Fungsi Pembangkit (Generating Functions)

1
Fungsi Pembangkit (Generating Functions)
2
Fungsi pembangkit

• Fungsi pembangkit digunakan untuk
  merepresentasikan barisan secara efisien dengan
  mengkodekan unsur barisan sebagai koefisien dalam
  deret pangkat suatu variabel x .
• Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk
• memecahkan berbagai masalah counting,
• memecahkan relasi recurrence, dan
• membuktikan identitas kombinatorik.

3
Definisi dan contoh

• Definisi.
• Fungsi pembangkit (generating function) untuk
  barisan bilangan real a0, a1, , ak, adalah
  deret pangkat tak hingga

• Contoh 1.
• Fungsi pembangkit dari barisan an dengan ak 5
  adalah

1. Fungsi pembangkit dari barisan an dengan ak
   k3 adalah

1. Fungsi pembangkit dari barisan an dengan ak
   3k adalah

4
Contoh 2

• Tentukan fungsi pembangkit dari barisan
• 1, 1, 1, 1, 1, 1  
• Solusi.
• Fungsi pembangkit dari barisan 1,1,1,1,1,1
  adalah
• 1 x x2 x3 x4 x5

5
Contoh

• Contoh 3.
• Fungsi pembangkit dari barisan
• 1, 1, 1, 1,
• adalah
• 1 x x2 x3
• Contoh 4.
• Fungsi pembangkit dari barisan
• 1, a, a2, a3,
• adalah
• 1 ax a2x2 a3x3

6
Teorema 1

• Contoh 5.
• Misal f(x) 1/(1-x)2.
• Tentukan koefisien a0, a1, dalam ekspansi f(x)
  ? akxk.
• Solusi.

Jadi, ak k1.
7
Koefisien Binomial Diperluas

• Misalkan u bilangan real dan k bilangan bulat tak
  negatif.
• Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan
  sebagai 

• Contoh 6.
• Tentukan nilai dari

b.
8
Teorema Binomial Diperluas

• Teorema 2.
• Misal x bilangan real dengan x lt 1 dan
• u bilangan real.
• Maka,

Catatan. Jika u bilangan bulat positif maka
Teorema Binomial Diperluas menjadi Teorema
Binomial.
9
Contoh 7

• Tentukan fungsi pembangkit untuk
• (1x)-n dan (1-x)-n,
• dengan n bilangan bulat positif.
• Solusi.

10
Soal 1

• Tentukan koefisien x10 dalam deret pangkat
  fungsi-fungsi berikut ini
• 1/(1x)2
• 1/(1-2x)
• x4/(1-3x)3
•  

11
Masalah Counting dan Fungsi Pembangkit

• Contoh 8.
• Tentukan banyaknya solusi dari n1 n2 n3 17,
  bila n1, n2 dan n3 bilangan bulat taknegatif
  dengan 2 ? n1 ? 5, 3 ? n2 ? 6 dan 4 ? n3 ? 7.
• Solusi.
• Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x17
  dalam ekspansi
• (x2x3x4x5) (x3x4x5x6) (x4x5x6x7).
• Setiap bentuk x17 dalam perkalian ini didapat
  dengan mengalikan
• xn1 pada faktor pertama dengan
• xn2 pd faktor kedua dan
• xn3 pada faktor ketiga
• yang memenuhi n1 n2 n3 17.
• Bila dihitung, didapat koefisien x17 adalah 3.
• Jadi, ada tepat 3 solusi.

12
Contoh 9

• Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang
  identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima
  sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue?
• Solusi.
• Misalkan cn banyaknya cara membagikan n kue.
• Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan
  tidak lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak
  ada suatu faktor yang berbentuk
• (x2 x3 x4)
• dalam fungsi pembangkit barisan cn.
• Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya
  adalah
• (x2 x3 x4)3.
• Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari
  x8, yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8
  kue kepada 3 anak tadi.

13
Soal 2

• Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan
  banyaknya cara mendistribusikan 25 donat identik
  kepada 4 polisi sehingga setiap polisi
  mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7
  donat.

14
Contoh 10

• Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan
  banyaknya cara memilih pecahan mata uang bernilai
  Rp. 100, Rp. 500 dan Rp. 1000 jika kita ingin
  membayar suatu barang yang bernilai Rp. r,
  apabila
• urutan pemilihan diperhatikan atau
• tidak diperhatikan.
• Contoh.
• Untuk membayar Rp. 600, ada 2 cara bila urutan
  tidak diperhatikan, yaitu
• (Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp.
  100) atau (Rp. 100, Rp. 500)
• dan ada 3 cara bila urutan diperhatikan, yaitu
• (Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp.
  100), (Rp. 100, Rp. 500), atau
• (Rp. 500, Rp. 100)

15
Contoh 10

• Jika urutan pemilihan tidak diperhatikan.
• Karena masing-masing pecahan dapat dipergunakan
  berkali-kali, maka
• faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 100
  adalah
• 1 x x2 x3 ,
• faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 500
  adalah
• 1 x5 x10 ,
• faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 1000
  adalah
• 1 x10 x20
• Jadi, banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang
  untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien
  dari xr/100 dalam fungsi pembangkit
• (1 x x2 x3 ) (1 x5 x10 ) ( 1
  x10 x20 )

16
Contoh 10

• Jika urutan pemilihan diperhatikan.
• Banyaknya cara untuk menggunakan tepat n pecahan
  untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien
  xr/100 dalam
• (x x5 x10)n
• Karena kita dapat menggunakan berapa pun jumlah
  pecahan, maka banyaknya cara pemilihan pecahan
  mata uang untuk membayar seharga Rp. r adalah
  koefisien dari xr/100 dalam
• 1 (x x5 x10) (x x5 x10)2

17
Soal 3

• Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan
  banyaknya cara untuk menukar uang 100 dengan
  menggunakan pecahan
• a) 10, 20 dan 50
• b) 5, 10, 20 dan 50
• c) 5, 10, 20 dan 50 bila setiap pecahan
  digunakan sedikitnya sekali.
• d) 5, 10 dan 20 bila setiap pecahan
  digunakan sedikitnya sekali tapi tidak lebih
  dari 4 kali. 

18
Contoh 11

• Gunakan fungsi pembangkit untuk menghitung
  banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis benda
  berbeda jika kita harus memilih sedikitnya satu
  obyek dari setiap jenisnya.
• Solusi.
• Misalkan ar banyaknya cara memilih r obyek dari
  n jenis benda bila dari setiap jenis terpilih
  sedikitnya satu objek.
• Karena kita perlu memilih sedikitnya satu obyek
  dari setiap jenis, maka setiap jenis
  menyumbangkan faktor
• (x x2 x3 )
• pada fungsi pembangkit.
• Akibatnya, fungsi pembangkit G(x) dari barisan
  ar adalah
• G(x) (xx2 x3 )n
• xn(1xx2 x3 )n xn / (1-x)n .

19
Contoh 11

• Dengan menggunakan Teorema Binomial Diperluas

Jadi, ada C(r-1,r-n) cara memilih.
20
Fungsi Pembangkit dan Solusi Relasi Recurrence

• Contoh 12.
• Cari solusi relasi recurrence ak 3ak-1 untuk k
  1, 2, 3, dengan kondisi awal a0 2.
• Solusi.
• Misal G(x) fungsi pembangkit untuk barisan ak,
  
• Maka,

21
Fungsi Pembangkit dan Pembuktian Identitas

• Contoh 13.
• Gunakan fungsi pembangkit untuk membuktikan

Solusi. C(2n,n) adalah koefisien xn dlm ekspansi
(1x)2n. Akan tetapi, (1x)2n (1x)n2.
C(n,0)C(n,1)x C(n,n)xn2. Koefisien dari
xn dlm ekspansi ini C(n,0)C(n,n)
C(n,1)C(n,n-1) C(n,n)C(n,0). Ini sama dgn
? C(n,k)2, krn C(n,n-k) C(n,k). Karena C(2n,n)
dan ? C(n,k)2 menyatakan koefisien xn dlm (1x)2n
maka haruslah