Estad

1
Estadística2011Maestría en FinanzasUniversida
d del CEMA

• Profesor Alberto Landro
• Asistente Julián R. Siri

2
Clase final
1. Metodología Box-Jenkins
1.1. Metodología B-J Identificación
1.2. Metodología B-J Estimación
1.3. Metodología B-J Verificación
1.4. Metodología B-J Predicción
3
1. Metodología Box-Jenkins
Transformación o Diferenciación
No
Serie Estacionaria?
Si

• Identificación
• Es el proceso AR? MA? ARMA?
• Cuál es el valor de p? q?

• (2) Estimación de Parámetros
• Preliminar
• Máxima Verosimilitud

(3) Verificación El modelo es
razonable desde el punto de vista estadístico?
Si
(4) Pronóstico
No
4
1.1. Metodología B-J Identificación

• Para la identificación se utilizan
• La función de autocorrelación muestral (FAC)
• La función de autocorrelación parcial muestral
  (FACP)
• Como bien saben, estas surgen de estimar los
  coeficientes y a partir de los
  datos que constituyen la serie a modelar.
• Pero OJO! Estos son los coeficientes estimados y
  no los poblacionales. Entonces, necesitamos
  considerar la distribución muestral, y
  específicamente, la varianza de los estimadores
  para juzgar la significatividad de discrepancias
  posibles entre estimación y parámetro.

5
1.1. Metodología B-J Identificación
AR(p) MA(q) ARMA(p,q)
Condición de estacionariedad Módulos de las raíces de mayores que 1. MA siempre es estacionario. Módulo de las raíces de mayores que 1.
Condición de invertibilidad AR siempre es invertible. Raíces de mayores que 1. Raíces de mayores que 1, en valor absoluto.
FAC Infinita. Decrecimiento exponencial y/o ciclos amortiguados. Finita. Infinita. Decrecimiento exponencial y/o ciclos amortiguados, luego de q-p desfasajes.
FACP Decrece asintóticamente hacia cero. Finita. Se interrumpe en p. Se interrumpe en q. Infinita. Dominada por decrecimiento exponencial y/o ciclos amortiguados. Infinita. Dominada por decrecimiento exponencial y/o ciclos luego de p-q desfasajes.
6
1.1. Metodología B-J Identificación

• Ergodicidad
• En las series económicas, es imposible recrear
  las condiciones bajo las cuales se realiza un
  experimento, por lo que la estabilidad y
  fiabilidad de nuestra estimación se halla
  restringida por la imposibilidad de repetir el
  experimento en idénticas condiciones.
• Eso sí, podemos obtener estimaciones
  estadísticamente consistentes a partir de una
  única serie de tiempo, gracias a una propiedad
  que cumplen los procesos estacionarios, la de
  ergodicidad.
• Se prueba que un proceso estacionario es
  ergódico, si se verifica que
• Siendo ésta condición suficiente pero no
  necesaria.

7
1.2. Metodología B-J Estimación

• Trabajaremos con modelos ARMA(p,q). En general,
  su estimación conduce aesquemas de cálculo que
  presentan las siguientes dificultades
• Las ecuaciones a resolver son no lineales en los
  parámetros.
• Las ecuaciones implican p valores desconocidos de
  la variable y y q valores del shock aleatorio e.

8
1.3. Metodología B-J Verificación

• En lo que respecta a la verificación del modelo,
  su validación abarca los siguientes aspectos
• Suficiencia en cuanto a la cantidad de parámetros
  del modelo propuesto.
• Significatividad de los coeficientes estimados.
• Análisis de las condiciones de estacionariedad e
  invertibilidad del modelo estimado.
• Análisis de los residuos de la estimación.

9
1.3. Metodología B-J Verificación

• I. Número de parámetros del modelo
• La búsqueda de la parsimonia implica que el
  modelo debe utilizar el mínimo número de
  parámetros para representar el proceso generador
  de los datos. El exceso de parámetros genera el
  sobreajuste, creándose problemas adicionales en
  la estimación.
• II. Significatividad de los coeficientes
  estimados
• Para cada coeficiente en particular es aplicable
  los test t individuales, suponiendo una
  distribución asintóticamente normal del
  estadístico. De manera conjunta puede
  contrastarse el agregado de rezagos de la
  variable y o en el ruido blanco e, mediante los
  test basados en la distribución F.

10
1.3. Metodología B-J Verificación

• II. Significatividad de los coeficientes
  estimados
• Un criterio alternativo para comparar distintos
  modelos ARMA son los ya mencionados criterios de
  información, tales como el AIC, el BIC y el AICC.
• III. Condiciones de estacionariedad e
  invertibilidad
• Es llevada a cabo mediante la factorización de
  los polinomios autorregresivos y de medias
  móviles, estudiándose las respectivas raíces. Si
  alguna está cerca de la unidad, habrá que
  diferenciar el proceso.

11
1.3. Metodología B-J Verificación

• IV. Análisis de los residuos de la estimación
• Para un modelo ARMA(p,q)
  , se verifica que
• Constituye un ruido blanco (o sea, que su FAC
  es siempre igual a cero).
• Pueden evaluarse individualmente los
  coeficientes de autocorrelación de las
  perturbaciones, mediante intervalos de confianza
  y la hipótesis nula de que dichos coeficientes
  son iguales a cero. A su vez, podemos contruir
  test de significatividad conjunta (los ya
  mencionados test Q de Box-Pierce, postergado
  luego por el estadístico de Ljung-Box, que no
  sobreestima a la distribución chi-cuadrado).

12
1.4. Metodología B-J Predicción

• Hay que distinguir lo que el período muestral de
  lo que es el período de predicción. El primero
  corresponde al período en el que se dispone de
  información, utilizada en las etapas de
  identificación y estimación del modelo (
  ). El segundo remite al lapso para el que se
  realiza la predicción ( ).
• Los pronósticos a realizar pueden ser tanto
  puntuales como por intervalo.

13
1.4. Metodología B-J Predicción

• Qué buscamos? Pronosticar un valor futuro de Y,
  k períodos adelante en el tiempo, con base en el
  proceso estocástico subyacente (dado que el
  proceso generador de los datos lo desconocemos).
• Cuán bueno es nuestro pronóstico? La fiabilidad
  de la predicción se mide en términos del error
  cuadrático medio.

14
1.4. Metodología B-J Predicción

• Propiedades del predictor
• Deseamos que el mismo sea insesgado. Denotando
• Entonces, para que se cumpla tal condición, debe
  verificarse que
• Si disponemos de T observaciones de Y, y deseamos
  pronosticar el valor futuro k períodos adelante,
  debemos tomar como predictor a
• Mientras que su error de predicción será

15
1.4. Metodología B-J Predicción

• Estructura del error de predicción
• Como mencionamos en la clase pasada, la varianza
  del error de predicción depende
• De la naturaleza estocástica del modelo (la
  varianza de las perturbaciones, que no puede
  incorporarse) y del horizonte de predicción.
• De la identificación del modelo, que determina
  las ponderaciones de los coeficientes .
• Errores de estimación, puesto que los parámetros
  son estimados en base a una cantidad finita de
  datos.

16
1.4. Metodología B-J Predicción

• A partir del predictor y el error cuadrático
  medio, podemos construir un Intervalo de
  Confianza, suponiendo una distribución normal
  para las predicciones

17
1.4. Metodología B-J Predicción

• Evaluación de la capacidad predictiva del modelo
• Se realiza comparando los valores predichos
  contra los observados finalmente. Podemos
  realizarlo tanto dentro de la muestra, como con
  el período de predicción (una vez que ya se
  concreta el mismo).
• Resulta útil un gráfico de realización-predicción
  , volcando las variaciones porcentuales en los
  valores predichos (designados con ), con
  los cambios porcentuales en los valores reales
  (en este caso serán ). Finalmente, una línea
  de 45 corresponde a la predicción perfecta.
• Los valores observados en los cuadrantes II y IV
  corresponden a errores de rotación.

18
1.4. Metodología B-J Predicción

• Evaluación de la capacidad predictiva del modelo
• En base a este gráfico podemos construir un
  índice de desigualdad (conocido como índice de
  Theil)
• El coeficiente de desigualdad viene definido por
  la raíz cuadrada, con signo positivo
• Un valor cercano a cero corresponde a la
  predicción perfecta, el valor unitario indica que
  el modelo no predice mejor que la repetición del
  último valor observado, y en cambio si el valor
  es mayor a la unidad, entonces la capacidad
  predictiva del modelo se encuentra seriamente
  comprometida.

19
FIN
Me pueden escribir a jrs06_at_cema.edu.ar Las
presentaciones estarán colgadas
en www.cema.edu.ar/u/jrs06