TI2131 TEORI PROBABILITAS

1
TI2131 TEORI PROBABILITAS

• Bagian 5 DISTRIBUSI KONTINYU
• Laboratorium Sistem Produksi
• ?2004

2

• Variabel Random Kontinyu
• Distribusi Probabilitas Uniform
• Distribusi Probabilitas Eksponensial
• Distribusi Probabilitas Normal
• Distribusi Porbabilitas Gamma
• Distribusi Probabilitas Weibull

3
Dari Diskrit Menjadi Kontinyu
Interval waktu dapat dibagi menjadi
Interval 0.125 menit
Interval 0.5 menit
Interval 0.25 menit
Interval kecil tak terbatas
Jika sebuah variabel random diskrit dibagi
menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka
perhitungan probabilitasnya ditentukan oleh
sebuah rentangnilai dan nilai probabilitas adalah
luas area di bawah kurva dalam rentang tersebut.
Untuk contoh di samping, dinyatakan dengan
P(2ltXlt3).
4
Variabel Random Kontinyu

• Variabel Random Kontinyu adalah sebuah variabel
  random yang dapat berupa sembarang nilai pada
  suatu interval yang diamati.
• Probabilitas dari variabel random kontinyu X
  ditentukan oleh sebuah fungsi densitas,
  dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa
  sifat berikut.
• ? f(x) gt 0 untuk setiap nilai x.
• ? Probabilitas bahwa X berada diantara dua
  nilai a dan b
• adalah sama dengan luas area dibawah
  f(x) yang dibatasi
• oleh a dan b.
• ? Total luas area di bawah kurva f(x)
  adalah 1.00.

5
Fungsi Densitas dan Kumulatif
F(x)
1
Fungsi kumulatif
F(b)

P(a X b)F(b) - F(a)
F(a)
0
x
a
b
f(x)
P(a lt X lt b) Area di bawah f(x) yang dibatasi
oleh a dan b F(b) - F(a)
Fungsi densitas
x
a
0
b
6
Distribusi Uniform Kontinyu (1)
Densitas uniform 0,5
1/5 for 0 lt X lt 5 f(x)
0 lainnya E(X) 2.5

Distribusi Uniform
0
.
5
0
.
4
0
.
3
)
x
(
f
Luas area di bawah f(x) Interval 1 sampai 3
P(1ltXlt3)
2.(1/5) 2/5
0
.
2
0
.
1
0.0
.
2
1
6
5
4
3
0
-
1
x
7
Distribusi Uniform Kontinyu (2)

• Definisi
• Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu)
  dengan kemungkinan kemunculan yang sama maka
  dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) x
  mengikuti distribusi uniform dengan fungsi
  densitas probabilitas
• 1/(? - ?), untuk ?ltxlt?
• f(x)
• 0 untuk x lainnya.
• Ekspektasi dan variansi
• E(X)(??)/2 dan V(X) (? - ?)2/12

8
Distribusi Uniform Kontinyu (3)

• Contoh
• Dalam program komputer simulai terdapat subrutin
  pembangkit bilangan random uniform dalam interval
  0,10. Sebuah proses simulasi akan akan berhenti
  (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah
  bilangan random 3/2 , 7/2. Jika dilakukan
  replikasi pembangkitan bilangan random, berapa
  kemungkinan proses tersebut akan berhenti
  (terminate)?
• Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform
  kontinyu dengan fungsi f(x)1/10 untuk 1,10,
  dengan demikian probabilitas bahwa proses
  simulasi akan berhenti adalah P(3/2ltxlt7/2)0,2.

9
Distribusi Eksponensial (1)

• Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat
  dengan distribusi Poisson (dari proses poisson)
  jika persoalan didekati dari variabel interval
  antar kedatangan.

10
Distribusi Eksponensial (2)
11
Distribusi Eksponensial (3)

• Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen
  pengaman untuk melindungi peralatan dari
  kegagalan. Berdasarkan data dan pengamatan yang
  panjang, komponen pengaman tersebut memiliki daya
  tahan yang dinyatakan oleh variabel random satuan
  waktu (minggu) T yang berdistribusi eksponensial
  dengan parameter ?1/5. Saat ini perusahaan
  memiliki 5 set peralatan terpisah (independent)
  dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen
  pengaman yang diasumsikan identik. Dari
  perhitungan pesanan masuk yang harus dipenuhi,
  perusahaan menginkan peralatan tersebut tidak
  mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan
  yang direncanakan akan dipenuhi dalam 8 minggu.
  Jika diinginkan paling sedikit dua peralatan
  dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan tersebut,
  berapa besar kemungkinan tersebut terjadi?

12
Distribusi Eksponensial (4)
13
Distribusi Probabilitas Normal (1)
Untuk p?0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi
binomial menjadi
n 6
n 14
n 10
Distribusi yang berbentuk kurva seperti lonceng
(bell)
14
Distribusi Probabilitas Normal (2)

• Distribusi kemungkinan variabel random kontinyu
  yang terpenting dalam statistika adalah
  distribusi normal, yang merupakan variabel random
  yang berasal dari proses random dengan satu titik
  pemusatan dan menyebar disekitar titik pemusatan
  tersebut secara simetris.
• Dikenal sebagai distribusi Gauss, sebagai orang
  pertama yang mempublikasikannya pada tahun 1809
  (bentuk matematika pertama kali diturunkan dari
  distribusi binomial oleh DeMoivre 1733 dan
  Laplace 1775) dan selanjutnya dipromosikan
  sebagai sebuah dalil probabilitas untuk setiap
  variabel random kontinyu.

15
Distribusi Probabilitas Normal (3)
Fungsi densitas probabilitas normal
16
Distribusi Probabilitas Normal (4)

• Kurva normal membentuk
• Kurva lonceng dan berdistribusi simetris,
  sehingga setengah (.50 or 50) bagian akan berada
  di salah satu sisi dari rata-rata.
• Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata,
  ?, dan variansi, ???, dan dintayakan dengan
  XN(????).
• Setiap kurva bersifat asymptotik.
• Luas area di bawah kurva fungsi densitas
  probabilitas normal dalam rantang k? dari ?
  adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun
  besarnya nilai rata-rata dan variansi.

17
Distribusi Probabilitas Normal (5)
18
Distribusi Probabilitas Normal (6)
19
Distribusi Probabilitas Normal (7)
20
Distribusi Probabilitas Normal (8)
21
Distribusi Probabilitas Normal (9)
22
Distribusi Probabilitas Normal (10)
23
Distribusi Probabilitas Normal (11)
24
Distribusi Probabilitas Normal (12)
25
Distribusi Probabilitas Normal (13)
26
Distribusi Probabilitas Normal (14)
Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi
normal dengan nilai rata-rata dan variansi yang
berbeda
Perhatikan bahwa P(39 ? W ? 41) P(25 ? X ?
35) P(47 ? Y ? 53) P(-1 ? Z ? 1)
Nilai probabilitas dari setiap interval adalah
luas area di bawah kurva fungsi densitas
probabilitas normal.
27
Distribusi Probabilitas Normal (15)

• Probabilitas bahwa variabel random normal berada
  dalam rentang satu deviasi standar dari rata-rata
  adalah 0.6826, atau sekitar 0.68.
• Probabilitas bahwa variabel random normal berada
  dalam rentang dua deviasi standar dari rata-rata
  adalah 0.9544, atau sekitar 0.95.
• Probabilitas bahwa variabel random normal berada
  dalam rentang tiga deviasi standar dari rata-rata
  adalah 0.9974.

28
Distribusi Normal Standar (1)
Variabel random normal standar, Z, adalah
variabel random normal dengan rata-rata ? 0 dan
deviasi standar ? 1 ZN(0,12).
Standard Normal Distribution
0
.
4
0
.
3

?1
)
z
0
.
2
(
f
0
.
1
0
.
0
5
4
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
?0
Z
29
Distribusi Normal Standar (2) P(0 lt Z lt 1.56)
Probabilitas Normal Standar
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 0.00
00 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.027
9 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.
0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793
0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064
0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.13
31 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0
.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.
1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054
0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2
291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.25
17 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0
.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.291
0 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106
0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3
289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438
0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0
.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.374
9 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.
3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4
015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115
0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.42
22 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.431
9 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.
4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474
0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.46
08 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0
.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.
9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750
0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4
788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1
0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0
.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.487
1 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.
4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4
911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925
0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.49
38 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.494
9 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.
4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965
0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972
0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.49
77 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0
.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.
4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988
0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
Lihat pada baris 1.5 dan kolom .06 untuk
menemukan P(0ltzlt1.56) 0.4406
30
Distribusi Normal Standar (3) P(Z lt -2.47)

• Untuk P(Zlt-2.47)
• Lihat tabel untuk 2.47
• P(0 lt Z lt 2.47) .4934
• P(Z lt -2.47) .5 - P(0 lt Z lt 2.47)
• .5 - .4934 0.0066

z ... .06 .07 .08 . . .
. . . . . . . . . 2.3
... 0.4909 0.4911 0.4913 2.4
... 0.4931 0.4932 0.4934 2.5
... 0.4948 0.4949 0.4951 .
S
t
a
n
d
a
r
d

N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
Area di sebelah kiri -2.47 P(Z lt -2.47) .5 -
0.4932 0.0068
0
.
4
Nilai tabel area 2.47 P(0 lt Z lt 2.47) 0.4934
0
.
3
)
z
0
.
2
(
f
0
.
1
0
.
0
5
4
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
Z
31
Distribusi Normal Standar (4) P(1lt Z lt 2)
Temukan P(1 lt Z lt 2) 1. Temukan nilai tabel
2.00 F(2) P(Z lt 2.00) .5 .4772 .9772 2.
Temukan nilai tabel 1.00 F(1) P(Z lt 1.00) .5
.3413 .8413 3. P(1 lt Z lt 2.00) P(Z lt 2.00)
- P(Z lt 1.00) .9772 -
.8413 .1359
z .00 ... . . . . . . 0.9 0.3159 ... 1.0
0.3413 ... 1.1 0.3643 ... . . . . .
. 1.9 0.4713 ... 2.0 0.4772 ... 2.1 0.4821 ...
. . . . . .
S
t
a
n
d
a
r
d

N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
0
.
4
Luas area diantara 1 dan 2 P(1 lt Z lt 2) .4772 -
.8413 0.1359
0
.
3
)
z
0
.
2
(
f
0
.
1
0
.
0
5
4
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
Z
32
Distribusi Normal Standar (5) P(0 lt Z lt z) 0.40
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 0.00
00 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.027
9 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.
0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793
0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064
0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.13
31 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0
.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.
1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054
0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2
291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.25
17 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0
.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.291
0 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106
0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3
289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438
0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0
.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.374
9 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.
3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4
015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115
0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .

• Temukan z sehingga
• P(0 lt ?Z lt ?z) .40
• Temukan nilai probabilitas
• sedekat mungkin dengan .40
• dari tabel kemungkinan normal
• standar.
• Tentukan nilai z pada baris dan
• kolom yang sesuai.
• P(0ltzlt1.28)? 0.40
• Karena P(Z lt 0) .50
• P(Z lt1.28)? .90

S
t
a
n
d
a
r
d

N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
0
.
4
Luas area di kiri 0 .50 P(z ? 0) .50
Area .40 (.3997)
0
.
3
)
z
0
.
2
(
f
0
.
1
0
.
0
5
4
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
Z 1.28
Z
33
Distribusi Normal Standar (6) P(-z.005lt Z lt
z.005) 0.99
Untuk memperoleh probabilitas 0.99 di tengah
distribusi, akan ada (1/2)(1-.99) (1/2)(.01)
.005 di ekor (tail) distribusi, dan (1/2)(.99)
.495 setengah dari interval .99, atau
P(0ltZlt?z.005) .495 Dari tabel probabilitas
normal standar 2,57 lt ?z.005 lt ? 2,58
z.005 ? ? 2,575 P(-.2575 lt ?Z
lt 2,575) .99
z .04 .05 .06 .07 .08 .09 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. 2.4 ... 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4
936 2.5 ... 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4
952 2.6 ... 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4
964 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Area di tengah .99
Area di kiri .495
Area di kanan .495
Area di ekor kanan .005
Area di ekor kiri .005
2.575
-2.575
34
Transformasi Variabel Random Normal
Luas area dalam interval k? dari rata-rata untuk
variabel random normal adalah sama. Jadi area di
bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah
kurna normal standar. Contoh P(40 ? X ?
??????P(-1 ? Z ? ?? ? ?????? untuk m 50 dan s
10.
Transformasi X menjadi Z
N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n


?

5
0
,

?

1
0
0
.
0
7
0
.
0
6
Transformasi pada
0
.
0
5
)
0
.
0
4
x
(
f
(1) Pengurangan (X - ?x)
0
.
0
3

0
.
0
2
?10
S
t
a
n
d
a
r
d

N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
0
.
0
1
0
.
0
0
0
.
4
1
0
0
9
0
8
0
7
0
6
0
5
0
4
0
3
0
2
0
1
0
0
X
0
.
3
)
(2) Pembagian dengan ?x)
z
0
.
2
(
f

Transformasi sebaliknya Z menjadi X
1.0
0
.
1
0
.
0
5
4
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
Z
35
Transformasi Variabel Random Normal
36
Transformasi Variabel Random Normal(Minitab)
MTB gt cdf 100 SUBCgt normal 160,30. Cumulative
Distribution Function Normal with mean 160.000
and standard deviation 30.0000 x
P( X lt x) 100.0000 0.0228 MTB gt cdf
180 SUBCgt normal 160,30. Cumulative Distribution
Function Normal with mean 160.000 and standard
deviation 30.0000 x P( X lt x)
180.0000 0.7475
MTB gt cdf 150 SUBCgt normal 127,22. Cumulative
Distribution Function Normal with m 127.000
and s 22.0000 x P( X lt x)
150.0000 0.8521
37
Transformasi Variabel Random Normal(Minitab)
N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n


?



3
8
3
,

?



1
2
0
.
0
5
0
.
0
4
0
.
0
3
)
X
(
f
0
.
0
2
0
.
0
1
S
t
a
n
d
a
r
d

N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
0
.
0
0
440
390
340
0
.
4
X
Equivalent areas
0
.
3
)
z
0
.
2
(
f
0
.
1
0
.
0
5
4
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
Z
MTB gt cdf 394 SUBCgt normal 383,12. Cumulative
Distribution Function Normal with mean 383.000
and standard deviation 12.0000 x
P( X lt x) 394.0000 0.8203
MTB gt cdf 399 SUBCgt normal 383,12. Cumulative
Distribution Function Normal with mean 383.000
and standard deviation 12.0000 x
P( X lt x) 399.0000 0.9088
38
Transformasi Variabel Random Normal(Excel)
39
Transformasi Variabel Random Normal
40
Transformasi Variabel Random Normal
Untuk menemukan nilai probabilitas dengan
interval tertentu untuk sembarang variabel random
normal adalah dengan mengekspresikan interval
tersebut dalam satuan deviasi standar dari
rata-ratanya. Jika XN(50,102), P(X gt70) dapat
diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi standar di
atas rata-rata X 70?2?. P(X gt 70) ekuivalen
dengan P(Z gt 2), luas area di bawah kurva normal
standar.
z .07 .08 .09 . . . . . . . . .
. . . . . . 1.1 . . .
0.3790 0.3810 0.3830 1.2 . . .
0.3980 0.3997 0.4015 1.3 . . .
0.4147 0.4162 0.4177 . . . . .
. . . . . . . . . .
Contoh XN(124,122) P(X gt x) 0.10 dan P(Z gt
1.28) ? ??0.10 x ? z? 124 (1.28)(12)
139.36
41
Transformasi Variabel Random Normal
Contoh
XN(2450,4002) P(altXltb)0.95 dan
P(-1.96ltZlt1.96)??0.95 x ? ? z? 2450
(1.96)(400) 2450 784(1666,3234) P(1666 lt X lt
3234) 0.95
Contoh XN(5.7,0.52) P(X gt
x)0.01 dan P(Z gt 2.33) ???0.01 x ? z? 5.7
(2.33)(0.5) 6.865
z .02 .03 .04 . . . . . . . . .
. . . . . . 2.2 . . .
0.4868 0.4871 0.4875 2.3 . . .
0.4898 0.4901 0.4904 2.4 . . .
0.4922 0.4925 0.4927 . . . . .
. . . . . . . . . .
z .05 .06 .07 . . . . . . . . .
. . . . . . 1.8 . . .
0.4678 0.4686 0.4693 1.9 . . .
0.4744 0.4750 0.4756 2.0 . . .
0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . .
. . . .
N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n


?



5
.
7

?



0
.
5
N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n


?



2
4
5
0

?



4
0
0
0
.
8
0
.
8
0
.
0
0
1
5
0
.
0
0
1
5
Area 0.49
0
.
7
0
.
7
0
.
6
0
.
6
.4750
.4750
0
.
0
0
1
0
0
.
0
0
1
0
0
.
5
0
.
5
)
)
x
x
0
.
4
0
.
4
(
(
f
f
0
.
3
0
.
3
X.01 ?z? 5.7 (2.33)(0.5) 6.865
0
.
0
0
0
5
0
.
0
0
0
5
0
.
2
0
.
2
.0250
.0250
Area 0.01
0
.
1
0
.
1
0
.
0
0
.
0
0
.
0
0
0
0
0
.
0
0
0
0
4
0
0
0
3
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
4
0
0
0
3
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
8
.
2
7
.
2
6
.
2
5
.
2
4
.
2
3
.
2
8
.
2
7
.
2
6
.
2
5
.
2
4
.
2
3
.
2
X
X
5
4
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
5
4
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
z
Z
-1.96
1.96
Z.01 2.33
42
Transformasi Variabel Random Normal
N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n


?



2
4
5
0
,

?



4
0
0
1. Gambarkan distribusi normal yang ingin
diteliti dan distribusi normal standar.
0
.
0
0
1
2
.
0
.
0
0
1
0
.
0
.
0
0
0
8
.
)
x
0
.
0
0
0
6
(
.
f
0
.
0
0
0
4
.
0
.
0
0
0
2
.
0
.
0
0
0
0
4
0
0
0
3
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
2. Arsir daerah probabilitas yang diteliti.
X
S
t
a
n
d
a
r
d

N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
0
.
4
3. Dari tabel distribusi normal standar, temukan
nilai z.
0
.
3
)
z
(
0
.
2
f
0
.
1
4. Transformasikan nilai z menjadi x (nilai
variabel random asal).
0
.
0
5
4
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
Z
43
Transformasi Variabel Random Normal
3. Temukan nilai z dari tabel normal standar
z-1,96 dan z1.96
N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n


?



2
4
5
0
,

?



4
0
0
1. Distribusi normal dan normal standar.
2. Arsir daerah 0.95 (masing-masing 0.475 di kiri
dan kanan.
4. Transformasi nilai z ke nilai x
z .05 .06 .07 . . . . . . . . .
. . . . . . 1.8 . . .
0.4678 0.4686 0.4693 1.9 . . .
0.4744 0.4750 0.4756 2.0 . . .
0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . .
. . . .
x ? ? z? 2450 (1.96)(400) 2450
784 (1666,3234)
-1.96
1.96
44
Transformasi Variabel Random Normal
Using EXCEL
45
Pendekatan untuk Binomial (1)
Distribusi normal dengan ? 3.5 dan ? 1.323
mendekati distribusi binomial dengan n 7 dan p
0.50.
P(xlt4.5) 0.7749
N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n


?



3
.
5
,

?



1
.
3
2
3
B
i
n
o
m
i
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n


n



7
,

p



0
.
5
0
0
.
3
0
.
3
P( x ?4) 0.7734
0
.
2
0
.
2
)
)
x
x
(
(
f
P
0
.
1
0
.
1
0
.
0
0
.
0
1
0
5
0
7
6
5
4
3
2
1
0
X
X
MTB gt cdf 4.5 SUBCgt normal 3.5 1.323. Cumulative
Distribution Function Normal with mean 3.50000
and standard deviation 1.32300 x
P( X lt x) 4.5000 0.7751
MTB gt cdf 4 SUBCgt binomial 7,.5. Cumulative
Distribution Function Binomial with n 7 and p
0.500000 x P( X lt x) 4.00
0.7734
?0.0017
46
Pendekatan untuk Binomial (2)
Distribusi normal dengan ? 5.5 dan ? 1.6583
pendekatan yang lebih baik untuk distribusi
binomial dengan n 11 dan p 0.50.
B
i
n
o
m
i
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n


n



1
1
,

p



0
.
5
0
N
o
r
m
a
l

D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n


?



5
.
5
,

?



1
.
6
5
8
3
P(x?4) 0.2744
P(xlt4.5) 0.2732
0
.
3
0
.
2
0
.
2
)
x
(
)
P
x
(
f
0
.
1
0
.
1
0
.
0
0
.
0
1
1
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
0
5
0
X
X
MTB gt cdf 4.5 SUBCgt normal 5.5
1.6583. Cumulative Distribution Function Normal
with mean 5.50000 and standard deviation
1.65830 x P( X lt x) 4.5000
0.2732
MTB gt cdf 4 SUBCgt binomial 11,.5. Cumulative
Distribution Function Binomial with n 11 and p
0.500000 x P( X lt x) 4.00
0.2744
?0.0012
47
Pendekatan untuk Binomial (3)
48
Pendekatan untuk Binomial (4)
Untuk n besar (ngt50) dan p tidak mendekati 0 atau
1.00
Atau
Untuk n sedang (20ltnlt50)
Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati
1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson.
49
Pendekatan untuk Binomial (5)
50
Perhitungan dengan Excel (1)

• Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan
  memberikan nilai probabilitas kumulatif dari
  variabel random normal standar.
• Perintah NORMDIST(number, mean, standard
  deviation) akan memberikan nilai probabilitas
  dari variabel random normal secara umum.

51
Perhitungan dengan Excel (2)

• Contoh
• NORMSDIST(1.0) 0.8413.
• NORMDIST(10.0, 5, 2) 0.9938.
• Perintah inversinya NORMSINV(number) dan
  NORMINV(number, mean, standard deviation).
• NORMSINV(0.975) 1.96.
• NORMINV(0.975, 20, 10) 39.6.

52
Distribusi Normal Multivariat (1)
53
Distribusi Normal Multivariat (2)
54
Distribusi Normal Multivariat (3)
55
Distribusi Probabilitas Gamma (1)
56
Distribusi Probabilitas Gamma (2)
57
Distribusi Probabilitas Gamma (3)
58
Distribusi Probabilitas Gamma (4)
59
Distribusi Probabilitas Weibull (1)
60
Distribusi Probabilitas Weibull (2)
61
Distribusi Probabilitas Weibull (3)
Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam
analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi
distribusi tersebut dengan menyertakan hazard
rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun,
dan mencakup initial failure serta wear-out
failures.
t