Diapo sup

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Diapo sup
Ce que je raconte nest pas écrit pour que vous
vous y retrouviez, je procède à quelques
ajouts.Si le sujet est la méthode dEuler,
jeffleure un historique (il y est plus questions
dhistoires que dhistoire!) qui montre que le
calcul infinitésimal qui deviendra lanalyse en
mathématique nest pas né dhier. Les grecs, et
leurs suivants seront obnubilés par la
démonstration GEOMETRIQUE. Par exemple, la
parabole (jeté de cailloux ou de javelo), ne sera
validée que par sa ressemblance avec
lintersection dun tronc de cône par un plan
(Menechme de Proconnèse -375 à 325).Lécole
normale de lan III, comme les années 70 (1970)
essayeront de se dissocier dune vue géométrique
de lenseignement pour démarrer sur lanalyse
mathématique ou sur  les maths modernes  je
pourrais développer!!!Jessaye de montrer que
des grecs au XVIe siècle, le problème vient dune
vue érronée, transmise par la religion, empêchant
les calculs astronomiques de prendre lampleur
quils devraient.ET SURTOUT quune équation
différentielle na que rarement une solution
analytique (exacte). Il faut passer par une
méthode dapproximation. Nous nen prévenons pas
suffisamment les élèves.
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Le calcul infinitésimal, vers la méthode dEuler.
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Depuis ArchimEde jusquA Euler, en passant par
Newton,
LE CALCUL INFINITESIMAL.
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Quelques définitions

• Calcul infinitésimal  Ensemble de notations et
  des méthodes fondamentales du calcul
  différentiel, du calcul intégral et du calcul des
  variations fondée sur l'étude des infiniment
  petits et des limites, tel quil a été mis au
  point aux XVIIe et XVIIIe siècles.

• Calcul différentiel  Partie des mathématiques
  qui traite des propriétés locales des fonctions,
  de leur comportement, pour des variations
  infiniment petites de la variable.

• Calcul intégral  Ensemble des méthodes et
  algorithmes relatifs au calcul des primitives,
  des intégrales et à la résolution des équations
  différentielles.

• Variations  Pour une fonction f dune variable
  x, façon dont les valeurs
• des images des éléments du domaine de définition
  de f se situent les unes par rapport aux autres.

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Un exemple vers le calcul infinitésimal
Archimède et lapproximation de PI.
p cest le nombre de PI thagore !
Méthode  le principe dexhaustion que lon
appelle aussi laxiome dArchimède.  Si à deux
quantités on soustrait à la plus grande plus de
sa moitié, et du reste (qui veut dire de nouveau
à la plus grande de ce qui reste) plus de sa
moitié, et ainsi de suite, on obtiendra (en
reitérant le procédé un nombre fini de fois !)
une grandeur moindre que la plus petite. Vrai ?
Nous verrons plus loin pourquoi  plus de la
moitié  (pb de la dichotomie).
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Pour un disque de rayon r 1, son aire, sa
surface vaut
puisque !). Ce disque contient un polygone
régulier (laire du disque est supérieure à celle
du polygone inscrit). Il (le disque) est lui même
inscrit dans un polygone régulier du même nombre
de côtés (laire du disque est inférieure à celle
du polygone circonscrit). Plus on augmente le
nombre de côtés et plus les aires des deux
polygones se rapprochent. Comme elles encadrent
laire du disque, le résultat obtenu est une
approximation de .

• Remarques 
•          la méthode est rigoureuse (laire du
  disque est coincée entre deux valeurs qui vont se
  rejoindre de plus en plus, et ce, dautant que
  lon veut).
•          Archimède double le nombre de côtés à
  chaque nouveau calcul..

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Premier essai encadrement par deux triangles
équilatéraux
Les différentes inclusions (qui contient qui)
sont évidentes.
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le rayon OA se trouve être sur la bissectrice,
hauteur, médiane, médiatrice issue de A. AH est
médiane. Les médianes se coupent au tiers de
chacune delles (depuis la base). Donc,
doù .
AH étant hauteur dun triangle équilatéral de
côté a, nous avons (ce
résultat vous est offert par Pythagore). Nous
avons et donc
.
aire du triangle intérieur  . .
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Extérieurement 
AD médiane doù . AD
hauteur du triangle équilatéral, donc
doù .
Aire du triangle extérieur   Nous pouvons
écrire  .
Exercice pour la prochaine fois  calculer
lapproximation obtenue avec l'ennéagone régulier.
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Deuxième essai, lhexagone mathématique ()
intérieurement   

avec a1 doù
et   extérieurement    OA hauteur
donc et
Nous pouvons écrire 
.
() il semble que le nombre dangles de
lhexagone géographique soit différent du nombre
dangles de lhexagone mathématique ils disent à
la télé   aux quatre coins de lexagone 
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Archimède continue cette méthode purement
géométrique en doublant chaque fois le nombre de
côtés des polygones réguliers utilisés (6, 12,
24, 48, jusquà 96 côtés). Il démontre la double
inégalité suivante  (soit
). Cet encadrement donne
les deux premières décimales de .
Dautres amateurs ont essayé dapprocher
par cette méthode. Le record en la matière
appartient à Ludolph van Ceulen (XVIe siècle). Il
consacra sa vie à ce calcul et parvint à trouver
35 décimales, à l'aide de polygones ayant 262
cotés (4 611 686 018 427 387 904 côtés !).
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Méthode dexhaustion (suite), le tronc de cône
Archimède commence par calculer le volume de la
pyramide.
Puis il applique  sa  méthode  le disque de
base est remplacé par un polygone dont il
augmente le nombre de côté de façon infinie (en
réalité il sarrête à ce quil peut calculer
raisonnablement). Il faut remarquer que la
méthode dexhaustion utilisée par Archimède, lui
permit détablir de nombreuses formules relatives
aux aires (y compris celle située sous un arc de
parabole), aux surfaces (sphère par exemple), aux
volumes (celui de la sphère en calcul exact).
Nous allons voir bientôt dautres méthodes de
calcul du volume de la sphère.
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Petit calcul infinitésimal?
Pour joindre deux côtés opposés en diagonale, on
parcourt une certaine distance à lhorizontale,
puis la même distance à la verticale et ainsi de
suite pour retomber sur le coin opposé. À chaque
nouveau parcours la distance parcourue pour
chacun des segments horizontaux puis verticaux
est divisées par deux. Limage ci-contre donne
une idée du problème posé. En supposant que les
côtés du carré mesurent 1 mètre, que chaque petit
segment
mesure 1 micromètre (10-6 m soit 0,00 000 1 m)
que penser de la distance parcourue?
Personnellement je verrais bien du Thalès
Vous préférez Pythagore, à tort! Chaque segment
est parallèle à lhorizontale ou à la verticale
le total sera toujours 112. Attention à la
limite en géométrie !
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Vous pouvez ajouter
Lobjectif de la vue précédente était de montrer
le problème du passage à la limite en
géométrie. Vous pouvez ajouter un exercice que je
pose TOUS LES ANS en seconde (après calculs
proposer une histoire de limite pour les 1ères et
Tales!
Monsieur et madame Puce ont décidé de passer
quelques vacances sur la côte d'Azor (un chien).
La trajectoire du saut d'une puce peut être
assimilée à un demi-cercle.
Il faut deux bonds à madame Puce pour arriver au
même point que monsieur puce en un seul
saut. Sachant que AB10 cm, que monsieur et
madame Puce doivent parcourir 5 m au total,
quelle est au millimètre près la différence des
distances totales (sommes des arcs de cercles)
parcourues par monsieur et madame Puce ?
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Historiquement
Avant les Grecs, nous ne savons pas grand chose
sur leurs capacités mathématiques. Ils ne nous
ont pas gravé un CD avec images, textes musiques
et chansons   Dans la période helléniste,
environ 500 avant JC, jusquà (toujours environ)
400 après JC, les philosophes taillent et
découpent le sens des mots, observent et
décrivent la nature, construisent les bases dun
savoir mathématique de grande qualité. Il est à
noter que pour les grecs tout est géométrie.
Platon écrit à la porte de son école  que nul
nentre ici sil nest géomètre . Ce
développement de la géométrie nous est connu par
nos études. Euclide, Pythagore, Thalès,
Ératosthène (crible pour les nombres premiers)
sont les premiers noms que nous découvrons dans
les programmes de mathématique.
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Petite galerie de portraits  (les dates sont
approximatives !).
THALES de Milet (Grec) 624 à 548 avant JC.
PYTHAGORE de Samos (Grec) de 570 à 500 avant JC.
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Commentaire sup
Thalès pour lui la terre est sphérique. Il
arrive à trouver quelle est inclinée par rapport
à lécliptique. Il naffirme pas que la terre
tourne autour du soleil mais presque. Pythagore
LE GRAND PYTHAGORE, il poursuit les idées de
Thalès, et trouve que la terre tourne autour du
soleil. Cest LE GRAND PYTHAGORE qui le dit
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ZENON dÉlée (Grec) 490 à 430 avant JC. Zénon a
une vision atomiste de l'espace et du temps. Le
découpage à linfini ne lui plait pas (la
dichotomie, découpage en deux parties pour nen
garder quune, celle qui nous intéresse, où se
trouve par exemple la solution du problème
cherché). Le découpage dune surface par des
lignes ne sera possible que jusquà ce que cette
ligne garde encore une épaisseur (après, pour
lui, il ny a rien). Cest la méthode
dexhaustion qui sera utilisée par et Archimède.
Paradoxe de la flèche Une flèche occupant à
chaque instant un espace égal à son volume, elle
ne peut se mouvoir ni dans l'espace où elle se
trouve, encore moins dans celui où elle ne se
trouve pas. Son mouvement est donc
impossible. Aux partisans de la divisibilité à
l'infini de l'espace et du temps, Zénon rétorque
par la dichotomie si on intercale des couples
"espace-temps" supplémentaires, le problème est
alors récurrent l'espace doit être divisé à
l'infini et la flèche devra d'abord parcourir la
moitié de la distance qui la sépare de sa cible,
puis la moitié de la distance restante et ainsi
de suite indéfiniment car la moitié d'une
distance non nulle ne sera jamais nulle. Ainsi,
dans les deux hypothèses, la flèche n'atteindra
pas la cible le mouvement est impossible !
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Paradoxe d'Achille et la tortue Achille voit
une tortue en avant sur son chemin. Il se met à
courir pour la rattraper mais malgré sa grande
vélocité, il ne pourra y arriver les raisons
sont sensiblement les mêmes que ci-dessus car
lorsque Achille atteint la place qu'occupait la
tortue, cette dernière a avancé il doit donc
atteindre maintenant la place qu'elle occupe
alors, et ainsi de suite... Achille ne
rattrapera donc jamais la tortue.
DEMOCRITE (Grec) 460 à 370 avant JC  On lui doit
la première théorie atomiste héritée de ses
maîtres Anaxagore et Leucippe  outre le vide, la
matière est constituée de particules indivisibles
dont les multiples combinaisons engendrent tant
les âmes que les corps. Il effectue les premiers
calculs sur le volume du cône et de la pyramide
par des méthodes reprises par Eudoxe puis
Archimède (méthode dexhaustion).
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PLATON (Grec) 428 à 348 avant JC. Philosophe,
poète, dramaturge et politicien. Sur le fronton
de lécole quil créa il écrivit   Que nul
nentre ici sil nest géomètre .
EUDOXE de Cnide (Grec) 408 à 355 avant JC (pas
dimage). Il énonce sa théorie des sphères
homocentriques, héritée de Parménide (philosophe,
école d'Élée, vers - 500) qui sera confortée par
Aristote et Ptolémée géocentrisme. Eudoxe est
aussi l'initiateur de la méthode d'exhaustion qui
lui permettra, par des quadratures proches de
celles de Riemann, le calcul d'aires et de
volumes complexes, que reprendra et affinera
Archimède.
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Commentaire sup
Platon nest signalé que pour sa devise, même si
lon peut ajouter quelques bricoles Pour
Eudoxe, patatras, cest le début de la vision
géocentrique. Pourtant, le grand Pythagore
22
ARISTOTE (Grec) 384 à 322 avant JC. Sa vision
cosmologique géocentrique (la Terre est centre du
Monde), confortant celle d'Eudoxe, reprise par
Saint Thomas d'Aquin (philosophe et religieux
italien du 13e siècle), et érigée en dogme,
entrava le développement de la science, sinon
celle de l'astronomie, jusqu'au 17è siècle.
MENECHME de Proconnèse (Grec) 375 à 325 avant JC.
Pas dimage
ARISTARQUE de Samos (Grec) 310 à 230 avant JC.
Pas dimage
Pas dimage
EUCLIDE dAlexandrie (Grec) vers 285 avant JC.
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Commentaire sup
Aristote OK Ménechme pour parabole. Aristarque
il ose penser que la terre tourne autour du
soleil ce sera mal vu! Euclide rien à voir
avec le sujet mais il est important dans le monde
des mathématiques.
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ARCHIMEDE de Syracuse (Grec) 287 à 212 avant JC.
Nous avons vu un tout petit bout de ces
recherches et résultats (PI, calcul de surfaces
et de volumes). Archimède apparaît comme un
génial précurseur du calcul infinitésimal.
ERATOSTHENE de Cyrène (Grec) 276 à 196 avant
JC.  En astronomie, il se distingua par son
remarquable calcul de la longueur du méridien
terrestre qu'il évalue à environ 40000 km
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Commentaire sup
Pas grand chose à rajouter Archimède est un peu
détaillé dans ce qui précède pour sa méthode
dexhaustion, Ératosthène est signalé pour son
calcul (à 3) du rayon de la terre, sinon, rien à
voir avec le sujet!
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PTOLEMEE Claudius (Grec) de 90 à 168 (APRES
JC)  Illustre astronome et géographe à
Alexandrie. Son œuvre, le Megiste Syntaxis (le
très grand traité), inspirée des travaux
d'Hipparque, dénommé l'Almageste par les Arabes
(de al le et megistos très grand), décrit un
géocentrisme harmonieux cher à Aristote la
Terre, immobile, est le centre du monde autour de
laquelle tournent circulairement et à des
vitesses uniformes les autres objets célestes.
THÉON d'Alexandrie, grec, 4è siècle sa fille
Hypatia , 370 à 415 Théon d'Alexandrie,
astronome et mathématicien, vécut au 4è siècle.
Ses travaux sont indissociables de ceux de sa
fille Hypatia (Hypatie). On dit d'elle qu'elle
fut belle et fort intelligente. Élevée, de par
son père, dans la philosophie et les sciences,
elle étudia à Athènes et créa à Alexandrie une
école philosophico-mathématique où elle enseigna
Platon et Aristote. Son succès déplut et engendra
méfiance auprès des autorités chrétiennes.
Pas dimage
27
Commentaire sup
Ptolémée signe le chaos il en sera fait
référence par le christianisme, et deviendra une
contrariété dans tous les calculs astronomiques,
qui après le XVIe initieront le calcul
infinitésimal et le développement de
lanalyse. Le suivant est indiqué parce que sa
fille (cest pas commun les femmes dans
lhistoire des maths, elles sont oubliées) aura
une grande réputation.
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DORESME Nicole (France) 1325 à 1382. Prêtre,
philosophe, écrivain, astronome. Il envisagea la
rotation de la terre et écrivit un traité sur la
sphère. Ses recherches le conduisent aux
premières notions de représentation graphique de
fonction (lien entre distance, temps et vitesse)
et dextrema (recherche dun maximum ou minimum).
Pas dimage
Al-KASHI ou Al-KASHANI Gamshid ibn Messaoud dit
Ghyath ad-din (auxiliaire de la foi) perse,
1350?-1439? C'est par la méthode des périmètres
qu'il calcula le nombre pi, en base 60, avec 9
positions, soit, par conversion qu'il exprime,
l'équivalent de 16 décimales (Traité sur le
cercle, 1424), excellente approximation alors
jamais atteinte 2pi 6,283 185 307 179 586
5... La plus précise connue alors était celle du
mathématicien chinois Tsu Chung Chi (vers l'an
450) qui, par la méthode des périmètres, avait
obtenu l'encadrement 3,1415926 lt pi lt 3,1415927
Pas dimage
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Commentaire sup
Ici un petit commentaire sur lobscurantisme et
la faible activité mathématique apparente Les
mathématiques Arabes concerne une sphère Grecque!
Si on y aperçoit un début dalgorithmique et de
lalgèbre, cest en Europe que ça reprendra bien
plus tard, en considérant que lalgèbre sera une
 théorisation  de la géométrie (Descartes).
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NEPER (ou NAPIER) John (écossais) 1550 à 1617 
Neper s'attacha tout d'abord à définir le
logarithme d'un sinus (nombre compris entre 0 et
1) en s'appuyant sur de complexes considérations
mécaniques de points en mouvement et sur le lien
entre les progressions arithmétique et
géométrique .
On remarquera que si une suite (un) de nombres
est géométrique de la forme un a.un-1, a
constant, a gt 0, a?1 (a est la raison de la
suite),
alors le "logarithme" dans la base a de un est
une suite arithmétique (vn) de raison 1 par
passage au logarithme, les multiplications
deviennent des additions. Les logarithmes
peuvent être ainsi définis, comme le fit Euler
si y ax , alors logay x (logarithme de base
a, a gt 0, a ? 1) Le logarithme dit népérien, ou
encore naturel, voire hyperbolique depuis Euler,
autrefois noté Log et noté aujourd'hui ln,
vérifie pour tout x gt 0 Ainsi relié au
calcul intégral, il est étudié en classes
Terminales des lycées.
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Petit intermède de la physique et des maths
Pour décrire un phénomène physique (pas forcément
de la physique!), essayer den prévoir
lévolution, détablir une loi décrivant ce qui
apparaît, on procède par expérimentation,
modélisation, confrontation au modèle des
résultats dautres apparitions du même
phénomène. Méthode partant dun relevé de
valeurs (régulièrement relevées cest plus
facile), on place les points (temps, valeur
observée) dans le plan. Laspect de la courbe
obtenue invite (en général) à choisir un modèle
plutôt quun autre.
Pour une ressemblance avec les courbes ci-contre,
on pense à un Phénomène exponentiel. QUIL FAUT
VERIFIER ! SI les valeurs (ordonnées) forment une
suite géométrique (), Alors le phénomène est
déclaré exponentiel.
() on vérifie si le rapport des termes
consécutif est constant (environ, car tout relevé
est entaché dune certaine erreur dincertitude).
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Des suites géométriques vers lexponentielle
Lexpression dun pourcentage se fait à partir
dun coefficient multiplicateur (par exemple
pour trouver le prix TTC dune
marchandise)
Un objet à 3,50  (ce pourrait être un pack de
cola, simple fiction) augmente de 1  tous les
mois. Le prix, un mois plus tard se formulera .
Le mois suivant, . Et pour le nième mois
daprès, . Belle expression, de la forme
f(x)a.bx
La courbe monte de plus en plus  (en réalité ce
ne sont que des points NON reliés car phénomène
discret ou ponctuel). Dans le tableau je lis 5 
au bout de 36 mois, 7  au 70ième (donc le
double) et 14,67  pour 12 ans (144 mois).
Je peux remarquer une augmentation de plus en
plus rapide (la valeur double pour 70 mois, elle
redouble pour 70 mois plus tard, DONC elle a
augmenté de 3,50  en 6 ans puis de 7  les 6
années suivantes !).
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diminution perpétuelle une tour, qui na pas
été bâtie à Pise, toise 10 m le jour de son
inauguration. Or ses fondations reposent sur un
sous sol sableux Elle senfonce de 2  par mois
de la hauteur restant visible. Calculs et
formule De la forme f(x)a.bx
Courbe ci-contre, et tableau de valeurs (en mois
!), avec pour étapes principales  en 1 an elle
perd 2 m !, au 35ième mois (3 ans) elle e fait
plus que la moitié delle même (tient donc
résoudre hh/2) et si je continue, au 80ième
plus que 2 petits mètres, dans sa 10ième année
elle passe en dessous du mètre, et si jattends
encore un peu, près de 17 ans plus tard, elle
sert de marche dune hauteur idéale de 17 cm (il
paraît que cest la meilleure hauteur pour
construire les marches).
34
Commentaire sup
Ce  qui précède ramène lintroduction de la
fonction exponentielle (phénomène continu) aux
suites géométriques (phénomène discret,
ponctuel). Un détail le prêt était simple du
temps des Grecs et suivants tu empruntes 100
unités, tu rembourseras 200 unités Ce nest que
plus tard que les taux deviennent plus difficiles
à calculer et demandent le passage aux
logarithmes comme une bénédiction (multiplication
ardue remplacée par addition).
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Le condensateur
Étude de la décharge dun condensateur. On relève
(toutes les unités de temps) la valeur de la
tension aux bornes dun condensateur
préalablement chargé relié à une résistance de
décharge. Le tracé ressemble à lun de ceux que
nous avons vu juste avant. Est-ce vraiment un
phénomène exponentiel?
L1 contient les unités de temps, L2 les valeurs
mesurées, et L3 le rapport Un1/Un.Certes, ce
rapport nest pas constant. Nous dirons quaux
écarts dincertitudes sur la mesure, les valeurs
sont suffisamment semblables. Cest un phénomène
exponentiel.
Tentative dexplication par le calcul
infinitésimal au départ charge Q, tension U
telle que QCU (formule générale). Plus tard, à
linstant t, qCu. À tdt, (dt tellement petit
que u ne sen aperçoit même pas), des charges se
déplacent (dq) et créent un courant i. dq-i dt
or uRi (loi dOhm) donc iu/R et qCu donc
uq/C. On remplace, dq/dt-i-u/R-q/CR soit
dq/dt -q/CR de la forme dy/dxa yb (a?0).
(équation différentielle dont la solution est une
exponentielle).
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Provisoirement sur la fonction exponentielle
Dans ce qui précède, nous apercevons une certaine
fonction exponentielle, mais nous ne la
connaissons pas pour autant.
Toute équation différentielle liant directement
une fonction et sa fonction dérivée (forme
précédente du condensateur) trouve sa solution
dans la fonction exponentielle.
Toute calculatrice graphique nous offre sa
courbe. Ce qui est indicatif mais loin dêtre
suffisant.
Nous avons vu (Neper) que lintroduction des
logarithmes se traduit par un passage aux
exponentielles (Euler). La méthode dEuler, avec
peu de moyens, permet une approche de la fonction
exponentielle INCONNUE très simplement.
Que disait létude du condensateur ? dq/dt -q/CR
de la forme dy/dxa yb ou autre notation, ya
yb (a?0) Regardons parmi cette famille
(obtenue par les variations de a et b) celle qui
sera déclarée la plus simple a1 et b0. Il faut
une information supplémentaire, qui est que pour
x00 (ou t00) y(x0)y01.
37
La méthode dEULER
Description de la méthode  Lune des définitions
du nombre dérivé sécrit  pour F définie sur I,
pour tout h tel que x0h appartienne à I,
avec . (On posera pour la suite
). Euler se dit que si le dernier terme est nul
(car h et le sont pratiquement, donc leur
produit lest encore plus), il peut écrire
, quil considère comme une formule de
récurrence, , où h est le pas choisi, le point
de départ M0 (x0  y0) sur la courbe cherchée
étant donné. Il définit alors une suite de points
M1, M2, , Mn par application de cette formule de
récurrence généralisée, .
Dune fonction (inconnue) solution dune équation
différentielle (que nous ne savons pas résoudre,
ça arrive souvent!) nous ne connaissons QUE la
condition initiale M0 (x0  y0). À partir de
 finalement nous ne savons rien , nous sommes
capables de tracer une approximation  honnête 
de la courbe solution, appelée courbe intégrale
(sur lintervalle).
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Application à la fonction exponentielle
Posons le problème  soit à chercher la courbe
intégrale (une approximation) solution de
léquation différentielle sur lintervalle
I1  2. Remarque  autant F que f sont
inconnues ! Pourtant, comme yy,
lapproximation de y donne celle de y.
Les formules   A2  E1  B2  E2  A3  A2E3  B3  B2B2E3 Recopier ces formules vers le bas. Passer à la représentation graphique.
Deuxième version, même intervalle, pas h0,05.
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Reprenons le cours de lhistoire
GALILEE Galileo (Italien) 1564 à 1642 Il
confirmera les idées héliocentriques de Copernic,
déclarées hérétiques par le pape Paul V en 1616,
et sera condamné par l'inquisition. Il devra
abjurer en 1633, tout en énonçant tout bas -dit
la légende- cette phrase célèbre E pur, si
muove! (et pourtant, elle tourne!)
MERSENNE Marin (Français), 1588 à 1648 Abbé,
philosophe et physicien, il se passionna pour les
mathématiques de son époque. Il établit une
correspondance avec les plus grands physiciens et
mathématiciens comme Huygens, Roberval,
Torricelli, Pascal, Fermat et, tout
particulièrement, Descartes qui permet d'établir
une sorte de journal de la recherche scientifique
de son époque.
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CAVALIERI Francesco Bonaventura (Italien) ,
1598-1647 Astronome et prêtre, le révérend père
n'en épouse pas moins les théories "hérétiques"
de son maître Galilée. Précurseur, avec
Torricelli et Roberval, de la géométrie
différentielle (infinitésimale) et du calcul
intégral avec la méthode des indivisibles
Basée sur l'idée que les surfaces et les volumes
sont respectivement constitués d'agrégats de
lignes et de feuillets parallèles indivisibles,
la méthode des indivisibles évite les passages à
la limite liés à la sommation d'une infinité de
termes par un usage savant de rapports d'aires.
Certains paradoxes résulteront de cette vision
"stratifiée" des surfaces et des volumes là
encore, en ce domaine, la difficulté est, comme
dans l'Antiquité avec la méthode d'exhaustion
d'Eudoxe et d'Archimède, le statut approximatif
d'un continu intuitif face au dénombrable.
Fermat Pierre (Français) 1601-1665 cest une
curiosité en effet, il na que rarement publié
ses travaux et découvertes ! il ne travaillait
les mathématiques que pour son plaisir personnel,
aussi, ses plus grands travaux apparaissent sous
forme de commentaires dans la marge des traités,
revues, ouvrages quil lisait. On suppose que
malheureusement, un grand nombre de ses travaux a
disparu. Il correspond avec tous les
scientifiques de son époque. Sa renommée, sa
réputation et ses compétences sont reconnues par
tous.
41
Il est considéré comme le plus grand
mathématicien français de tout le XVIIe
siècle.Sa méthode des maxima et minima
(extremum, obtenu par limite du taux de
variation), ou de la détermination des tangentes,
ses démonstrations en intégration (méthode des
indivisibles de Cavallieri) en font une pierre
angulaire du calcul
Infinitésimal. De la formule
seule la puissance 4 était démontrée. Lui
la démontre pour tous les entiers et exposants
fractionnaires positifs.
TORICELLI Evengelista (Italien) 1608 à 1647
Disciple de Galilée. En mathématiques, il
améliorera sensiblement la méthode ardue, voire
embrouillée, des indivisibles de Cavalieri,
première approche du calcul intégral "moderne".
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WALLIS John (anglais), 1616-1703Ses travaux
portent sur la géométrie analytique (coniques en
particulier) et l'analyse "infinie" (calcul
infinitésimal, rectification et quadratures) où,
passant à la limite sans trop de précautions, il
put cependant avancer des résultats exacts
Arithmétique des infinis (1655) traitant de la
convergence de ce que nous appelons aujourd'hui
les suites et les séries numériques. Se dégageant
de l'aspect géométrique des quadratures de
Cavalieri (méthode des indivisibles), il annonce,
avec Fermat et Pascal le calcul intégral
"moderne" de Newton et Leibniz. On doit à Wallis,
dans ce traité, la notation pour désigner
l'infini. Il est aussi à l'origine des exposants
fractionnaires il utilisa aussi des exposants
négatifs. Rappelons que c'est à Descartes que
l'on doit cette notation en exposant des
puissances d'un nombre x xn. Newton en assoira
définitivement l'usage.
PASCAL Blaise (français)1623 1662 C'est dans son
traité sur le triangle arithmétique que Pascal
énonce pour la première fois le principe du
raisonnement par récurrence, forme de
raisonnement inductif prôné par Poincaré et les
intuitionnistes (cas particulier cas général,
effet cause) par opposition au raisonnement
déductif (cas général cas particulier, cause
effet) syllogisme cher à Aristote Soit Pn
une propriété dépendant de l'entier n. Si Pk est
vraie pour l'entier k et si pour tout ngtk, la
validité (véracité) de Pn implique celle de Pn1
(hérédité), alors Pn est vraie pour tout ngtk.
43
Par son usage de la méthode des indivisibles,
introduite au début du siècle par Cavalieri, où
il introduit, comme Wallis en Angleterre, l'usage
des suites et des séries numériques au détriment
de l'aspect géométrique, Pascal annonce le calcul
infinitésimal, aussi appelé différentiel et
intégral.
C'est ainsi qu'il étudia la roulette, appelée
aujourd'hui cycloïde dont il précisa les
tangentes. Christopher Wren en calculera la
longueur.
SLUSE René François Walter (flamand), 1623 à
1685Prêtre, il fut chanoine de la cathédrale de
Liège, mais aussi un savant respecté dans les
trois domaines fondamentaux que sont les
mathématiques, la physique, l'astronomie. En
mathématiques, de Sluse s'intéressa tout
particulièrement aux courbes planes c'est
l'époque de Pascal et de Cavalieri avec lesquels
il correspondit des premières ébauches du calcul
différentiel, de la fameuse cycloïde et de
l'introduction du concept de tangente à une
courbe.
44
BARROW Isaac (anglais), 1630 à 1677Ce théologien
fut aussi un brillant mathématicien en la célèbre
université de Cambridge. Professeur de Newton qui
l'assista dans ses travaux et qui lui succédera
en 1669, il avança, dans son principal traité
intitulé Lectiones Geometricae (1674) les
principes naissants du calcul différentiel et
intégral par l'étude géométrique des tangentes à
une courbe au moyen de ce qu'il nomma le triangle
différentiel.
Le même procédé fut auparavant utilisé par Pascal
dans son Traité des sinus du quart de cercle
(1658) afin de calculer l'aire sous une arche de
cycloïde.
NEWTON Isaac (anglais), 1642 à 1727 Illustre
physicien, philosophe et, on l'oublie parfois,
mathématicien renommé. Il étudia au Trinity
College de Cambridge (Angleterre) où Barrow fut
son professeur. La fin du 17e siècle marque la
fin de l'inquisition et il sut allier les progrès
de la science aux idées théologiques de
son temps. En mathématiques, il étudia les
travaux de Wallis et, poursuivant les travaux de
Barrow, Newton peut être considéré, avec Leibniz,
comme le père du calcul différentiel et intégral
qu'il appela "Méthode des fluxions".
45
Cependant, les notions de "limite" et de
"dérivée" ne sont pas encore explicitées. Par le
biais de la mécanique, on s'intéresse au
comportement local des courbes planes par l'étude
de leurs tangentes et de leur pente fluxion.
C'est une approche mécanique et géométrique, non
analytique.Concernant les exposants, Newton à la
suite des premiers usages commis par Wallis et
Descartes propose (1676) l'usage définitif des
notations an , a-n (pour 1/an) , a1/2 pour racine
carrée de a, a1/3 pour la racine cubique. Cette
notation moderne de la racine cubique semble due
à Thomas Fantet de Lagny (1660-1734).
LEIBNIZ (Leibnitz) Gottfried Wilhelm (allemand),
1646 à 1716Philosophe, savant, juriste et
diplomate à l'époque de Louis XIV. Encouragé par
Huygens à étudier les mathématiques, il cherche à
améliorer la théorie des indivisibles de
Cavalieri et sera l'inventeur en 1686, en même
temps que Newton, du calcul différentiel et
intégral. Il se consacrera également au
développement en série des fonctions.
46
Différentielle et équation différentielle
Leibniz a utilisé dans ses écrits des notations
nouvelles, plus "fonctionnelles" il précise le
concept de fonction (le terme est de lui, 1692
en latin functio accomplissement, exécution) et
de fonction dérivée, à travers celui de
différentielle, que Newton appela fluxion. Les
notations fx puis f(x) seront dues à Euler et
Clairaut.
On lui doit aussi les Dy, D2y, Dny pour les
dérivées successives utilisés conjointement par
Johann BernoulliC'est à Lagrange que l'on devra
le terme de dérivée et la notation f '(x), le dy
(pour la différentielle de y, fonction de x) le
signe
pour l'intégrale (c'est un s pour
sommation du latin summa ).
Il manipule des "infiniment petits" on ne passe
pas encore à la limite. On ne parle pas non plus
de fonction continue. La notion de courbe est
rattachée à une vision cinématique comme chez
Neper, Descartes et Newton la continuité reste
implicite. Pour ces concepts, indissociables
d'une construction préalable des nombres réels,
il faudra attendre d'Alembert, Lagrange, Euler
et, pour une plus grande rigueur, Cauchy, Riemann
, Weierstrass.
Leibniz énonça le théorème fondamental du calcul
différentiel et intégral liant l'aire sous la
courbe aux primitives de la fonction et en
considérant le processus de "sommation" comme
réciproque de la "différentiation".
47
On lui doit la formulation "moderne" du calcul
d'un volume de révolution utilisée
implicitement par ses illustres prédécesseurs
Archimède (méthode d'exhaustion) et Cavalieri
(méthode des indivisibles).
Encore le volume de la sphère une autre idée du
calcul infinitésimal.
Principe  découper des tranches. Comme pour le
jambon, plus elles sont fines et meilleur sera le
résultat ! Supposons que dans la demi sphère nous
découpions 100 tranches. Elles ont toutes la même
épaisseur . Premier calcul, nous
choisissons R1. Nous assimilons chaque tranche à
un petit cylindre. Cest une erreur, mais si nous
sommes capables de procéder par  encadrement ,
notre erreur sera connue (inférieure à la
différence des deux résultats) et couper avec des
tranches de plus en plus fines (aller vers la
limite) fait tendre (devenir) cette différence
vers 0.
48
Quand nous sommes à la distance
la valeur du rayon du cylindre (par Pythagore)
est . Il suffit
dadditionner le volume des 100 tranches (et de
multiplier par 2 car ce nest que la demi
sphère). La sommation,
Symbole de Euler, se trouve sur ma
calculatrice. me donne les résultats
ci-dessous 
Rayon Valeur Somme Rapport au premier résultat
1 4,220 XXXXXXXXXXXX
2 33,760  8 (cest 23)
3 113,94 27 (cest 33)
4 270,086 64 (cest 43)
On peut alors en déduire
49
Les Bernoulli
BERNOULLI (Jacques) suisse, 1654-1705 La famille
Bernoulli a constitué, dès le XVIIe siècle, une
véritable dynastie de mathématiciens originaires
d'Anvers qui émigra à Bâle, en Suisse. Son frère
Johann (Jean), mathématicien et physicien sera
Johann 1er et les fils de ce dernier Daniel 1er,
Johann II, Nicolas III...
Ses travaux porteront principalement sur
l'analyse fonctionnelle, le calcul différentiel,
le calcul intégral (le terme est de lui, en 1690,
mais revendiqué aussi par Johann, et sera retenu
au détriment du calcul sommatoire de Leibniz,
lequel peut être considéré cependant comme le
fondateur dudit calcul). Le qualificatif intégral
provient du latin médiéval integralis, dérivant
du latin integer entier, (comme en anglais)
pour signifier entièrement, totalement
intégralement D'une somme d'infiniment petits,
on obtient le tout.
50
Jakob Bernoulli mit en place les fonctions
exponentielles, et que l'on peut ainsi définir
fonctions f numériques, non constantes,
différentiables (dérivables) et vérifiant, pour
tout couple (x,y) de réels, la relation f(x y)
f(x).f(y) dont la plus célèbre est celle dont
la fonction dérivée coïncide avec elle même
f(x) ex où e est le non moins célèbre nombre de
Neper.
les premières méthodes de résolutions d'
équations différentielles et le calcul des
probabilités (Ars conjectandi, 1713, édité par
son neveu Nicolas).
Il sera aussi, avec son frère Johann (Jean), un
des grands artisans du développement en série des
fonctions entamé par Mercator, Gregory et
Leibniz. Vous êtes autorisés à rechercher ce que
toute cette famille à pu apporter aux
mathématiques!
51
Euler
EULER Léonard (Suisse), 1707-1783Élève de Jean
Bernoulli. Sans doute un des plus grands
mathématiciens de tous les temps.(bac à 15 ans,
premier mémoire à 18). Son œuvre est
considérable. Euler intervint dans les trois
domaines fondamentaux de la science de son époque
l'astronomie (orbites planétaires, trajectoires
des comètes), les sciences physiques
(champs magnétiques, hydrodynamique, optique,
nature ondulatoire de la lumière,...), et les
mathématiques, dans toutes ses branches, de
l'arithmétique à la géométrie différentielle en
passant par l'analyse numérique et fonctionnelle,
le calcul des variations, les courbes et les
surfaces algébriques, le calcul des probabilités
et les
premiers aspects de la théorie des graphes et de
la topologie.Fondateur de ce qu'on appelle
aujourd'hui l'analyse fonctionnelle, il publiera
de nombreux traités, précisera la notion de
fonction et adoptera la notation f(x), également
utilisée par Clairaut, pour désigner l'image par
une fonction f d'un nombre x, plus adaptée que
celle de Jean Bernoulli qui utilisait la notation
fx.
52
Prolongeant les travaux des Bernoulli, il affine
la notion de fonction dérivée, crée la notion
d'équation aux dérivées partielles (1734) et le
calcul des variations (1744) recherche
d'extremums sur les surfaces, une des branches
les plus fécondes de l'analyse. Et la méthode
dEuler, qui nest quanecdotique dans létendue
des maths, mais un bon point de départ pour la
résolution par
approximation des équations différentielles. il
est fréquent de devoir résoudre par
approximations les équations différentiellesCes
t une bonne raison pour passer à la
programmation, et dutiliser loutil informatique.
La fonction logarithme Neper en avait écrit des
tables (20 années de travail) sans connaître la
fonction. Newton, Leibniz, Bernoulli et surtout
Euler ont remarqué le lien entre dérivée et
primitive (intégrale). Ils avaient trouvé que
(cest leur écriture)
avec un problème pour n-1. Euler se servait de
la règle . Problème, comment
tracer la courbe de la fonction logarithme ? Nous
ne connaissons que ln(1)0 et ln(x)1/x.
53
Commentaire sup

• La méthode dEuler permet lintroduction (par
  questionnement!) de fonctions qui sont
   aperçues  par leur courbes et quelques
  propriétés, alors qu elles sont totalement
  inconnues mathématiquement
• On fera un parallèle avec la physique. Ils
  étudient un phénomène, essayent de le décrire,
  den arriver à prévoir comment cela se passe,
  avec une loi physique, issue des fonctions
  mathématiques.
• Pour eux, le phénomène est comme ça! Ils nont
  pas à le justifier.
• Pour les matheux, il faut absolument que ce soit
  défini, que lexistence soit démontrée, et tout
  ce que vous voudrez. Pourtant cest comme ça que
  ça se passe sur lintervalle où ils létudient.
• Aux matheux de regarder les choses un peu
  autrement. La fonction exponentielle sera  le
  bon modèle  dès lors que
• une suite géométrique se met en évidence
  (condensateur),
• un modèle statistique prévoit lévolution du
  phénomène (radioactivité)

54
La fonction logarithme par la méthode dEuler
Utilisation dun tableur (petite programmation).
Choix dun pas de 0,4 qui donne déjà un résultat
intéressant. Les formules  A2  E1 B2 
E2   A3  A2E3 B3  B2E31/A2 C3 
LN(A3)
Visualisation, cest plutôt bien (pour un pas
aussi grand). Avec un pas plus petit (0,2 qui
nest pas si petit que ça!), cest vraiment très
ressemblant. La méthode est donc intéressante
pour obtenir rapidement une approximation de la
solution dun équation différentielle.
La méthode dEuler à ses limites quil faut
apprendre à connaître.
55
Petite comparaison Euler Newton
Newton Euler
56
(No Transcript)
57
Commentaire sup
La comparaison Newton-Euler est biaisée Newton
ne marche QUE (cest déjà beaucoup!) dans le cas
de la mécanique classique. Pas pour le reste. Il
faudrait passer par Lagrange, cest pas simple,
et de toute façon, le résultat nest pas
forcément  exact  (obtenir une équation
différentielle au résultat analytique (donc en
solution exacte) cest rare. On tombera souvent
sur une inconnue, donc sur une méthode
dapproximation. Pour Euler, sa méthode,
considérée comme  un détail  du côté des maths,
est quand même la base de bien dautres méthodes!
Cest justement un bon point mathématique
(complément détude proposé aux élèves) que de
passer à rechercher ces autres méthodes. Ce qui
coince dans létude précédente (terre qui tourne
autour de la terre), cest que le calcul de la
force (et son application!) se fait vis à vis du
point précédent (donc selon une direction qui
nest pas la bonne). En dehors de cet exemple,
elle marche plutôt bien. (voir quelques contre
exemples sur mon texte sur Euler)
58
Un dernier bout dhistoire
ROLLE Michel (français), 1652-1719Il s'opposa au
calcul différentiel dont VARIGNON Pierre
1654-1722 était, à Paris, l'ardent défenseur.
LAGRANGE Joseph Louis, Comte français,
1736-1813Né à Turin (Italie), il y enseigna les
mathématiques dès l'âge de 19 ans à l'École
d'artillerie. Il connut Euler et d'Alembert,
s'installa à Berlin (où il présida l'Académie des
sciences, à la suite de Euler) et revint à Paris
en 1787 à l'invitation de Louis XVI. Il fut
anobli par Napoléon. Encouragé dans ses débuts
par d'Alembert, sa contribution est essentielle
en Arithmétique, Algèbre équations algébriques
et résolution approchée Équations
différentielles et aux dérivées partielles
Intégrales elliptiques calcul des variations,
mécanique céleste. Théorie des fonctions réelles
et complexes
59
CAUCHY baron Augustin-Louis français,
1789-1857Souvent considéré comme un des plus
grands mathématiciens après Euler, ami de ses
aînés Lagrange, Legendre et Laplace, il fut
polytechnicien à 16 ans. Ingénieur des ponts et
chaussées, il commença sa carrière en dirigeant
les travaux de la construction du port de
Cherbourg mais il préférera, l'année de son
élection à l'Académie des sciences (1816),
enseigner au Collège de France (physique
mathématique), à l'École Polytechnique
(mécanique) et à la Sorbonne (mathématiques).
Le couronnement des travaux de Cauchy réside sans
conteste dans la création (totalement nouvelle)
de la théorie des fonctions d'une variable
complexe (étude des fonctions holomorphes) et de
la théorie des résidus (1825) ramenant le calcul
d'une intégrale (dans le cas réel ou complexe) à
un simple calcul de coefficients.
60
Quelques remerciements
La ville dAjaccio pour le prêt de la salle des
congrès, le lycée Fesch, le CCSTI (Centre de
Culture Scientifique Technique et Industriel de
Corse) et sa coordinatrice dynamique Mme M.J.
Milleliri, M. Caron inspecteur dacadémie,
inspecteur de mathématique, M. Delfini directeur
de lIREM (Institut de Recherche en Éducation des
Mathématiques) de Corse, Mme Belair du Lycée
Giocanti, et la société Texas Instrument pour
les moyens offerts. Une adresse pas mal, mais en
Anglais http//www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history
/BiogIndex.html