y neutrones de
que corresponde a un momento y a un número onda
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El modelo de gas de Fermi.
Energías de volumen y superficie
De hecho, el número de estados (1) está
ligeramente sobreestimado ya que corresponde al
límite continuo V ? 8 en donde la diferencia
de energía entre niveles se anula. Para
convencernos, examinamos la estimación al número
de niveles en la caja cúbica de dimensiones
lineales a. Las funciones de onda y niveles de
energía son
con ni gt 0, y uno cuenta el número de estados tal
que E E0, E0 fijo, que corresponde al volumen
de un octavo de esfera en el espacio (n1,n2,n3).
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El modelo de gas de Fermi.
En esta cuenta, no se debería tener en cuenta los
tres planos n10, n20 y n30 para los cuales la
función de onda es cero, lo que no corresponde a
una situación física. Cuando el número de estados
bajo consideración es muy grande, como en
mecánica estadística, esta corrección es
insignificante. Sin embargo, acá no es
insignificante. El exceso correspondiente en (2)
puede ser calculado de una manera análoga a (1),
se obtiene
Donde S es el área externa del volumen (S 6a2
para un cubo, S 4pr02 para una esfera). La
expresión (2), luego de la corrección de este
efecto, es
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El modelo de gas de Fermi.
La energía correspondiente es
El primer término es energía de volumen, el
segundo término es una corrección de superficie,
o un término de tensión superficial. Para el
primer orden en S/V la energía cinética por
partícula es
En la aproximación Z N A/2, la energía
cinética es
con
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El modelo de gas de Fermi.
El segundo término es el coeficiente de
superficie en la fórmula de Bethe-Weizsäcker, en
buena concordancia con el valor experimental. La
energía media por partícula es la suma aV a0 U
de a0 y de una energía potencial U, la que puede
ser determinada experimentalmente por dispersión
de neutrones por núcleos . Experimentos dan U
-40MeV, esto es
En razonable concordancia el valor experimental.
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El modelo de gas de Fermi.
La energía de asimetría.
Consideramos ahora el sistema de dos gases de
Fermi, con N neutrones y Z protones adentro de
una misma esfera de radio R. La energía total de
los dos gases (5) es
Donde despreciamos la energía superficial.
Expandiendo esta expresión en potencias del
exceso de neutrones ? N Z, obtenemos, para el
primer orden ?/A,
Esta es precisamente la forma de la energía de
asimetría en la fórmula de Bethe-Weizsäker. Sin
embargo, el valor numérico del coeficiente aa 12
MeV es la mitad del valor empírico. Este defecto
viene de hecho de que el modelo de Fermi es muy
simple y no contiene suficientes detalles sobre
las interacciones nucleares.