5e Postulat et parall

1
Mise au point vidéo projecteur.
2
LES DÉMONSTRATIONS DE LAXIOME DEUCLIDE LA
THÉORIE DES PARALLÈLES
AXIOME DIT  DEUCLIDE  Par un point donné
(extérieur à une droite), on peut mener une et
une seule parallèle à cette droite. Formulation
de Playfair, XVIIIe siècle
Jacques VERDIER, Besançon 2007
3
Chapitre I LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Les éléments dEuclide 10  livres , débutant
par 35 définitions et 5  demandes  (ou
postulats). Les 4 premiers livres concernent la
géométrie.
La 35e définition est celle des parallèles Les
parallèles sont des droites qui, étant situées
dans un même plan, et étant prolongées à l'infini
de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un
côté ni de l'autre.
Le 5e postulat est le suivant Si une droite,
tombant sur deux droites, fait les angles
intérieurs du même côté plus petits que deux
droits, ces droites, prolongées à l'infini, se
rencontreront du côté où les angles sont plus
petits que deux droits.
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Chapitre I LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
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Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Si une droite, tombant sur deux droites, fait les
angles intérieurs du même côté plus petits que
deux droits, ces droites, prolongées à l'infini,
se rencontreront du côté où les angles sont plus
petits que deux droits.
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Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Si une droite, tombant sur deux droites, fait les
angles intérieurs du même côté plus petits que
deux droits, ces droites, prolongées à l'infini,
se rencontreront du côté où les angles sont plus
petits que deux droits.
Formulation assez compliquée ? Ressemble à une
proposition (théorème) ? Utilité éviter
linfini ?
POSIDONIUS propose une nouvelle définition des
parallèles
Deux droites sont parallèles si et seulement si
leur distance est constante en tout point 
mais cela équivaut au 5e postulat
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Les démonstrations des 28 premières propositions
ne nécessitent pas lutilisation du 5e postulat.
Elles forment ce quon appelle la  GÉOMÉTRIE
ABSOLUE .
Les propositions 27 à 32 5 propositions
(théorèmes) et une construction relatives aux
droites parallèles. Elles forment ce quon
appelle la  THÉORIE DES PARALLÈLES .
La 27e proposition Si une droite, tombant sur
deux droites, fait des angles alternes égaux
entre eux, ces deux droites seront parallèles.
La 28e proposition Si une droite tombant sur
deux droites fait l'angle extérieur égal à
langle intérieur, opposé, et placé du même côté,
ou bien si elle fait les angles intérieurs et
placés du même côté égaux à deux droits, ces deux
droites seront parallèles.
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Chapitre I LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE
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XXVII. Si une droite, tombant sur deux droites,
fait des angles alternes égaux entre eux, ces
deux droites seront parallèles.
Que la droite EZ tombant sur les deux droites AB,
G? fasse les angles alternes AEZ, EZ?  égaux
entre eux  je dis que la droite AB est parallèle
à la droite G?. Car si elle ne lui est pas
parallèle, les droites AB, G? étant prolongées se
rencontreront, ou du côté B?, ou du côté AG.
Qu'elles soient prolongées, et qu'elles se
rencontrent du côté B?, au point H. L'angle
extérieur AEZ du triangle EHZ est égal à l'angle
intérieur et opposé EZH, ce qui est impossible
(prop. 16)  donc les droites AB, G? prolongées
du côté B? ne se rencontreront point. On
démontrera de la même manière qu'elles ne se
rencontreront pas non plus du côté AG  mais les
droites qui ne se rencontrent d'aucun côté sont
parallèles (déf. 35)  donc la droite AB est
parallèle à la droite G?. Donc, etc.
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Chapitre I LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE
XXIX. Une droite qui tombe sur deux droites
parallèles, fait les angles alternes égaux entre
eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur
opposé et placé du même côté, et les angles
intérieurs placés du même côté égaux à deux
droits.
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Que la droite EZ tombe sur les droites parallèles
AB, G?  je dis que cette droite fait les angles
alternes AHT, HT? égaux entre eux, l'angle
extérieur EHB, égal à l'angle HT? intérieur
opposé et placé du même côté, et les angles BHT,
HT? intérieurs et placés du même côté, égaux à
deux droits. Car si l'angle AHT n'est pas égal à
l'angle HT?, l'un d'eux est plus grand. Que
l'angle AHT Soit plus grand que HTA. Ajoutons
l'angle commun BHT, les angles AHT, BHT seront
plus grands que les angles BHT, HTA  mais les
angles AHT, BHT sont égaux à deux droits (prop.
13) 
donc les angles B?T, HT? sont moindres que deux
droits. Mais si deux droites sont prolongées à
l'infini du côté où les angles intérieurs sont
plus petits que deux droits, ces droites se
rencontrent (demande 5)  donc les droites AB, G?
prolongées à l'infini se rencontreront. Mais
elles ne se rencontreront pas, puisqu'elles sont
parallèles  donc les angles AHT, HTA ne sont
point inégaux donc ils sont égaux. Mais l'angle
AHT est égal à l'angle EHB (prop. 15)  donc
l'angle EHB est égal à l'angle HT?. Ajoutons
l'angle commun BHT, les angles EHB, BHT seront
égaux aux angles BHT, HT?  mais les angles EHB,
BHT sont égaux à deux droits (prop. 13) donc
les angles BHT, HT?  sont égaux à deux droits.
Donc, etc.
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Chapitre I LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE
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Schéma de la  théorie des parallèles 
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Deux remarques importantes
1. Le fait quEuclide ait utilisé le 5e postulat
pour démontrer la proposition 29 ne prouve pas
quil ait été nécessaire de lutiliser. Limpossib
ilité de démontrer la proposition 29 sans
utiliser le 5e postulat (ni un postulat
équivalent) ne fut prouvée quen 1860 !
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Deux remarques importantes
2. La proposition 31 permet de construire une
parallèle.
Soit A le point donné, et BG la droite donnée 
il faut par le point A conduire une ligne droite
parallèle à la droite BG. Prenons sur la droite
BG un point quelconque ?, et joignons A?
construisons sur la droite ?A, et au point A de
cette droite, l'angle ?AE égal à langle A?G
(prop. 23), et prolongeons la droite AZ dans la
direction de EA. Puisque la droite A?, tombant
sur les deux droites BG, E?, fait les angles
alternes EA?, ??G égaux entre eux, la droite EZ
est parallèle à droite BG (prop. 27). Donc la
ligne droite EAZ a été menée, par le point donné
A, parallèle à la droite donnée BG  ce qu'il
fallait faire.
Mais rien nest dit quant à lunicité de cette
parallèle. Euclide ne sest-il pas posé le
problème ? NB cette unicité était aisément
prouvable (avec la proposition 30 Les droites
parallèles à une même droite sont parallèles
entre elles).
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Chapitre I LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE LA
CONTESTATION DU 5e POSTULAT
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• Le démontrer à partir des 5 autres postulats
  et des propositions de la  géométrie absolue .

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CONTESTATION DU 5e POSTULAT
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POSIDONIUS École de Rhodes, 135-50 avant J.-C.
A donné une autre définition des parallèles
 Deux droites sont parallèles si et seulement si
leur distance est constante en tout point  . Le
5e postulat nest alors plus nécessaire. Mais les
parallèles au sens de Posidonius existent-elles
? Autrement dit le lieu des points équidistants
dune droite est-il nécessairement une droite?
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CONTESTATION DU 5e POSTULAT
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PTOLÉMÉE École dAlexandrie, 90-168 après J.-C.
Est le premier à donner une démonstration du 5e
postulat.
Soient ab et cd des droites parallèles, coupées
par une transversale fg. Alors af et cg sont
aussi parallèles que fb et gd. Donc si la somme
des angles afg et cgf est supérieure à 180, il
en est de même de la somme bfgfgd. De la même
façon, si afgcgf lt 180 alors bfgfgd lt
180. Dans les deux cas, on arrive à une
contradiction puisque la somme afgcgf bfgfgd
vaut 360.
Quelle est lerreur commise par Ptolémée ?
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PROCLUS École athénienne, 412-485 après J.-C.

• Est persuadé que le 5e postulat est un théorème

Cela le cinquième postulat doit être absolument
rayé des postulats car c'est un théorème, qui
offre de nombreuses difficultés que Ptolémée
s'est proposé d'étudier dans un certain livre, et
dont la démonstration exige beaucoup de
définitions et de théorèmes. Euclide nous montre
d'ailleurs la réciproque de ce postulat comme
étant aussi un théorème. proposition 17
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CONTESTATION DU 5e POSTULAT
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PROCLUS École athénienne, 412-485 après J.-C.

• Est persuadé que le 5e postulat est un théorème
  
• met en évidence lerreur de Ptolémée
• propose une nouvelle démonstration, dont voici
  le début

Soient ab et cd deux droites parallèles, et fg
une droite qui coupe ab en f. Soit r la distance
de ab à cd. Choisissons sur fg un point h dont la
distance à ab est supérieure à r, et qui est
situé du même coté de ab que cd. A lors f et h
sont de part et d'autre de cd, de sorte que fh
coupe cd.
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Chapitre I LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE LA
CONTESTATION DU 5e POSTULAT
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PROCLUS École athénienne, 412-485 après J.-C.
Quelle est lerreur commise par PROCLUS ?
La figure ne pourrait-elle pas être celle-ci ?
GÉMINIUS (Rhodes, fin du Ier siècle) sétait
dailleurs déjà posé la question lhyperbole se
rapproche bien de son asymptote sans jamais la
couper, alors pourquoi pas deux droites ?
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Chapitre I LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE LA
CONTESTATION DU 5e POSTULAT
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AGANIS VIe siècle après J.-C.
Reprend la définition de Posidonius des
parallèles (Deux droites sont parallèles si et
seulement si leur distance est constante en tout
point) et il remplace le 5e postulat par un
axiome dexistence de telles parallèles. Il
démontre alors que la  distance  de deux
droites est la perpendiculaire commune à ces
droites.
Cela est équivalent au 5e postulat.
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Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
AL GAUHUARI IXe siècle , originaire de Farab.
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Il utilise implicitement le fait que si les
angles A et B sont égaux, alors les angles C et D
le sont également.
Il démontre alors le 5e postulat à partir de la
possibilité de construire un triangle.
20
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
AN NAYZIRI né vers 900, près de Chiraz (Perse)
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Il continue lœuvre dAganis (1), démontre des
propriétés qui sen déduisent, et  retombe  sur
la proposition 29 dEuclide. Au cours de cette
suite dimplications, An Nayziri prouve quil
existe un rectangle.
(1) Par un point extérieur à une droite, il passe
toujours une droite équidistante de la première.
21
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
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TABIT IBN QURRA 836, Turquie 901, Baghdad.
Cest un commentateur dEuclide et
dArchimède. Dans son ouvrage  Le livre sur la
célèbre démonstration du postulat dEuclide 
Il montre quon ne peut pas avoir ces deux figures
Mais quon peut avoir celle-ci.
22
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
TABIT IBN QURRA.
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Si une sécante coupe deux droites et que
celles-ci se rapprochent lune de lautre dun de
leurs côtés, alors elles sen écartent lune de
lautre de lautre côté et leur rapprochement
du côté où elles se rapprochent, et leur
écartement du côté où elles sécartent, vont en
croissant.
23
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
TABIT IBN QURRA.
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Dans son ouvrage  Le livre montrant que deux
droites menées selon deux angles plus petits que
deux droits se rencontrent  il définit les
parallèles comme des droites équidistantes.
Pour prouver lexistence dun rectangle, il lui
est nécessaire de faire intervenir le mouvement
(cest un disciple dArchimède !), et dadmettre
la non modification dune figure au cours dun
déplacement.
24
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
IBN AL HAYTAM AL HAZEN 836, Bassora 901, Le
Caire.
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• a écrit deux livres 
• Le livre du commentaire des propositions non
  démontrées dEuclide 
• Le livre sur les résolutions des doutes
  soulevés par les Éléments dEuclide.

Ibn al-Haytam introduit une nouvelle définition
de la droite. Il considère la ligne décrite dans
un plan par l'extrémité libre d'une
perpendiculaire de longueur constante, menée à
une droite donnée, lorsque le pied de la
perpendiculaire glisse le long de cette
droite. Des considérations vagues, mais très
développées, sur l'égalité et la similitude
de tous les points de la perpendiculaire en
mouvement permettent à Ibn al-Haytam de conclure
que toutes les trajectoires décrites en même
temps par tous les points de la perpendiculaire
sont congruentes   il en déduit que la ligne
décrite par lextrémité de la perpendiculaire est
une droite équidistante de la droite
donnée. Adolf P. YOUSSKEVITCH, in Les
mathématiques arabes VIIe-XVe siècles, Éditions
VRIN, Paris, 1976.
25
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
IBN AL HAYTAM
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En réalité, la définition de la page précédente
 renferme implicitement  le 5e postulat.
Puis il  démontre  le 5e postulat en utilisant
un quadrilatère à 3 angles droits
Ibn Al Haytam en conclut quil faut supprimer le
5e postulat de la liste des  demandes , et le
remettre puisquil est démontré juste avant
la proposition 29 où il est utilisé.
26
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
Umar al KHAYYAM 1047-1122, Nashipur, Perse.
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Son œuvre est restée inconnue jusquen 1936. Il a
très bien étudié le travail dAn Nayrizi.
Il introduit le célèbre quadrilatère dit  de
Saccheri , dans lequel il sagit de prouver que
les deux angles restants ? et G sont droits
27
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
AL KHAYYAM
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1re étape
On démontre que les deux angles ? et G sont
égaux.
28
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
AL KHAYYAM
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2e étape
On construit E milieu de AB  la perpendiculaire
en E recoupe ?G en Z
On démontre que ??  ?G, et que ?? est
perpendiculaire à ?G.
29
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
AL KHAYYAM
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3e étape
On prolonge ensuite la droite EZ dune longueur
ZK égale à EZ. On mène en K la perpendiculaire à
EZ, qui recoupe A? et BG en H et T.
On démontre que les deux triangles G?? et ???
sont égaux, doù il sen suit immédiatement que
les angles ?G? et ??? sont égaux ainsi que les
côtés G? et ??, puis les angles ?GT et ??? et les
côtés GT  ?? et ?T  ??.
30
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
AL KHAYYAM
4e étape
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Le plan T  se superpose au plan ? 
(imaginez un pliage daxe ?G). Si les deux
angles H et T étaient aigus  on aurait deux
droites coupant une troisième selon deux angles
droits A?? et ?GT et qui sécarteraient lune de
lautre, ce qui est absurde, daprès Al Khayyam.
Si les deux angles H et T étaient obtus même
conclusion !
31
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
AL KHAYYAM
4e étape
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Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
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Il y aurait alors deux lignes droites coupant une
droite selon deux angles droits et dont la
distance augmenterait ensuite des deux côtés de
cette droite, ce qui est une impossibilité
première lorsqu'on se représente le caractère
rectiligne d'une droite, et qu'on réalise ce
qu'est la distance entre deux droites. Et cest
ce dont s'est occupé le philosophe. (Umar Al
Khayyam)
32
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
Nasir Ad Din AT T USI 1130-1214, Tus.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
33
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
AT T USI.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Son œuvre, dont  La discussion qui dissipe les
doutes relatifs aux droites parallèles  (1251),
fut connue en Europe dès 1594.
Il critique les théories précédentes. Dans sa
réfutation de langle aigu et de langle obtus,
il nutilise pas les mêmes méthodes que Umar Al
Khayyam.

• Pour démontrer sa 6e proposition, il utilisera
  deux nouveaux axiomes
• laxiome dArchimède (deux segments inégaux
  étant donnés, il existe toujours un multiple du
  plus petit qui surpasse le plus grand) 
• un équivalent de laxiome de Pasch
• (toute droite qui entre dans un triangle en
  ressort )

34
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
AT T USI
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Ses trois premières propositions sont celles de
Umar al-Khayyam
Sa 4e proposition est   Les côtés opposés dun
rectangle sont égaux .
Sa 5e proposition est   Deux perpendiculaires à
une même droite font avec toute sécante des
angles alternes internes égaux .
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Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
AT T USI
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Sa 6e proposition est   Si deux lignes non
limitées à leurs extrémités se coupent selon des
angles non droits, et si on élève une
perpendiculaire sur l'une d'elles, alors cette
perpendiculaire, si on la prolonge, coupera
l'autre droite sur un de ses côtés, à savoir du
côté de l'angle aigu compris entre cette
perpendiculaire et la droite coupée par cette
perpendiculaire .
36
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
Muhyi ad-Din AL MAGHRIBI 1220, Espagne 1283,
Iran
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
 Démontre  le 5e postulat. Son texte commence
ainsi
Soit, par exemple, les droites AB, GD, coupées
par la droite AG, qui rend les angles BAG, DGA,
moindres que deux droits. Je dis qu'elles se
rencontrent si on les prolonge indéfiniment. La
preuve de cela ..
Le doute concernant la chose demandée est donc
levé par la rectification du postulat telle que
nous lavons établie.
Et se termine ainsi
37
Chapitre II LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Les travaux sur la théorie des parallèles se
poursuivent encore pendant près de deux siècles
dans les pays arabes, mais sans que rien de
nouveau ne soit découvert.
38
Chapitre III LES COMMENTATEURS EUROPÉENS
DEUCLIDE
John WALLIS 1616-1703, Oxford.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Il connaît lœuvre dAt Tusi il est le seul,
parmi tous les commentateurs de lépoque, à faire
vraiment preuve doriginalité.
Pour une figure quelconque, il en existe toujours
une autre de grandeur quelconque qui lui soit
semblable.
Il admet le principe fondamental ci-contre, quil
ajoute aux postulats dEuclide, en remplacement
du 5e.
39
Chapitre III LES COMMENTATEURS EUROPÉENS
DEUCLIDE
John WALLIS
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Laplace et Carnot commentent dailleurs ce
principe, lun en 1796, lautre en 1830
La théorie des parallèles tient à une notion
première qui me paraît être à peu près du même
ordre de clarté que celle de légalité parfaite ou
de la superposition c'est la notion de
similitude. Il me semble que l'on peut regarder
comme un principe de première évidence que ce qui
existe en grand, comme une boule, une maison, un
dessin, peut être fait en petit et
réciproquement. (Lazare CARNOT)
Pour une figure quelconque, il en existe toujours
une autre de grandeur quelconque qui lui soit
semblable.
La proportionnalité est un postulatum bien plus
naturel que celui d'Euclide, car elle se retrouve
dans les lois de l'attraction tout comme dans
celles des forces électriques et magnétiques
d'ailleurs la simplicité des lois de la nature ne
nous permet d'observer et de connaître que des
rapports. (Marquis Simon de LAPLACE)
40
Chapitre III LES COMMENTATEURS EUROPÉENS
DEUCLIDE
John WALLIS
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Démonstration du 5e postulat
Ne cherchez pas à tout lire, cest dans les
documents, et je vais vous expliquer !!!
41
Chapitre III LES COMMENTATEURS EUROPÉENS
DEUCLIDE
John WALLIS
Démonstration du 5e postulat
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
La droite CD peut-elle rester entièrement à
lintérieur de langle CAB ?
42
Chapitre III LES COMMENTATEURS EUROPÉENS
DEUCLIDE
André-Marie LEGENDRE. Paris, 1752-1833.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
De 1794 à 1823, il publie de nombreuses éditions
de ses Éléments de Géométrie, utilisés dans
lenseignement.
De la 1re à la 8e édition, il démontre deux
propositions, qui lui permettent déviter le 5e
postulat
Proposition XIX   La somme des angles dun
triangle ne peut être plus grande que deux
droits . Proposition XX   Dans tout triangle,
la somme des trois angles est égale à deux
droits .
La première de ces propositions ne comporte
aucune erreur. Dailleurs GAUSS la reprendra plus
tard
43
Chapitre III LES COMMENTATEURS EUROPÉENS
DEUCLIDE
LEGENDRE
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
La démonstration selon laquelle la somme des 3
angles dun triangle ne peut pas être supérieure
à 180 doit être menée ainsi, indépendamment du
11e axiome (5e postulat). Supposons que
ABCgt180. On prolonge AB à linfini et on
reprend le triangle précédent, ceci étant
lhypothèse. CBE lt ACB donc CE lt AB (Éléments
I.24).  De même pour EG CE etc.On en conclut
facilement quen reproduisant le triangle
suffisamment souvent, la ligne droite AM est plus
longue que la ligne brisée ACEGNM, et ainsi la
contradiction est facile à démontrer. Une
reproduction de n fois suffit quand
AC  CB  AB lt n(AB  CE).
Voici la démonstration de Gauss
44
Chapitre III LES COMMENTATEURS EUROPÉENS
DEUCLIDE
LEGENDRE
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Proposition XX   Dans tout triangle, la somme
des trois angles est égale à deux droits .
Par contre, la démonstration de cette proposition
XX comporte une erreur il utilise implicitement
la propriété Par un point situé à lintérieur
dun angle, il existe toujours une droite qui
rencontre les deux côtés de langle.
Ayant décelé son erreur, il  remet  le 5e
postulat dans les 9e, 10e et 11e éditions de ses
Éléments de Géométrie.
Ne cherchez pas à tout lire, cest dans les
documents !!!
45
Chapitre III LES COMMENTATEURS EUROPÉENS
DEUCLIDE
LEGENDRE
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Proposition XX   Dans tout triangle, la somme
des trois angles est égale à deux droits .
A partir de la 12e édition, il trouve une
nouvelle démonstration de cette proposition
et ça continue !
46
Chapitre III LES COMMENTATEURS EUROPÉENS
DEUCLIDE
LEGENDRE
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Proposition XX   Dans tout triangle, la somme
des trois angles est égale à deux droits .
Il trouve une nouvelle démonstration de cette
proposition qui grosso modo est ceci
Bien entendu, comme vous vous en doutez, il y a
une erreur Sinon le 5e postulat dEuclide serait
démontré !
47
Chapitre IV LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
Giovanni Girolamo SACCHERI 1677-1733.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Il connaît lœuvre dAt-Tusi et la critique
il publie en 1733 Euclides ab omni naevo
vindicatus (Euclide lavé de toute tache)
Il utilise le quadrilatère de Umar Al-Khayyam (à
lépoque inconnu), et fait explicitement les
trois hypothèses angles droits, obtus ou aigus.
Puisque la droite qui joint les extrémités de
deux droites égales perpendiculaires à une même
droite (que nous appellerons base) fait des
angles égaux avec ces perpendiculaires, il y a
par conséquent trois hypothèses à distinguer
selon la nature de ces angles. Et j'appellerai la
première, hypothèse de l'angle droit, la seconde,
hypothèse de l'angle obtus, et la troisième,
hypothèse de l'angle aigu.
48
Chapitre IV LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
SACCHERI.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Lhypothèse de langle obtus  Jointe à la
proposition XVI dEuclide, elle prouve le 5e
postulat. Doù une contradiction  G  ? gt 2
droits (hypothèse) et G  ?  2 droits
(Euclide). Cette hypothèse est donc  éliminée .
49
Chapitre IV LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
SACCHERI.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Lhypothèse de langle aigu  Saccheri en déduit
toutes sortes de conséquences, et en particulier
les deux théorèmes suivants 

• Premier théorème 
•  Deux droites sont 
• soit sécantes 
• soit admettent une perpendiculaire commune, et
  alors elles  divergent  
• soit elles sont  asymptotes  lune de
  lautre .

Second théorème   Deux droites parallèles
peuvent ne pas avoir de perpendiculaire commune .
50
Chapitre IV LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
SACCHERI.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Finalement
Il craque !
Deux droites sont  soit sécantes  soit
admettent une perpendiculaire commune, et alors
elles  divergent   soit elles sont
 asymptotes  lune de lautre.
 Lhypothèse de langle aigu est absolument
fausse, car elle répugne à la nature même de la
ligne droite  
Lien vers Lobatchevski, proposition 16
51
Chapitre IV LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
LAMBERT 1728-1777, alsacien.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Il connaît les travaux de Saccheri, mais préfère
reprendre le quadrilatère dIbn al Haytam.
Comme Saccheri, il démontre que  angle obtus ?
5e postulat ? angle droit (doù la contradiction).
Mais, au cours de sa démonstration, il prouve
quelque chose de remarquable relatif à la somme
des angles dun triangle  lexcès du triangle
, cest-à-dire la somme des angles diminuée de
deux droits, est proportionnel à son aire. De
même, dans lhypothèse de langle aigu, le
défaut du triangle , cest à dire deux droits
moins la somme des trois angles, est
proportionnel à son aire.
52
Chapitre IV LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
LAMBERT.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
La conséquence de cette propriété est
fondamentale  deux triangles qui ont des angles
égaux sont égaux  il nexiste donc pas de
triangles semblables. Connaissant lœuvre de
Wallis, sa curiosité est excitée !
Lambert pense que cette géométrie correspond à
une sphère de rayon imaginaire
Je suis enclin à penser que l'hypothèse de
l'angle aigu est valable sur quelque sphère
imaginaire. Il doit tout de même bien avoir une
raison pour laquelle il est si difficile de la
réfuter dans le plan.
Il démontre alors le théorème suivant (toujours
dans le cas de lhypothèse de langle aigu) 
Lensemble des points équidistants dune droite
donnée nest pas nécessairement une droite .
53
Chapitre IV LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
Mais comme tout le monde à lépoque, de
philosophie Kantienne  les axiomes de la
géométrie doivent être le reflet des propriétés
de lespace sensible
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Il craque !
Finalement
54
Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

• Il y a, au début du 19e siècle, deux tendances
  chez les mathématiciens 
• ceux qui renoncent à soccuper de ce problème
  du 5e postulat 
• ceux qui ont la conviction que le 5e postulat
  est indémontrable, et quon pourrait tout aussi
  bien le remplacer par son contraire (et on aurait
  alors une géométrie  imaginaire , on disait
  même à lépoque  stellaire ).

55
Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
Jànos BOLYAÏ. 1802-1860, Hongrie.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Je t'en supplie, garde-toi de tenter toi aussi de
venir à bout de la théorie des parallèles. Tu y
perdras tout ton temps  mais tant que vous êtes,
vous narriverez pas à démontrer cette
proposition. Ne cherche pas à avoir raison de
cette théorie, ni par le procédé que tu me
communiques, ni par aucun autre. J'ai exploré à
fond toutes les voies possibles je n'ai pas
laissé une seule idée sans l'étudier. J'ai
traversé cette nuit noire, et j'y ai enseveli
toutes les joies de ma vie. Pour l'amour de Dieu,
je t'en supplie, abandonne ce thème, crains-le
autant que les passions, car il peut te dérober
tout ton temps, ta santé, ta tranquillité, tout
le bonheur de ta vie... Lettre de Farkas
BOLYAI à son fils János, 1820
Officier de larmée autrichienne, en retraite à
31 ans. Jusquà 18 ans, il a tenté de démonter le
5e postulat  ce problème le passionne, et il ne
tient aucun compte des conseils de son père
Farkas BOLYAÏ 
56
Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
BOLYAÏ.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
En 1825, il avait établi la plupart des principes
de sa géométrie (non euclidienne), mais a attendu
1832 pour les publier, sous le titre Science
absolue de lEspace (en annexe dun ouvrage de
son père, Tentamen ). Il a ainsi été devancé
par Lobatchevski (qui a publié en 1829), mais
lopuscule de ce dernier était à lépoque resté
totalement confidentiel.
En exemple, un des théorèmes de sa géométrie
On mène par Q la parallèle à une droite D.
Langle a nest fonction que de la distance
r  PQ  on lappellera angle de parallélisme
.
57
Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
BOLYAÏ.
Voici la réaction de Gauss à cette publication
réaction qui na pas enchanté Bolyai !
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
... Parlons maintenant un peu du travail de ton
fils. Si je commence en disant que je ne puis
louer ce travail, tu pourras bien un instant
reculer d'étonnement  mais je ne puis dire autre
chose  le louer serait me louer moi-même  en
effet, le contenu tout entier de l'Ouvrage, la
voie qu'a frayée ton fils, les résultats auxquels
il a été conduit, coïncident presque entièrement
avec mes propres méditations qui ont occupé en
partie mon esprit depuis déjà trente à
trente-cinq ans. Aussi ai-je été complètement
stupéfait. Quant à mon travail personnel, dont
d'ailleurs j'ai confié peu de chose jusqu'ici au
papier, mon intention était de n'en rien laisser
publier de mon vivant. En effet, la plupart des
hommes n'ont pas l'esprit juste sur les questions
dont il s'agit, et j'ai trouvé seulement bien peu
d'entre eux qui prissent un intérêt particulier à
ce que je leur ai communiqué à ce sujet. Pour
pouvoir prendre cet intérêt, il faut d'abord
avoir senti bien vivement ce qui fait
essentiellement défaut, et sur ces matières la
plupart des hommes sont dans une obscurité
complète. C'était, au contraire, mon idée de
mettre, avec le temps, tout ceci par écrit afin
qu'au moins cela ne périsse pas avec moi. Aussi
est-ce pour moi une agréable surprise de voir que
cette peine peut maintenant m'être épargnée, et
je suis rempli d'une joie extrême que ce soit
précisément le fils de mon vieil ami qui m'ait
devancé d'une manière si remarquable. 
58
Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
Karl Friedrich GAUSS Brunswick, 1777-Göttingen,
1855.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Il sintéresse à cette géométrie depuis lâge de
15 ans. On en trouve trace dans ses lettres à
Farkas Bolyai, Gerling, Schumacher, Taurinus,
Bessel, etc.
Un exemple
L'hypothèse selon laquelle la somme des angles
d'un triangle est inférieure à 180 conduit à une
géométrie complètement différente de la nôtre
une géométrie tout à fait consistante que j'ai
développée pour moi-même (...) Tous mes efforts
pour trouver une contradiction ont été vains
(...) Considérez ceci comme une communication
privée dont aucun usage public ne doit être
fait. Lettre de K. F. GAUSS à Franz TAURINUS, 1824
59
Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
GAUSS.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Mais il ne publiera rien, nenseignera rien
Je crains la clameur des béotiens si je voulais
exprimer mes vues sur cette étrange géométrie,
tout à fait différente de la nôtre. Lettre de K.
F. GAUSS à Friedrich BESSEL, 1824
60
Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
Nicolas LOBATCHEVSKI 1793-1856.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Après avoir étudié de très près les preuves de
Legendre, il publie ses propres résultats en 1829
dans une revue très confidentielle, le Messager
de Kazan . Voici ce quil dit de Legendre
Je compte parmi les points défectueux ()
l'importante lacune que présente la théorie des
parallèles, et que les travaux des géomètres
n'ont encore pu combler. Les efforts de Legendre
n'ont rien ajouté à cette théorie, cet auteur
ayant été forcé de quitter la voie du
raisonnement rigoureux pour se jeter dans des
considérations détournées, et de recourir à des
principes qu'il cherche, sans raison suffisante,
à faire passer pour des axiomes nécessaires.
61
Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
LOBATCHEVSKI.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Après avoir étudié de très près les preuves de
Legendre, il publie ses propres résultats en 1829
dans une revue très confidentielle, le Messager
de Kazan . Son idée est la suivante 
En réalité, il commence là où Saccheri bloquait,
en le posant comme postulat a priori. Il démontre
toute une liste de théorèmes dont la fameuse
proposition 16, correspondant à la figure
ci-dessus.
62
Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
LOBATCHEVSKI.
TABLE DES MATIERES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tion Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPEENS
Wallis Legendre 4. PRECURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODELES Poincaré Autres
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Toutes les droites tracées par un même point dans
un plan peuvent se distribuer, par rapport à une
droite donnée de ce plan, en deux classes, savoir
en droites qui coupent la droite donnée, et en
droites qui ne la coupent pas. La droite qui
forme la limite commune de ces deux classes est
dite parallèle à la droite donnée.
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Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
LOBATCHEVSKI.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Voici encore quelques autres théorèmes
Théorème 19 Dans tout triangle rectiligne, la
somme des trois angles ne peut surpasser deux
droits.
Théorème 22 Si deux perpendiculaires à une même
droite sont parallèles entre elles, la somme des
angles quelconques d'un triangle rectiligne sera
égale à ?.
Théorème 24 Si on prolonge de plus en plus loin
deux lignes parallèles dans le sens de leur
parallélisme, elles s'approcheront de plus en
plus l'une de l'autre.
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Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
LOBATCHEVSKI.
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Voici ce qua écrit Gauss à Schumacher, à propos
des travaux de Lobatchevski
J'ai eu dernièrement occasion de relire
l'opuscule de Lobatschewsky, intitulé
Geometrische Untersuchungen zur Theorie der
Parallelenlinien. Cet opuscule contient les
éléments de la géométrie qui devrait exister, et
dont le développement formerait un enchainement
rigoureux, si la géométrie euclidienne n'était
pas vraie. Un certain Schweikardt a donné à cette
géométrie le nom de géométrie astrale,
Lobatschewsky celui de géométrie imaginaire. Vous
savez que depuis cinquante-quatre ans (depuis
1792) je partage les mêmes convictions, sans
parler ici de certains développements qu'ont
reçues, depuis, mes idées sur ce sujet. Je n'ai
donc trouvé dans l'ouvrage de Lobatschewsky aucun
fait nouveau pour moi mais l'exposition est
toute différente de celle que j'avais projetée,
et l'auteur a traité la matière de main de maître
et avec le véritable esprit géométrique. Je crois
devoir appeler votre attention sur ce livre, dont
la lecture ne peut manquer de vous causer le plus
vif plaisir. Göttingen, 28 novembre 1846.
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Chapitre V LES  30 GLORIEUSES  (1805-1835)
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
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Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Les travaux de Lobatchevski nintéressent alors
plus les mathématiciens  cest la FIN dun grand
problème.

• Ce nest quaprès 1860 que les idées de
  Bolyaï-Lobatchevski se répandent, notamment en
  France, grâce à un livre de Jules HOUËL qui
  comprend 
• la traduction des études géométriques de
  Lobatchevski 
• la correspondance de Gauss 
• la traduction du chapitre annexe (Appendix) de
  János Bolyaï.

66
Chapitre VI LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
LES MODÈLES DE POINCARÉ (1854, Nancy 1912,
Paris)
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Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Découverts en 1890, postérieurement aux modèles
de Beltrami (1869) et de Klein (1871) cf.
infra, ce sont cependant les plus simples à
comprendre. Il sagit de modèles euclidiens des
propriétés de la géométrie non euclidienne.
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Chapitre VI LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
1er modèle de POINCARÉ
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
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Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Les droites sont des demi-cercles (ou
demi-droites) orthogonaux à la droite de
linfini  Un cercle reste un cercle.
Les angles sont conservés. Les isométries de
cette géométrie sont les inversions euclidiennes
(par rapport à un cercle centré sur la droite de
linfini).
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Chapitre VI LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
1er modèle de POINCARÉ
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstra
tions Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES Al
Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At
Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS
Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
Sur la figure ci-dessous, deux  triangles  à
côtés deux à deux parallèles
Les voyez-vous  semblables  ?
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Chapitre VI LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
2e modèle de POINCARÉ
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Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS
Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gau
ss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres
(rappel de la figure de Lobatchevski)
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Chapitre VI LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON
EUCLIDIENNES
2e modèle de POINCARÉ
TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D