Cursul 3

1
Cursul 3

• Cautare peste siruri
• problema
• cautarea naiva
• algoritmul Knuth-Morris-Pratt
• algoritmul Boyer-Moore
• algoritmul Rabin-Karp
• cazul mai multor pattern-uri
• expresii regulate

2
Tipul de date abstract String

• obiecte siruri de elemente apartinind unui tip
  abstract Character
• operatii
• inserarea unui subsir
• eliminarea unui subsir
• concatenarea a doua siruri
• regasirea unui sir ca subsir al altui sir
• sirul in care se cauta se numeste subiect il
  notam s0..n-1
• sirul a carui aparitie este cautata in subiect se
  numeste pattern il notam p0..m-1

3
Cautare naiva proprietati

• nu necesita preprocesare
• spatiu suplimentar O(1)
• totdeauna deplaseaza pattern-ul cu o unitate la
  dreapta

s
?
p

• comparatiile pot fi facute in orice ordine
• complexitatea cautarii O(m?n)
• numarul mediu de comparatii intre caractere 2n
  .

4
Cautarea naiva algoritm

• function pmNaiv(s, n, p, m)
• begin
• i ? -1
• while (i lt n-m) do
• i ? i1
• j ? 0
• while (sij pj) do
• if (j m-1)
• then return i
• else j ? j1
• return -1
• end

5
Algoritmul KMP proprietati

• realizeaza comparatiile de la stanga la dreapta
• preprocesare in timpul O(m) cu spatiu suplimentar
  O(m)
• complexitatea timp a cautarii O(nm)
  (independent de marimea alfabetului)

6
Algoritmul KMP ideea
a b a b
?
?
a b a b c
7
Algoritmul KMP ideea
?
8
Algoritmul KMP functia esec

• procedure determinaFctEsec(p,m,f)
• begin
• f0 ? -1
• for j ? 1 to m-1 do
• k ? fj-1
• while (k ? -1 and pj-1 ? pk) do
• k ? fk
• fj ? k1
• end

9
Algoritmul KMP functia esec exemplu

• p abaabaaabc

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
pi a b a a b a a a b c
fi -1 0 0 1 1 2 3 1 1 2
10
Algoritmul KMP

• function KMP(s, n, p, m, f)
• begin
• i ? 0
• j ? 0
• while (i lt n) do
• while (j ? -1 and si ? pj)do
• j ? fj
• if (j m-1)
• then return i-m1
• else i ? i1
• j ? j1
• return -1
• end

11
Algoritmul Boyer-Moore proprietati

• comparatiile sunt realizate de la dreapta la
  stanga
• preprocesare in timpul O(km) si spatiu
  suplimentar O(k), unde k Character
• complexitatea timp a cautarii O(mn)
• 3n comparatii de caractere in cazul cel mai
  nefavorabil pentru un pattern neperiodic
• cea mai buna performanta O(n / m) .

12
Algoritmul Boyer-Moore ideea
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
V I S U L U N E I N O P T I D E I A R N A
?

?
?
?
?
?
?


I A R
0 1 2
I A R
0 1 2
I A R
0 1 2
I A R
0 1 2
I A R
0 1 2
I A R
0 1 2
I A R
0 1 2
I A R
0 1 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
13
Algoritmul Boyer-Moore functia salt

• cazul cind caracterul apare o singura data in
  pattern
• AMAR
• MAR
• saltA 1
• cazul cind caracterul apare de mai multe ori in
  pattern
• SAMAR
• AMAR
• saltA 1

14
Algoritmul Boyer-Moore salt
isaltA
A B A nu e in u
j
saltA m-j
im-j
A B A e in u
j
saltA lt m-j
15
Algoritmul Boyer-Moore

• function BM(s, n, p, m, salt)
• begin
• i ? m-1 j ? m-1
• repeat
• if (si pj)
• then i ? i-1
• j ? j-1
• else
• if (m-j) gt saltsi
• then i ? im-j
• else i ? isaltsi
• j ? m-1
• until (jlt0 or igtn-1)
• if (jlt0)
• then return i1
• else return -1
• end

16
Algoritmul Rabin-Karp proprietati

• utilizeaza o functie hash
• preprocesare in timpul O(m) si spatiu suplimentar
  O(1)
• cautare in timpul O(mn)
• timpul mediu O(nm) .

17
Algoritmul Rabin-Karp ideea
p

0 m-1
s

i im-1

i1 im
s
18
Algoritmul Rabin-Karp

• function RK(s, n, p, m)
• begin
• dlam1 ? 1
• for i ? 1 to m-1 do dlam1 ? (ddlam1)q
• hp ? 0
• for i ? 0 to m-1 do hp ? (dhpindex(pi))q
• hs ? 0
• for i ? 0 to m-1 do hs ? (dhsindex(si))q
• i ? 0
• while (i lt n-m) do
• if (hp hs and equal(p, s, m, i))
• then return i
• hs ? (hsdq-index(si)dlam1)q
• hs ? (dhsindex(sim))q
• i ? i1
• return -1
• end

19
Algoritmul Rabin-Karp implementare C

• define REHASH(a, b, h) ((((h)-(a)d) ltlt 1) (b))
• int RK(char p, int m, char s, int n)
• long d, hs, hp, i, j
• / Preprocesare /
• for (d i 1 i lt m i)
• d (d ltlt 1)
• for (hp hs i 0 i lt m i)
• hp ((hp ltlt 1) pi)
• hs ((hs ltlt 1) si)
• / Cautare /
• i 0
• while (i lt n-m)
• if (hp hs memcmp(p, s i, m) 0)
• return i
• hs REHASH(si, si m, hs)
• i
• return -1

20
Mai multe pattern-uri
21
Mai multe pattern-uri (continuare)
C
B
E
D
2
3
1
4
5
A
E
C
D
6
7
8
0
B
C
10
9
22
Expresii regulate

• definitia expresiilor regulate peste A
• ltexpr_reggt a e empty
• (?expr_reg??expr_reg?)
• (?expr_reg? ?expr_reg?)
• ?expr_reg?
• limbajul definit de expresiile regulate
• L(a) a
• L(e) e
• L(empty) Ø
• L(e1e2) L(e1)L(e2) uv u ?L(e1), v ? L(e2)
• L(e1e2) L(e1) ? L(e2)
• L(e) ?iL(ei) ?iL(e)i

23
Automatul asociat unei expresii regulate
a ? A
e
empty
e1
e2
24
Automatul asociat unei expresii regulate
(continuare)
(e1e2)
(e1 e2)
e1
25
Automatul asociat unei expresii regulate exemplu
e a(bacd)
s abbcacdaaab
26
Algoritm de cautare structuri de date

• D coada cu restrictii la iesire, unde
  inserarile se pot face si la inceput si la
  sfarsit iar stegerile/citirile numai la inceput.
• q starea curenta a automatului,
• j pozitia curenta in textul s, i pozitia in
  textul s de inceput a "pattern"-ului curent
• Simbolul va juca rolul de delimitator (el poate
  fi inlocuit cu starea invalida -1).
• Initial avem D (), q 1 (prima stare dupa
  starea initiala 0),
• i j 1.

27
Algoritm de cautare pasul curent

• Daca
• din q pleaca doua arce neetichetate , atunci
  insereaza la inceput in D destinatiile celor doua
  arce
• din q pleaca un singur arc etichetat cu sj
  atunci insereaza la sfarsitul lui D destinatia
  arcului
• q este delimitatorul atunci
• daca D Ø, atunci incrementeaza i, j devine noul
  i, insereaza in D si atribuie 1 lui q (aceasta
  corespunde situatiei cand au fost epuizate toate
  posibilitatile de a gasi in text o aparitie a
  unui sir specificat de "pattern" care incepe la
  pozitia i)
• daca D ? Ø, atunci incrementeaza j si insereaza
  la sfarsitul lui D
• q este starea finala atunci s-a gasit o aparitie
  a unui sir specificat de "pattern" care incepe la
  pozitia i.
• Extrage starea de la inceputul lui D si o
  memoreaza in q