Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)

1
Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)

• Corso di Economia delle Scelte Finanziarie e di
  Portafoglio (prof. G. Ferri) Lezione 2

2
Il CAPM

• Deriviamo il CAPM di base a un periodo.
• È un modello dei rendimenti di equilibrio delle
  attività ampiamente usato nella letteratura
  finanziaria (diversificazione di portafoglio,
  misure di rischio e di rendimento, portafoglio di
  mercato).
• Considereremo solo le azioni, ma il CAPM può
  applicarsi anche a tutte le altre attività
  finanziarie (es. obbligazioni, attività
  immobiliari ecc.).

3
Le principali questioni del CAPM

• Il CAPM risponde a una serie di domande
• Perché agli agenti conviene detenere un
  portafoglio diversificato che include un gran
  numero di attività rischiose piuttosto che, ad
  esempio, una sola attività rischiosa o un
  sottoinsieme di attività rischiose?
• Cosa determina il rendimento di equilibrio atteso
  su ciascuna attività rischiosa nel mercato, in
  modo che gli investitori desiderino detenerla?
• Cosa determina le scelta di un investitore
  individuale tra detenere lattività priva di
  rischio e detenere linsieme di attività
  rischiose?

4
Visione generale del CAPM - 1

• Nel CAPM gli agenti
• possono scegliere tra un insieme di attività
  rischiose (azioni) e lattività priva di rischio
  (depositi bancari o BOT)
• possono dare e prendere a prestito quanto
  desiderano al tasso di interesse privo di
  rischio
• sono avversi al rischio (? il rischio procura
  loro disutilità)
• sia ERi il rendimento (atteso) di unattività i
  il suo rischio è misurato dalla sua varianza s2i
• tutti gli individui hanno aspettative omogenee
  su rendimenti attesi, varianze e covarianze
  (correlazioni) tra i vari rendimenti
• non ci sono né costi di transazione né tasse.

5
Visione generale del CAPM - 2

• Consideriamo il motivo per detenere un
  portafoglio diversificato con un insieme di
  attività rischiose
• Assumiamo, per il momento, che siano già stati
  fissati i fondi destinati allattività sicura
• Investendo tutta la ricchezza nellattività 1, si
  ha rendimento atteso ER1 e rischio s21
  analogamente, se si sceglie solo lattività 2, si
  ha rendimento atteso ER2 e rischio s22
• Assumiamo covarianza negativa tra i due
  rendimenti s12lt0, cioè ER1 cresce se ER2 cala e
  viceversa ciò implica un coefficiente di
  correlazione negativa tra i rendimenti poiché
  ?12s12/(s1 s2)
• Perciò, la diversificazione riduce la varianza
  del portafoglio

6
Visione generale del CAPM - 3

• Per semplificare al massimo, assumiamo ER1ER2 e
  s21s22 e che quando ER1 aumenta dell1 ER2 cala
  dell1, rendimenti perfettamente correlati
  negativamente ? 1
• In queste ipotesi, se dividiamo a metà il
  portafoglio tra le due attività il rendimento del
  portafoglio è ER1ER2 ma la diversificazione
  riduce il rischio del portafoglio a zero (ogni
  rendimento sopra la media dellattività 1
  comporta un equivalente rendimento sotto la media
  dellattività 2 dato che ? 1)
• Lesempio è ovviamente un caso speciale, ma
  mostreremo che, in generale, anche se la
  covarianza dei rendimenti è nulla o positiva (ma
  ?lt1) conviene diversificare

7
Visione generale del CAPM - 4

• Lesempio suggerisce il perché ogni investitore
  potrebbe detenere un po di ognuna delle azioni
  sul mercato, se gli permettiamo di dare/prendere
  a prestito in misura illimitata al tasso privo di
  rischio r
• Per capirlo meglio, facciamo un contro-esempio.
  Se una azione non fosse inizialmente voluta da
  nessun investitore allora il suo prezzo dovrebbe
  calare (tutti la vendono). Ma (ceteris paribus e
  assumendo un flusso di dividendi attesi positivo)
  il calo del prezzo corrente fa salire il
  rendimento atteso futuro. Allora, il prezzo
  corrente dovrà scendere finché lazione divenga
  attraente.

8
Visione generale del CAPM - 5

• Le preferenze dellinvestitore entreranno in
  gioco, ma vale il teorema della separazione dei
  due fondi
• Si può scindere linvestimento in due scelte
  separate. La prima, la quota ottimale xi di
  attività rischiose da detenere, dipende solo
  dalle aspettative sulle variabili di mercato
  (rendim, var, covar). Ma aspettative omogenee tra
  gli agenti ? tutti detengono le stesse
  proporzioni di attività rischiose (es. 1/20 di
  azioni a, 1/80 di ß ecc.) senza riguardo alle
  loro preferenze rischio-rendimento
• Nel 2 stadio, lagente sceglie quanto prendere
  (dare) a prestito così da aumentare (ridurre) la
  ricchezza detenuta nel portafoglio di mercato di
  attività rischiose

9
Visione generale del CAPM - 6

• Solo ora entrano in gioco le preferenze
  rischio-rendimento
• se lagente è molto avverso al rischio, investirà
  quasi tutto nellattività sicura (con rendimento
  r) e destina solo una piccola parte della sua
  ricchezza allattività rischiosa nelle
  proporzioni fisse xi
• se invece è poco avverso al rischio, userà la
  ricchezza (e semmai prenderà a prestito al tasso
  r) per investire nellattività rischiosa nelle
  proporzioni fisse xi.
• NB il 2 stadio non influenza le domande
  relative di attività rischiose (restano fisse le
  proporzioni di xi) ? rendim attesi di equilibrio
  non dipendono dalle preferenze degli individui,
  ma solo da varianze e covarianze di mercato

10
Visione generale del CAPM - 7

• Useremo la seguente notazione
• rendimento atteso µi ERi
• varianza dei rendimenti s2i var(Ri)
• covarianza dei rendimenti sij cov(Ri , Rj)
• Sui rendimenti di equilibrio, il CAPM prevede che
  il rendimento in eccesso atteso su unattività
  rischiosa (ERi r) sia direttamente correlato
  col rendimento in eccesso atteso sul portafolgio
  di mercato (ERm r) con la costante di
  proprzionalità beta di quella attività
• (ERi r) ßi(ERm r) ovvero ERi r
  ßi(ERm r)
• ove ßi cov(Ri , Rm)/var(Rm)

11
Visione generale del CAPM - 8

• ERm è il rendimento atteso del portafoglio di
  mercato pari al rendimento atteso medio dal
  detenere tutte le attività nelle proporzioni
  ottimali xi. Poiché i rendimenti effettivi del
  portafoglio di mercato differiscono dai
  rendimenti attesi, la varianza var(Rm) è
  nonnulla.
• La definizione del ßi dellimpresa i indica che
  dipende da
• la covarianza tra rendimenti dellattività i e
  del portafoglio di mercato cov(Ri , Rm) e che
• è inversamente correlato alla varianza del
  portafoglio di mercato var(Rm).
• Se in media i rendimenti ex post approssimano
  quello atteso ex ante ERi, allora il CAPM spiega
  il rendimento medio dellattività i.

12
Visione generale del CAPM - 9

• Cosa ci dice il CAPM sui rendimenti di equilibrio
  in borsa?
• Primo si nota che (ERm r)gt0, altrimenti nessun
  agente avverso al rischio detiene il portafoglio
  di mercato di attività rischiose potendo
  guadagnare con certezza r
• Poi, i rendimenti sulle singole attività tendono
  a muoversi nello stesso senso e, quindi, cov(Ri ,
  Rm)?0 e ßi?0. Per il CAPM se cov(Ri , Rm)0
  (ßi0) lattività i viene detenuta solo se ERir
  se cov(Rj , Rm)gt0 (ßjgt0) lattività j è detenuta
  solo se ERj è abbastanza gt r così da compensare
  mancata riduzione varianza portafoglio se cov(Rk
  , Rm)lt0 (ßklt0) lattività k è detenuta anche se
  ERk lt r perché riduce la varianza del portafoglio.

13
Visione generale del CAPM - 10

• Il CAPM consente anche di misurare la volatilità
  relativa dei rendimenti attesi su singole
  attività in base ai ßi
• Il rendimento dovrebbe muoversi uno a uno col
  portafoglio di mercato (cioè ERi ERm) se ßi1
  (azioni neutrali) più del portafoglio se ßigt1
  (azioni aggressive) meno del portafoglio se ßilt1
  (azioni difensive)
• Così, gli investitori possono usare i ßi per
  classificare la rischiosità delle varie attività
  ed eventualmente prendere posizione ma, facendo
  così, non obbedirebbero il CAPM che, come detto,
  prescrive che tutti detengano il portafoglio di
  mercato composto nelle stesse proporzioni
  ottimali xi previste dal CAPM

14
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 1

• Prima di formalizzare il CAPM, vediamo criterio
  media-varianza concetto di portafoglio
  efficiente, guadagni da diversificazione nel
  ridurre il rischio di portafoglio.
• Vediamo relazione tra rendimento atteso µp del
  portafoglio diversificato e suo rischio sp. Se si
  vuole minimizzare il rischio per ogni (livello)
  rendimento atteso, i portafogli efficienti sono
  sulla frontiera efficiente, non-lineare nello
  spazio (µp , sp). Poi esaminiamo la relazione
  rischio-rendimento per uno specifico portafoglio
  di due attività una è la somma di attività
  sicura data o presa a prestito, laltra il
  portafoglio unico di attività rischiose. Se ne
  ricava linea di trasformazione rischio-rendimento

15
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 2

• Criterio media-varianza (CMV)
• Se linvestitore preferisce un rendimento atteso
  (ER) più elevato ma è avverso al rischio, secondo
  il CMV egli preferirà il portafoglio A (di n
  attività) al portafoglio B (con un insieme
  diverso di n attività) se
• EA(R) ? EB(R) e anche
• varA(R) ? varB(R) ovvero SDA(R) ? SDB(R)
• ove SD deviazione standard. Se vale (i) ma (ii)
  no, il CMV non consente di scegliere.
• I portafogli che soddisfano CMV sono efficienti
  nel nostro caso B è inefficiente e non sarà mai
  scelto se A è disponibile

16
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 3

• Diversificazione di portafoglio
• Consideriamo due attività rischiose con
  rendimenti effettivi (a un periodo) R1 e R2 e con
  rendimenti attesi µ1ER1 e µ2ER2. Le varianze
  dei rendimenti sono s2iE(Ri-µi)2 per i1,2. Il
  coefficiente di correlazione tra movimenti nei
  due rendimenti è
• ? s12 / (s1s2) ove s12 E(R1 µ1)(R2 µ2)
  cov(R1, R2)
• Se ?1 (1) i due rendimenti sono perfettamente
  correlati positivamente (negativamente) e si
  muovono sempre nello stesso senso (in senso
  opposto). Chiaramente, il rischio del portafoglio
  dipende da ? diversificazione annulla il rischio
  se ? 1 e lo riduce per ? lt 1.

17
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 4

• Dapprima linvestitore sceglie in modo da
  minimizzare il rischio del portafoglio (per ora
  non si occupa di prestare/indebitarsi
  sullattività sicura). Dovrebbe mettere tutta la
  ricchezza in 1 sola delle 2 attività (tutte le
  uova in un solo paniere) e assumersi rischio s21
  o s22 oppure dividerla tra le 2 attività e, se
  sì, in quali proporzioni?
• Diciamo che sceglie di detenere un proporzione x1
  di attività 1 e il restante x2(1 x1) di
  attività 2. Il rendimento effettivo sul
  portafoglio diversificato (ex post, non noto
  inizialmente) è Rp x1R1x2R2
• Rendimento atteso (ex ante) ERp µp x1ER1
  x2ER2 x1 µ1 x2 µ2

18
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 5

• La varianza del portafoglio è
• s2p E(Rp µp)2 Ex1(R1 µ1) x2(R2 µ2)2
• x12 E(R1µ1)2 x22 E(R2µ2)2 2 x1x2
  E(R1µ1) (R2µ2)
• x12 s21 x22 s22 2 x1x2 s12
• x12 s21 x22 s22 2 x1x2 ? s1 s2
• x12 s21 (1 x1)2 s22 2 x1 (1 x1) ? s1
  s2
• Assumendo che le due attività hanno lo stesso
  rendimento, linvestitore mira solo a minimizzare
  il rischio (s2p)
• ?(s2p)/?(x1) 2x1s21 2(1 x1)s22 2(1 2x1)
  ? s1 s2 0
• da cui x1 (s22 ? s1 s2)/(s21 s22 2 ? s1
  s2)
• ovvero x1 (s22 s12)/(s21 s22 2 s12)

19
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 6

• Dalla formula di s2p notiamo che la varianza del
  portafoglio è minima se ? 1 ed è massima se ?
  1.
• Facciamo un esempio. Se s21(0,4)2 , s22(0,5)2 e
  ? 0,25 allora il valore ottimale di x1 è
• x1 (0,5)20,25(0,4)(0,5)/(0,4)2(0,5)22(0,25)
  (0,4)(0,5)
• ovvero x1 20/31 e, sostituendo, s2p12,1 che
  è minore della varianza che si ha investendo
  tutto nellattività 1 (0,4)216 o tutto
  nellattività 2 (0,5)225
• Usare le formule sopra per mostrare che con ?1,
  s2p0.
• Intuizione anche attività molto rischiose (alta
  s2i) servono a ridurre s2p se hanno covarianza
  negativa con altre attività già nel portafoglio

20
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 7

• Infine, si può mostrare che anche quando i
  rendimenti delle attività sono totalmente
  incorrelati, la loro aggiunta al portafoglio
  riduce s2p.
• Con n attività incorrelate (?ij0), la varianza
  di portafoglio è s2p (x12s21 x22s22
  xn2s2n)
• Se tutte le varianze sono uguali (s2is2) e tutte
  le attività sono detenute nella stessa
  proporzione (1/n), allora
• s2p (n s2) / n2 s2 / n
• da cui si vede che limn?? s2p 0, cioè attività
  incorrelate riducono in ogni caso il rischio del
  portafoglio e, pertanto, ci si può aspettare che
  non richiedano rendimenti oltre il tasso privo di
  rischio.

21
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 8

• Sin qui linvestitore si concentrava sul solo
  rischio poiché i rendimenti erano uguali, ma come
  muta la scelta se si rimuove tale ipotesi?
  Nellesempio con due attività, se µ110 µ220
  ?0,5 s1100 s2900 allora si ha
• valore x1 rendimento atteso µp varianza (SD)
  portafoglio s2p
• 0 20 900 (30,0)
• 1/5 18 532 (23,1)
• 2/5 16 268 (16,4)
• 3/5 14 108 (10,4)
• 4/5 12 52 (7,2)
• 1 10 100 (10,0)
• Rappresentare in figura (anche per ngt2) relazione
  (µp , sp) e anche riduzione di sp al crescere di
  n.

22
Diversificazione, frontiera, trasformazione -9

• La frontiera efficiente
• Se abbiamo N attività, è assai grande il numero
  di portafogli che si possono costruire variando
  xi (i1,2, N) ma solo alcuni di questi sono
  efficienti (figura), gli altri sono dominati da
  questi secondo il CMV
• Per calcolare gli xi ottimali (quelli sulla
  frontiera efficiente) linvestitore fronteggia n
  rendimenti attesi µi e varianze s2i nonché
  n(n1)/2 covarianze sij, ove
• 1
• 2

23
Diversificazione, frontiera, trasformazione -10

• La frontiera efficiente mostra tutte le
  combinazioni (µp , sp) che minimizzano il rischio
  (la DS del portafoglio sp) per ogni livello di
  rendimento atteso µp.
• Linvestitore fronteggia il vincolo di bilancio
  Sxi1 (per ora non è consentito né prendere/dare
  a prestito sullattività sicura né vendere allo
  scoperto, cioè xilt0).

24
Diversificazione, frontiera, trasformazione -11

• Il problema dellinvestitore può essere così
  rappresentato
• Sceglie arbitrario rendimento obiettivo µp (es.
  10)
• Sceglie arbitrari (xi)1 in modo da avere µp
  (dalla 1)
• Calcola (sp)1, DS portafoglio con (xi)1 (dalla
  2)
• Ripete passi 23 con (xi)2 elimina (xi)2 se
  (sp)1lt(sp)2
• Itera passi 24 finché ottiene quellinsieme di
  valori xi che (i) soddisfa vincolo di bilancio
  (Sxi1) (ii) dà µp (iii) ha la DS minima del
  portafoglio (sp). Le attività detenute nelle
  proporzioni xi danno portafoglio efficiente, un
  punto nello spazio (µp , sp) (A in fig.)
• Sceglie altro obiettivo arbitrario µp (es. 9)
  e ripete passi 15 per ottenere xi e (sp) (B
  in fig.).

25
Diversificazione, frontiera, trasformazione -12
I portafogli efficienti si trovano solo sulla
porzione superiore della curva XABCD, cioè sul
tratto XABC questa è la frontiera efficiente
26
Diversificazione, frontiera, trasformazione -13

• Il nostro investitore ha percorso i seguenti
  passi
• Dati rendimenti attesi, varianze e covarianze, ha
  costruito la (unica) frontiera efficiente
• Ha così scelto le proporzioni ottimali xi che
  soddisfano vincolo di bilancio e minimizzano
  rischio portafoglio per ogni dato livello
  rendimento atteso µp
• Ha ripetuto la procedura per calcolare il valore
  minimo di sp per ogni dato livello di rendimento
  atteso µp e ha quindi mappato la frontiera
  efficiente in spazio (µp , sp)
• Ogni punto lungo la frontiera efficiente
  corrisponde a un diverso insieme di proporzioni
  ottimali x1, x2 .
• 14 è la prima scelta in applicazione del teorema
  della separazione dei due fondi.

27
Diversificazione, frontiera, trasformazione -14

• Dare/prendere a prestito la linea di
  trasformazione
• Permettiamo ora allinvestitore di dare e
  prendere a prestito sul mercato dellattività
  sicura, con rendimento r tale rendimento è
  sicuro e quindi la sua var è 0 così come la sua
  covar con tutte le n attività rischiose. Lagente
  può
• investire tutta la sua ricchezza in attività
  rischiose (senza dare né prendere a prestito)
• investire meno della sua ricchezza in attività
  rischiose, dando a prestito il resto
  nellattività sicura con tasso r
• investire più della sua ricchezza in attività
  rischiose, prendendo a prestito a tasso r.

28
Diversificazione, frontiera, trasformazione -15

• La linea di trasformazione, è la relazione tra il
  rendimento atteso e il rischio di uno specifico
  portafoglio composto di (i) attività sicura
  (ii) portafoglio di attività rischiose
• Costruiamo un portafoglio K composto da
  unattività rischiosa (ER1, s21) e dallattività
  sicura. Possiamo mostrare che vale la relazione
  µk a bsk ove µk e sk sono il rendimento
  atteso e la DS del nuovo portafoglio
• Ma possiamo anche creare un altro nuovo
  portafoglio N che consta di q attività rischiose
  in proporzioni xi (i1,2, q) e dellattività
  sicura avendo µN d0 d1sN
• Come sceglie linvestitore quanto dare/prendere a
  prestito sullattività priva di rischio?

29
Diversificazione, frontiera, trasformazione -16

• La scelta la fa considerando un nuovo
  portafoglio, mix di una quota di ricchezza y
  investita nellattività sicura e (1y) nel
  portafoglio di attività rischiose con
• rendimento effettivo RN yr (1y)R
• rendimento atteso µN yr (1y)µR
• Se y1 investe tutta la ricchezza nellattività
  sicura e µNr se y0 investe tutta la ricchezza
  in azioni e µNµR se ylt0 prende a prestito al
  tasso r per investire più della sua ricchezza in
  azioni (es. se ricchezza100 e y0,5 prende a
  prestito 50 per investire 150 in azioni)
• Poiché r è noto e fisso, DS nuovo portafoglio
  dipende solo da sR (DS attività rischiose) sN
  (1y)sR

30
Diversificazione, frontiera, trasformazione -17

• Da cui deriviamo (1y) sN/sR ovvero y 1
  (sN/sR)
• e, sostituendo µN r (µR r)/sR sN d0
  d1sN
• ove d0 r e d1 (µR r)/sR
• Per cui, per ogni portafoglio mix di attività
  sicura e attività rischiose, la relazione tra
  rendimento atteso e DS del portafoglio è lineare
  con pendenza d1 e intercetta r.
• Dato che ER gt r, per far crescere µN
  linvestitore deve far aumentare sN/sR ovvero
  deve investire una quota maggiore in azioni,
  riducendo y. Quando tutta la ricchezza è in
  azioni y0 e sNsR (punto X nella figura) quando
  y1, µNr e sN/sR0 ma lagente può anche
  prendere a prestito per investire in azioni più
  della sua ricchezza iniziale (punto Z nella
  figura).

31
Diversificazione, frontiera, trasformazione -18
La linea di trasformazione
32
Derivazione del CAPM - 1

• Linea del Mercato dei Capitali (LMC)
• Variando le caratteristiche dello specifico
  portafoglio di attività rischiose, vi saranno più
  linee di trasformazione (fig.) quella tangente
  alla frontiera efficiente è la linea del mercato
  dei capitali (LMC)
• Le sue preferenze determinano solo a che punto
  lungo la LMC linvestitore si colloca
• se poco avverso al rischio andrà su K (ove si
  indebita al tasso r per aumentare linvestimento
  in azioni)
• se molto avverso andrà su A (ove presta al tasso
  r per ridurre linvestimento in azioni)
• ma ambedue rispettano le proporzioni xi per ciò
  che investono in azioni

33
Derivazione del CAPM - 2
34
Derivazione del CAPM - 3

• Principio di separazione
• Dunque, linvestitore compie due scelte separate
• In base a rendimenti attesi, var e covar calcola
  quote efficienti portafoglio azioni (xi) su
  frontiera efficiente. Poi trova il punto M
  tangenza linea di trasformazione xi non dipende
  da preferenze stesso mix di azioni per tutti gli
  investitori
• Poi, in base alle sue preferenze, ciascun
  investitore sceglie dove posizionarsi sulla LMC
  (quanto investire in azioni vs. attività sicura)
  data da
• µN r (µR r)/sm sN

35
Derivazione del CAPM - 4

• Come il mercato prezza il rischio
• In equilibrio, per ciascun investitore, la
  pendenza della LMC (µR r)/sm (spesso chiamata
  il prezzo di mercato del rischio) deve uguagliare
  la pendenza della curva di indifferenza (il TMS
  tasso marginale di sostituzione, cioè laumento
  al margine del rendimento atteso che
  linvestitore richiede per accettare un aumento
  del rischio al margine)
• siccome la pendenza della LMC è la stessa per
  tutti, in equilibrio tutti gli investitori hanno
  lo stesso TMS
• Il prezzo di mercato del rischio può anche
  scriversi in termini di varianza ?m (µR
  r)/s2m

36
Derivazione del CAPM - 5

• Lequilibrio
• Affinché la frontiera efficiente sia la stessa
  per tutti, tutti gli investitori debbono avere
  aspettative omogenee sulle variabili di mercato
  (rendimenti attesi, var e covar)
• Come si determinano gli xi
• Sappiamo che tutti gli investitori detengono il
  mix xi del punto M (ultima fig.), ma come si
  calcolano gli xi? Sappiamo che per ogni linea di
  trasformazione e ogni portafoglio azionario p,
  tan ? (ERp r)/sp. Per raggiungere il punto
  M, si massimizza questa equazione rispetto a xi,
  soggetto al vincolo di bilancio Sxi1 e, se non
  sono ammesse vendite allo scoperto, a xi?0

37
Derivazione del CAPM - 6

• Derivazione dei rendimenti di equilibrio
• Il rendimento atteso e la DS di un portafoglio p
  (mix di n attività rischiose e dellattività
  sicura) sono
• (1)
• (2)
• ove xiquota ricchezza in attività i. il CAPM è
  la soluzione al problema di minimizzazione di sp
  soggetto a un dato livello di rendimento atteso
  ERp.

38
Derivazione del CAPM - 7

• Il lagrangiano è il seguente
• (3)
• ?i (i 1,2, n) si sceglie xi per minimizzare C
  con la CPO
• (4)
• Differenziando rispetto a ? si ottiene
• (5)

39
Derivazione del CAPM - 8

• Moltiplicando per xi (per ciascun i) la (4) e
  sommando tutte le equazioni (4) per i1,2, n,
  dà
• (6)
• e nel punto in cui Sxi1 si ottiene
• (7) ?m ?(ERm r) ovvero (8) 1/? (ERm
  r)/?m
• ove ERmS(xi ERi) ed m indica il portafoglio di
  mercato.
• Dalla (8) si nota che 1/? è la pendenza della
  LMC, prezzo di una unità di rischio, uguale per
  tutti gli investitori.
• Siccome la CPO (4) vale per tutti gli investitori
  (non contano le preferenze), possiamo derivare
  lespressione del CAPM per i rendimenti di
  equilibrio quando Sxi1

40
Derivazione del CAPM - 9

• (9)
• ovvero, sostituendo dalla (8) nella (9) per 1/?
• (10)
• NB
• (11) ?im covRi,(x1R1x2R2xnRn) xi?i2
  Si?j xi?ij
• e sostituendo la (11) nella (10) otteniamo
  lespressione CAPM per il rendimento di
  equilibrio nellattività i
• (12) ERi r (ERm r)?i
• ove, ricordiamo ?i cov(Ri , Rm)/?m2

41
Derivazione del CAPM - 10

• Si ricordi che rendimento equilibrio si ha con
  gli xi ottenuti per frontiera efficiente
  tangente a LMC, ove pendenza
• (1) (µm r)/sm .
• Per vedere che M e solo M (e quindi xi) è
  lequilibrio, si ragiona per assurdo. Costruiamo
  portafoglio artificiale p, ottenuto sottraendo un
  po dei fondi di M e investendoli nellattività
  i p consta di xi in attività i e (1xi) nel
  portafoglio M ed ha rendimento atteso e DS
• (2) ?p xi ?i (1 xi) ?m
• (3) ?p xi2?2i (1 xi)2?2m 2xi(1
  xi)?im1/2
• p si trova sulla curva AMB in fig. che è tangente
  in M a LMC e frontiera efficiente. Si mostrerà
  che lequilibrio richiede xi0 per cui p degenera
  al portafoglio M

42
Derivazione del CAPM - 11
43
Derivazione del CAPM - 12

• Sappiamo nel punto M le curve LMY (frontiera
  efficiente) e AMB coincidono poiché xi0 ove
  pendenza LMY è
• (3)
• con derivate valutate a xi0. Da (1) e (2)
  sappiamo
• (4)
• (5)
• eliminando i termini in xi (xi0) e notando che a
  M ?p?m
• (6)
• sostituendo la (4) e la (6) nella (3) si ottiene
• (7)
• ma in M la pendenza della frontiera efficiente
  (7) uguaglia quella della LMC (1) e quindi

44
Derivazione del CAPM - 13

• (8)
• Dalla (8) si ottiene relazione di equilibrio del
  CAPM
• (9)
• ovvero (10)
• quindi, lattività i è detenuta solo se soddisfa
  la CAPM (10).
• Definiamo il beta di i (11) ?i cov(Ri , Rm) /
  var(Rm)
• e la relazione CAPM (12) ERi r ?i(ERm r)
• che si può pure scrivere (13) ERi r ?m
  cov(Ri , Rm)
• Le (10), (12) e (13) sono modi equivalenti di
  esprimere la condizione di equilibrio del
  rendimento atteso CAPM

45
Derivazione del CAPM - 14

• Il beta e il rischio sistematico
• Il risk premium (rpi) è il rendimento di
  unattività rischiosa in eccesso allattività
  sicura (14) ERi ? r rpi
• da cui, in base al CAPM (15) rpi ?i(ERm
  r)
• ovvero (16) rpi ?m cov(Ri , Rm)
• NB secondo il CAPM, il rendimento in eccesso
  dellattività i dipende solo dalla sua cov col
  portafoglio di mercato e rendimento atteso in
  eccesso di i rispetto a j da ?i/?j
• (17) (ERi r)/(ERj r) ?i/?j
• Il portafoglio di mercato ha ?1 ?j1 azioni
  neutrali ?jgt1 azioni aggressive ?jlt1 azioni
  difensive.

46
Derivazione del CAPM - 15

• Il rischio sistematico (o non diversificabile) è
  quel rischio che non può essere diversificato
  aggiungendo altre attività al portafoglio
• anche portafogli molto diversificati avranno
  comunque un rischio sistematico (perché, si
  potrebbe mostrare, al crescere del numero di
  attività si riesce a diversificare al varianza
  dei singoli rendimenti ma non la covarianza tra
  rendimenti)
• il ?i misura il contributo al rischio del
  portafoglio intero dato dallattività i se ?i0
  lattività i non muta la varianza del portafoglio
  (Rir) se ?igt0 laumenta (Rigtr) se ?ilt0 la
  riduce (Riltr).

47
Derivazione del CAPM - 16

• Prevedibilità dei rendimenti di equilibrio
• Il CAPM è coerente col fatto che i rendimenti di
  equilibrio siano sia variabili che prevedibili.
  Infatti i rendimenti attesi (in eccesso) del
  portafoglio sono
• (18) EtRmt1 rt ? Et?2m,t1
• cioè i rendimenti di equilibrio variano nel tempo
  se la varianza condizionata dellerrore di
  previsione dei rendimenti non è costante nel
  tempo.
• Questo non è un punto teorico ma empirico in
  borsa tende a esservi persistenza nella
  volatilità (turbolenza segue turbolenza calma
  segue calma) ciò aiuta a prevedere i rendimenti
  futuri

48
Derivazione del CAPM - 17

• Il modo più semplice di rappresentare la
  persistenza nella volatilità è con un processo
  autoregressivo AR(1). Quando il secondo momento
  della distribuzione (cioè la varianza o
  volatilità) è autoregressivo, il processo si
  chiama Autoregressive Conditional
  Heteroschedasticity (ARCH)
• (19) ?2t1 ??2t ?t
• ove ?t è un termine di errore distribuito con
  media nulla (white noise) e indipendente da ?2t.
  La migliore previsione di ?2t1 è
• (20) Et?2t1 ??2t

49
Derivazione del CAPM - 18

• Il CAPM con processo (ARCH) dà
• (21) EtRmt1 rt ? ??2t
• per cui i rendimenti di equilibrio attesi (i)
  variano nel tempo (ii) dipendono dalle
  informazioni disponibili al tempo t, cioè ?2t.
• La varianza condizionata ??2t è la migliore stima
  del rischio sistematico di mercato al periodo
  successivo e, in equilibrio, questi rischi sono
  remunerati con rendimenti attesi
  corrispondentemente più elevati