Corso di biomatematica Lezione 3: Distribuzioni di probabilit

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Corso di biomatematica Lezione 3Distribuzioni
di probabilitàcontinue

• Davide Grandi

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Sommario

• Distribuzioni di probabilità continue
• Definizioni
• Funzione distribuzione cumulativa
• Densità di probabilità
• Continue - esempi
• La distribuzione di gauss-introduzione

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Distribuzioni continue

• Funzione di distribuzione cumulativa
• La funzione di distribuzione cumulativa per una
  variabile
• aleatoria continua X è definita come la
  probabilità che la
• variabile X assuma un valore minore di un
  determinato
• valore x
• P(Xltx) F(X)
• E caratteristica di una variabile aleatoria ed
  esiste sia per
• quelle continue che per quelle discrete.

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Distribuzioni continue

• Funzione di distribuzione cumulativa
• Le sue proprietà fondamentali sono
• F(X) è una funzione non decrescente, cioè per x2
  gt x1 si ha F(x2) ? F(x1)
• Quando largomento della funzione tende a ?? la
  funzione di distribuzione tende a zero,
• F(?? ) 0
• Quando invece largomento tende a ? la funzione
  di distribuzione tende a uno,
• F(? ) 1

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Distribuzioni continue

• Funzione di distribuzione cumulativa esempio
• Supponiamo di avere una variabile aleatoria
  discreta che
• assume solo cinque valori le probabilità di
  ottenere i singoli
• valori siano
• Andiamo ora a costruire la funzione di
  distribuzione
• cumulativa, ovvero
• F(X) P(Xltx) S xi ltx P(Xxi )
• Dove la disuguaglianza xi ltx significa che la
  sommatoria è
• estesa a tutti gli xi minori di x

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Distribuzioni continue

• Funzione di distribuzione cumulativa esempio
• Otteniamo dunque
• E il grafico di tale funzione è

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Distribuzioni continue

• Funzione di distribuzione cumulativa esempio
• Ovvero la funzione di distribuzione cumulativa è
  sempre una
• funzione a gradino (per distribuzioni discrete di
  probabilità)
• i cui salti sono ovviamente in corrispondenza
  dei valori
• possibili della variabile, la somma di tutti i
  salti è uno
• (assioma probabilità).
• Per una distribuzione continua aumentano i valori
  possibili e
• diminuiscono gli intervalli, per cui la funzione
  di
• distribuziuone cumulativa diventa una funzione
  continua
• (sempre crescente) caratteristica delle variabili
  aleatorie
• continue.

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Distribuzioni continue

• Funzione densità di probabilità
• Definita la funzione di distribuzione cumulativa,
  vediamo di
• considerare la probabilità che la mia variabile
  aleatoria
• assuma valori in un intervallo con estremi per x1
  e x2
• P(x1 ? X lt x2 ) F(x2 ) F(x1)
• Esprimo la probabilità di questo evento
  attraverso i seguenti
• 3 eventi
• Evento A corrispondente a Xlt x2
• Evento B corrispondente a Xlt x1
• Evento C corrispondente a x1 ? X lt x2

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Distribuzioni continue

• Funzione densità di probabilità
• Avremo che levento A si può esprimere come come
  la
• somme degli altri due, cioè ABC e per il
  teorema di
• addizione delle probabilità avremo
• P(X lt x2 ) P(X lt x1 ) P(x1 ? X lt x2 ) d
• a cui ricavo la formula
• P(x1 ? X lt x2 ) F(x2 ) F(x1)
• Facendo tendere Dx ?0
• Calcoliamo il rapporto tra la differenza della
  funzione di
• distribuzione cumulativa e lintervallo stesso
  (derivata)
• ovvero

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Distribuzioni continue

• Funzione densità di probabilità
• Abbiamo
• si definisce quindi funzione di distribuzione o
  densità di
• probabilità
• La funzione p(x) caratterizza la densità di
  probabilità dei
• valori in un punto x (esprimo la legge della
  distribuzione)

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Distribuzioni continue

• Condizione di normalizzazione
• la condizione di normalizzazione è la
  generalizzazione al
• caso continuo del terzo assioma della
  probabilità, e dal fatto
• che F(? ) 1 abbiamo

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Distribuzioni continue

• Distribuzione uniforme
• Variabili aleatorie di cui è noto a priori che i
  loro valori
• possibili appartengono ad un dato intervallo e
  allinterno di
• questo intervallo tutti i valori sono
  equiprobabili si dicono
• uniformemente distribuite.
• Considero la variabile aleatoria X soggetta ad
  una legge di
• distribuzione uniforme nellintervallo (a,b) e
  scrivo la
• densità di probabilità p(X), che deve essere
  costante
• nellintervallo e nulla al di fuori, cioè
• p(X) c per a ltx ltb
• p(X) 0 altrove

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Distribuzioni continue

• Distribuzione uniforme
• Per la condizione di normalizzazione avremo che
  larea
• delimitata dalla curva sarà uguale allunità,
  ovvero
• c(b-a) 1
• Da cui risulta
• c1/(b-a)
• Ovvero la distribuzione di probabilità sarà
• p(X) 1/(b-a) per a ltx ltb
• p(X) 0 altrove

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Distribuzioni continue

• Proprietà della distribuzione uniforme
• Le caratteristiche fondamentali della
  distribuzione aleatoria sono
• Il valor medio vale
• La deviazione standard vale

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Distribuzioni continue

• Distribuzioni limite
• Posso parlare di distribuzioni limite se il
  numero di eventi
• tende allinfinito (o comunque è sufficientemente
  grande.).
• Dopo un certo numero di eventi i risultati
  ottenuti si
• disporranno secondo una determinata
  distribuzione, che
• diventerà sempre più evidente al crescere del
  numero di
• eventi..
• Ad esempio vediamo i seguenti istogrammi nel caso
  in cui si
• siano effettuate 10, 100 e 1000 misure della
  stessa
• grandezza

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Distribuzioni continue

• Distribuzioni limite

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Distribuzioni continue

• Esempio come ottenere la distribuzione di Gauss
• Lanciamo un dado e calcoliamo la frequenza con
  cui escono i
• numeri da 1 a 6, dopo un numero abbastanza grande
  di
• ripetizioni.
• Ora lanciamo due dadi, facciamo la somma e
  vediamo con
• che frequenza escono i numeri da 2 a 12, dopo un
  numero
• abbastanza grande di ripetizioni.
• Ora lanciamo 3 dadi, facciamo la somma e vediamo
  con che
• frequenza escono i numeri da 3 a 18

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Distribuzioni continue

• Esempio come ottenere la distribuzione di Gauss
• Lanciamo N dadi e vediamo con che frequenza
  escono i
• numeri da N a 6N.
• Rappresentiamo il tutto su dei grafici.
• Al limite di infinite misure la frequenza più
  probabile
• sarà.
• N, 6N,6N/2?

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