Teor

1
ENFOQUE ONTOLÓGICO-SEMIÓTICO DE LA COGNICIÓN E
INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA
Teoría de los Significados Sistémicos
Juan D. GODINO
2
ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO de la Cognición e
Instrucción Matemática
3
TSS Nociones y fuentes
4
ANTECEDENTES PRÓXIMOS

• Teorías pragmáticas y realistas del significado
  (Ullmann, Kutchera)
• Teoría de los campos conceptuales (Vergnaud)
• Teoría de Situaciones didácticas (Brousseau)
• Teoría antropológica (Chevallard)
• Interaccionismo simbólico (Cob, Bauersfeld)
• HACIA UN MODELO PRAGMÁTICO-REALISTA DE LA
  COGNICIÓN MATEMÁTICA

5
Un ejemplo Estudio de la Mediana
La mediana Entre las medidas de
centralización, la media aritmética es
generalmente la que mejor representa a un
conjunto de datos?, ya que en el cálculo de la
media intervienen todos los datos. ? Sin embargo,
hay casos en que la mediana representa mejor a un
conjunto de datos, ? como ocurre en el siguiente
ejemplo En una oficina, los sueldos de las
cinco personas que trabajan en ella son 60.000
pts, 70.000 pts, 80.000 pts, 90.000 pts y 380.000
pts Qué cantidad puede representar mejor estos
cinco sueldos? ?   Calculemos la media
X (60.000 70.000 80.000 90.000 380.000)
5 136.000 pts?   Es evidente que esta
media no representa bien a los sueldos de los
trabajadores de la oficina, ya que los sueldos de
cada una de las cinco personas están bastante
alejados de las 136.000 pts. Esta falta de
representatividad de la media es debida a la
existencia de un sueldo muy elevado (380.000 pts)
comparado con los demás, que influye en la media.
?   En este caso, la mediana resulta ser un
número más representativo que la media
aritmética.? La mediana de un conjunto
ordenado de datos de una variable es el valor que
deja igual número de datos por encima de él que
por debajo de él. ?  
6
3. OBJETOS MATEMÁTICOS Y SIGNIFICADOS

• Elaboramos un nuevo constructo teórico, de
  naturaleza pragmática, que proponemos como
  herramienta clave del análisis cognitivo en
  educación matemática
• Sistema de prácticas operativas y discursivas de
  una persona ante un cierto tipo de
  situaciones-problemas".
• De estos "sistemas de prácticas" postulamos la
  emergencia de objetos personales e
  institucionales, objetivados por un léxico común.

7
ACTIVIDAD MATEMÁTICA

• Papel esencial de la actividad matemática, las
  acciones de las personas ante cierto tipo de
  tareas problemáticas, en la generación de las
  entidades matemáticas, en su doble versión de
  entidades culturales y mentales.
• El carácter inobservables de estas últimas nos
  lleva a proponer asignar como significado de un
  término o expresión matemática el correspondiente
  sistema de prácticas.
• Los objetos matemáticos son fruto de la
  construcción humana, cambian a lo largo del
  tiempo y pueden ser dotados de significados
  diversos por personas e instituciones diferentes.

8
PROBLEMAS MATEMÁTICOS

• Partimos de la noción de situación-problema como
  primitiva y de la idea que la variación
  sistemática de las variables que intervienen en
  las situaciones-problema da lugar a diferentes
  tipos y campos de problemas.
• La génesis del conocimiento personal se produce
  como consecuencia de la interacción del sujeto
  con tipos de problemas, mediatizada por los
  contextos institucionales en que tiene lugar
  dicha actividad.

9
SISTEMAS DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS

• PRÁCTICA MATEMÁTICA
• Toda actuación o expresión (verbal, gráfica,
  etc.) realizada por alguien para resolver
  problemas matemáticos, comunicar a otros la
  solución obtenida, validarla o generalizarla a
  otros contextos y problemas.
• PRÁCTICAS SIGNIFICATIVAS
• Desempeña una función para la consecución del
  objetivo en los procesos de resolución de un
  problema, o bien para comunicar a otro la
  solución, validar la solución y generalizarla a
  otros contextos y problemas
• SISTEMAS DE PRÁCTICAS operativas y discursivas
  puestas de manifiesto por las personas ante tipos
  de situaciones problemáticas.

10
NOCIÓN DE INSTITUCIÓN

• Una institución (I) está constituida por las
  personas involucradas en una misma clase de
  situaciones problemáticas.
• Puesto que se comparte la misma problemática,
  las prácticas sociales son compartidas, y suelen
  tener rasgos particulares, generalmente
  condicionadas por los instrumentos disponibles en
  la misma, sus reglas y modos de funcionamiento.

11
OBJETOS EMERGENTES

• Desde un punto de vista institucional el "objeto
  emergente" es una metáfora cómoda para hablar de
  la globalidad y estructura de los sistemas de
  prácticas que permiten resolver ciertos tipos de
  problemas. (El todo es algo más que la suma de
  las partes).
• Se materializa en el léxico institucional y en
  definiciones generales que permiten el
  reconocimiento de las situaciones de uso de tales
  prácticas.
• En la mente de los sujetos se construyen esquemas
  cognitivos (objetos personales) responsables de
  que los sujetos sean capaces de reconocer las
  nuevas situaciones como pertenecientes a un
  cierto tipo, y aplicarles los procedimientos
  pertinentes para resolverlas.

12

• OBJETO INSTITUCIONAL
• Documentos curriculares, libros de texto,
  explicaciones de un profesor ante su clase
  (tienen connotaciones normativas o
  convencionales, o sea, los objetos son usados
  como referencia en el proceso de enseñanza y
  aprendizaje).
• Las interacciones entre los miembros de un grupo
  de alumnos pueden dar lugar a acuerdos en el seno
  del grupo, produciendo maneras de actuar y
  hablar compartidas, que pueden recibir un cierto
  grado de regulación interna al grupo.
  (Microinstitución local).
• OBJETO PERSONAL
• Manifestación de un sujeto individual, como la
  respuesta a una prueba de evaluación, la
  realización de una tarea escolar por un
  estudiante (son portadores, al menos
  potencialmente, de rasgos idiosincrásicos de sus
  conocimientos).

13
SIGNIFICADOS SISTÉMICOS DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS

• Los sistemas de prácticas COMO RESPUESTA DE LA
  CUESTIÓN qué es el objeto matemático? para una
  persona o para una institución, o, qué
  significa ...?
• Relatividad de los significados respecto de las
  personas, las instituciones, los contextos y
  juegos de lenguaje.
• La Teoría de las Funciones Semióticas introduce
  otros significados (elementales)

14
PRIMERAS CONSECUENCIAS

• El centro de atención de la investigación
  didáctica no debería ser las mentes de los
  estudiantes, sino los contextos culturales e
  institucionales en que tiene lugar la enseñanza
  (relaciones entre significados institucionales y
  personales).
• La naturaleza sistémica del constructo que hemos
  llamado significado de un objeto nos permite
  orientar el proceso de selección de las
  situaciones de enseñanza y evaluación, usando la
  analogía del muestreo en estadística
• Los significados institucionales juegan el papel
  de universo de referencia del cual deben
  seleccionarse muestras representativas para la
  enseñanza y evaluación.

15
Tipos de significados institucionales y personales
INSTITUCIONALES
PERSONALES
Global/ Referencial
Global
Pretendido
Declarado
Implementado
Logrado
Evaluado
16
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES

• PRETENDIDO Sistema de prácticas que se proyectan
  para un proceso de estudio particular
• REFERENCIAL Sistema de prácticas más amplio de
  donde se selecciona el significado pretendido
• IMPLEMENTADO Sistema de prácticas que
  efectivamente se implementa durante la
  realización de la instrucción proyectada.
• EVALUADO Sistema de prácticas seleccionadas para
  evaluar los aprendizajes.

17
SIGNIFICADOS PERSONALES

• GLOBAL Totalidad del sistema de prácticas
  personales que es capaz de manifestar
  potencialmente el alumno.
• DECLARADO Prácticas efectivamente expresadas a
  propósito de las pruebas de evaluación
  propuestas, incluyendo tanto las correctas como
  las incorrectas desde el punto de vista
  institucional.
• LOGRADO Prácticas manifestadas que son conformes
  con la pauta institucional establecida.

18
4. COMPONENTES DE LOS SIGNIFICADOS

• Situaciones-problemas /tareas matemáticas
• Lenguaje matemático
• Acciones
• Conceptos /reglas
• Propiedades
• Argumentos
• (Godino y Recio, 1998 Godino y Batanero, 1998
  Godino, 2002)

19
ELEMENTOS DE SIGNIFICADOTIPOS DE OBJETOS
EMERGENTES

• La noción de sistema de prácticas es útil para
  ciertos análisis de tipo macrodidáctico,
  particularmente cuando se trata de comparar la
  forma particular que adoptan los conocimientos
  matemáticos en distintos marcos institucionales,
  contextos de uso o juegos de lenguaje
• Un análisis más fino de la actividad matemática
  ha llevado a introducir en diversos trabajos los
  elementos del significado, concretados en
  listados de objetos clasificados según los seis
  tipos de entidades primarias situaciones,
  acciones, lenguaje, conceptos, propiedades y
  argumentos.
• Es una tipología de objetos emergentes (e
  intervinientes) de los sistemas de prácticas.

20
Situaciones-problemas /tareas matemáticas

• Las situaciones-problemas matemáticos promueven y
  contextualizan la actividad matemática.
• Se interpretan en un sentido amplio, incluyendo
  tanto problemas simples como situaciones
  complejas y tanto problemas puramente matemáticos
  como extramatemáticos.
• Los problemas "no vienen solos", sino que se
  agrupan en tipos, clases o campos de problemas,
  de modo que el paso de un tipo puntual a otro más
  amplio es el determinante del progreso o avance
  del conocimiento matemático, tanto individual
  como institucional.

21
Lenguaje matemático

• Para resolver los problemas matemáticos, para
  generalizar su solución o para describirlos a
  otra persona necesitamos usar elementos del
  lenguaje, tales como términos, expresiones,
  notaciones, gráficos, etc.
• Valencia representacional e instrumental del
  lenguaje

22
Acciones/ técnicas

• Para resolver los problemas propuestos se pueden
  aplicar diversas operaciones, algoritmos,
  técnicas de cálculo, procedimientos y estrategias
  que llegan a automatizarse, se hacen específicos
  del tipo de problema y se convierten en objeto de
  enseñanza.
• Cada una de las técnicas aporta elementos
  diferenciados en el significado del objeto, que
  también dependerá de los instrumentos disponibles
  en la resolución.

23
Conceptos /reglas/definiciones

• Los conceptos y propiedades son interpretados
  aquí como propone Wittgenstein, como "reglas
  gramaticales sobre el uso de símbolos y
  expresiones" para describir las situaciones y las
  acciones que realizamos ante dichas situaciones
  (Baker y Hacker, 1985, p. 285).
• Tales reglas cambian según la fenomenología, los
  juegos de lenguaje, las formas de vida, las
  instituciones.
• Otro uso habitual de 'concepto' es como sistema
  heterogéneo de objetos (situaciones, invariantes
  operatorios, representaciones) que se puede
  sustituir con ventaja por la noción de "sistema
  de prácticas".
• HAY UN ÚNICO CONCEPTO DE MEDIANA?
• INTERESA DEJAR DE HABLAR DE CONCEPTOS?

24
Propiedades

• Una vez que un objeto matemático se define y
  entra a formar parte de las herramientas
  matemáticas disponibles para la resolución de
  problemas, se convierte en objeto de estudio en
  sí mismo, para relacionarlo con otros objetos
• Las propiedades o atributos se refieren a
  condiciones de realización de las acciones, a
  características específicas de las situaciones y
  relaciones entre objetos.
• Cada propiedad de un objeto matemático lo
  relaciona con otros diferentes y contribuye al
  crecimiento del significado del objeto en
  cuestión.

25
Argumentos

• Las acciones y objetos se ligan entre sí mediante
  argumentos o razonamientos que se usan para
  comprobar las soluciones de los problemas,
  explicar y justificar la solución,
  justificaciones que pueden ser deductivas, o de
  otro tipo (Recio y Godino, 2001).
• La forma más característica de validación en
  matemáticas es de tipo deductivo y esta es la más
  extendida en los libros de nivel universitario.
• Las argumentaciones se completan o sustituyen,
  dependiendo del nivel educativo, por la búsqueda
  de contraejemplos, generalización, simulaciones
  con ordenador, demostraciones informales, etc.

26
Objetos matemáticos
27
DESARROLLOS RECIENTES DE LA TSS

• Configuracines epistémicas globales y parciales.
  Ejemplos
• Igualdad de números reales
• Función
• Número PI
• Integral
• ...

28
CONFIGURACIONES EPISTÉMICAS Y COGNITIVAS

• Los objetos estarán relacionados entre sí
  formando configuraciones epistémicas (si se
  refieren a significados institucionales) o
  configuraciones cognitivas (significados
  personales), definidas como las redes de objetos
  emergentes (e intervinientes) de los sistemas de
  prácticas y las relaciones que se establecen
  entre los mismos.

29
Configuraciones epistémicas de la noción de
función
30
Configuraciones epistémicas de número PILa
cuadratura del círculo en Egipto
31
Configuraciones epistémicas de la integral
definida
32
EL PROBLEMA DEL RELATIVISMO

• El relativismo socio-epistémico y pragmático
  contrasta con la visión tradicional de los
  objetos matemáticos como entidades universales y
  atemporales.
• La introducción de la noción de significado
  global, que abarcaría el sistema de prácticas
  operativas y discursivas asociadas al objeto en
  los diversos contextos de uso (o una muestra
  representativa de los mismos), es un intento de
  resolver el problema del relativismo.
• Desde un punto de vista formalista es posible
  identificar una misma estructura en la variedad
  del sistema de prácticas operatorias y
  discursivas puestas en juego en los diversos
  contextos de uso del objeto.
• Esa estructura formal es "el objeto matemático" -
  universal y atemporal- con el que trabaja el
  matemático profesional y al que se refiere
  Wittgenstein, según nuestra interpretación,
  cuando define la matemática como la "gramática
  del lenguaje que usamos para describir
  determinados aspectos de nuestros mundos".

33
Configuraciones epistémicas asociadas a la noción
de igualdad de números reales
34
SUBCONFIGURACIONES Y SENTIDOS

• Cada contexto de uso da lugar a una red de
  objetos y relaciones que designamos como
  configuración epistémica local.
• En cierto modo, cada configuración epistémica
  local "modeliza" un aspecto parcial del
  significado de la noción correspondiente la
  configuración es el sistema modelizador y la
  noción el objeto modelizado.
• La relación entre una configuración parcial y la
  configuración global no es simplemente de
  composición (de parte a todo). En cierto modo
  cada subconfiguración incorpora aspectos del
  todo, y desempeña el papel de modelo del todo.
• Considerar como "modelos" a las configuraciones
  parciales puede ayudar a tomar conciencia de la
  metonimia que se pone en juego cuando se confunde
  el significado de un objeto con alguno de sus
  sentidos o significados parciales.

35
5. COMPRENSIÓN Y COMPETENCIA MATEMÁTICA

• La comprensión en Didáctica de las Matemáticas
• Elementos para un modelo de la comprensión
• Dimensión personal e institucional
• Carácter sistémico y dinámico
• Comprensión y competencia
• Evaluación de la comprensión
• (Godino, 1996 Godino, 2000 Godino, 2002
  Godino 2003)

36
EL COMPLEJO Conocimiento, Comprensión,
Competencia

• Los términos y expresiones matemáticas denotan
  entidades abstractas, cuya naturaleza y origen
  tenemos que explicitar para poder elaborar una
  teoría útil y efectiva sobre qué entendemos por
  saber/conocer/ comprender tales objetos.
• LA COMPETENCIA para resolver problemas incluye
  (en las orientaciones curriculares) saber-hacer,
  saber-qué, saber-por qué, saber-ser.
• Incluye conocer y comprender, además de ser capaz
  de hacer.
• Competencias operatorias, discursivas, afectivas.

37
PROBLEMÁTICA DE LA COMPRENSIÓN/CONOCMIENTO

• Cuál es la estructura del objeto a comprender?
• Qué formas o modos posibles de comprensión
  existen para cada objeto?
• Qué aspectos o componentes de los objetos
  matemáticos es posible y deseable que aprendan
  los estudiantes en un momento y circunstancias
  dadas?
• Cómo se desarrollan estos componentes?

38
ENFOQUE PRAGMÁTICO DE LA COMPRENSIÓN

• "No pienses ni una sola vez en la comprensión
  como 'proceso mental'! -Pues ésa es la manera de
  hablar que te confunde... En el sentido en el que
  hay procesos (incluso procesos mentales)
  característicos de la comprensión, la comprensión
  no es un proceso mental." (Wittgenstein, 1953,
  Investigaciones filosóficas, p. 155).
• SABER, CONOCER, COMPRENDER se interpretan en
  términos de COMPETENCIA para resolver problemas y
  acoplamiento progresivo entre significados
  personales e institucionales.

39
Dimensión personal e institucional de la
comprensión

• La definición de comprensión de Sierpinska como
  la 'experiencia mental de un sujeto por medio de
  la cual relaciona un objeto (signo) con otro
  objeto (significado)' enfatiza uno de los
  sentidos en que es usado el término
  'comprensión.
• Pero en los procesos de evaluación del
  aprendizaje el término 'comprensión' debe tener
  en cuenta la institución escolar, en la que el
  significado de los objetos se fija culturalmente.
  
• La noción de comprensión personal de un objeto
  que se deriva de nuestro modelo teórico es la de
  "construcción o apropiación progresiva del
  significado institucional de dicho objeto".

40
CARÁCTER SISTÉMICO Y DINÁMICO

• Puesto que concebimos el "significado sistémico
  de un objeto" como una entidad compuesta de
  elementos y relativa a los contextos
  institucionales, la comprensión de un concepto
  por un sujeto, en un momento y circunstancias
  dadas, implicará la apropiación de los distintos
  elementos que componen los significados
  institucionales correspondientes.
• El reconocimiento de la complejidad sistémica del
  significado del objeto implica, además, que su
  apropiación por el sujeto será un proceso
  dinámico, progresivo, y no lineal, como
  consecuencia de los distintos dominios de
  experiencia y contextos institucionales en que
  participa.

41
ACCIÓN HUMANA E INTENCIONALIDAD

• El enfoque ontosemiótico de la cognición parte de
  la noción de práctica significativa, definida
  como la actuación que la persona realiza en su
  intento de resolver una clase de
  situaciones-problemas y a la que reconoce o
  atribuye una finalidad (un para qué).
• El conocimiento, la comprensión de los objetos
  emergentes de los sistemas de prácticas implican
  COMPETENCIA del sujeto para resolver los
  problemas correspondientes.

42
EVALUACIÓN DEL CONOCIMIENTO, COMPRENSIÓN Y
COMPETENCIA

• Una de las finalidades de la TSS es proporcionar
  criterios para la elaboración de una teoría de la
  evaluación del mismo.
• La evaluación se interpreta como la determinación
  del significado de un objeto OI para un sujeto p
  desde el punto de vista de la institución I
  Subsistema de prácticas personales asociadas a un
  campo de problemas que son consideradas en I como
  adecuadas y características para resolver dichos
  problemas.

43
INTERSECCIÓN DE PRÁCTICAS

• Para un mismo campo de problemas C, que en una
  institución I ha dado lugar a un objeto OI con
  significado S(OI), en una persona puede dar lugar
  a un objeto Op con significado personal S(Op).
• La intersección de estos dos sistemas de
  prácticas es lo que desde el punto de vista de la
  institución se considera prácticas correctas,
  esto es, lo que la persona "conoce" o "comprende"
  del objeto O desde el punto de vista de I.
• El resto de prácticas personales serían
  consideradas "erróneas", desde el punto de vista
  de la institución.

44
APROPIACIÓN DE SIGNIFICADOS

• En una situación ideal, y en una institución
  dada, diremos que un sujeto conoce, "comprende"
  el significado del objeto OI -o que se ha
  apropiado del significado" de un concepto, - si
  es capaz de reconocer los problemas,
  procedimientos, argumentaciones, propiedades y
  representaciones características, relacionarlo
  con los restantes objetos matemáticos en la
  variedad de situaciones planteadas por la
  institución correspondiente.
• También se diré que el sujeto es COMPETENTE para
  resolver el tipo de problemas correspondiente.

45
EVALUACIÓN Y SIGNIFICADOS DE REFERENCIA

• La comprensión, el conocimiento, la
  competencia alcanzada por un sujeto en un
  momento dado difícilmente será total o nula, sino
  que abarcará aspectos parciales de los diversos
  componentes y niveles de dominio posibles.
• Debido a la diversidad de posibles tareas de
  evaluación para cada objeto matemático, será
  fundamental el análisis de los significados
  implementados/pretendidos en los procesos de
  estudio correspondientes.
• Este análisis proporcionará criterios en la
  selección de los ítems para la construcción de
  los instrumentos de evaluación.