Equation Logistique

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Equation Logistique

• L'équation logistique modélise l'évolution d'une
  population animale
• L'augmentation de la population sera une fraction
  de la population présente
• An le nombre d'animaux une année et An1 le
  nombre d'animaux l'année suivante
• An1  R.An
• Où R est le facteur de fécondité
• R constant est peut raisonnable car on aboutit à
  une explosion exponentielle de la population

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Équation Logistique

• On considére que le taux de croissance R diminue
  avec l'augmentation de la population (la quantité
  de nourriture disponible pour chaque animal
  diminue quand la population croît)
• R r.(1-An/Amax)
• r le facteur de fécondité (constant)
• Amax la limite supérieure de la population
  (constante aussi)
• On pose alors an An/Amax
• on obtient léquation logistique
• an1 r.an.(1-an)
•  

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Équation Logistique f(x) r.x(1-x)

• Famille paramétrée de fonctions fr(x) r.x(1-x)
• Pour 0 lt r ? 4, fr(x) est un endomorphisme sur
  l'intervalle 0,1
• Le graphe de fr(x) est une parabole orientée vers
  le bas, passant par (0,0) et (1,0)

4
Équation Logistique
1

• Intersection de fr avec la droite déquation yx
  (points fixes)
• Origine 0
• Pr1-(1/r)
• Maximum au point (1/2, r/4)

0.5
0
1
5
Équation Logistique 0 lt r lt 1

• Pr est un point fixe répulseur
• 0 est un point fixe attracteur
• Valeur limite indépendante de la valeur initiale

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Équation Logistique 1 lt r lt 3

• 0 est un point fixe répulseur
• Pr est un point fixe attracteur
• Valeur limite indépendante de la valeur initiale

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Équation Logistique r 3

• Bifurcation
• Période dordre 2
• Valeurs limites indépendantes de la valeur
  initiale
• Si 3 ? klt3.45, oscillation entre
• une valeur basse, avec nourriture abondante et
  forte croissance
• une valeur haute qui entraîne famine et mortalité
  élevée 

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EQUATION LOGISTIQUE

• Cette Applet simule les itérations de léquation
  Logistique f(x) r.x(1-x)
• Le comportement observé dépend de la valeur du
  paramètre r et de la valeur initiale x0
• Curseurs
• horizontal contrôle la valeur initiale x0
• vertical contrôle le paramètre r

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Diagramme de Bifurcations
Représentation de lensemble des valeurs
dadhérence de la suite récurrente f0r.x(1-x) ,
fn1(x)fn(x)
r
0
4
10
Diagramme de Bifurcations
r3.4496
r3
r3
r4
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Théorème de Sarkovsky
Si une fonction continue a un point périodique
dordre 3, alors elle possède des points
périodiques de tout ordre
r 3.84
12
Diagramme de Bifurcations
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Trois types de comportement

• Dépend du paramètre r
• Fixe la population approche une valeur stable
• Périodique la population alterne entre deux ou
  plusieurs valeurs fixes
• Chaotique la population visitera chaque
  voisinage dans un intervalle de 0, 1. De plus,
  les orbites chaotiques montrent une sensitivité
  aux conditions initiales

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At the Edge of Order Transitions vers le chaos
par cascade de bifurcations
Le mot "chaos" a été introduit par T. Liand et J.
Yorke en 1975 dans un article intitulé "Period
Three Implies Chaos"
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Doublement de Période

• valeur limite unique
• r1 3 1ère bifurcation
• oscillations entre deux valeurs limites
• r2 3.45 2ème bifurcation
• période 4
• r3 3.54 3ème bifurcation
• période 8
• r 3.5699
• période 2? (point de Feigenbaum)
• dynamique chaotique

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Doublement de Période

• Les valeurs de r pour les deux premières
  bifurcations peuvent être calculées
  analytiquement
• r13 et r2 1 sqrt(6)
• Soit Dk rk - rk-1 la distance entre deux points
  de bifurcation
• Pour déterminer la décroissance de cette distance
• On étudie le rapport Dk / Dk1

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Bifurcations

• Constante de Feigenbaum

18
Bifurcations
19
Constante de Feigenbaum 4,669

• La constante associée à la séquence des
  dédoublements de période est la constante de
  Feigenbaum (D 4,669)
• Pour des valeurs de r suffisamment proches de r
  , la distance Dk rk rk-1 entre deux points de
  bifurcation décroît par un facteur de D pour
  chaque bifurcation.
• Dk D.Dk1

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Constante De Feigenbaum Universalité

• La constante de Feigenbaum caractérise la
  transition vers le chaos par dédoublement de
  période
• Découverte par Feigenbaum (1975)
• Démontrée par Lanford et Coullet (1980)

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Exposant de Lyapounov

• Le principe est de caractériser la manière dont
  deux courbes se comportent l'une par rapport à
  l'autre, en étudiant leur distance relative
• La différence exponentielle des trajectoires
  peut être caractérisée de manière quantitative en
  mesurant leur taux de divergence
• Varie comme l'opposé de la stabilité
• Négatif pour les évolutions stables
• Positif quand le chaos est présent

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Exposant de Lyapounov (1 variable)

• Pour un système à une seule variable, ce taux est
  donné par l'exposant de Lyapunov
• Calcul de l pour léquation logistique
• // Initialisation
• // x0 arbitraire entre 0 et 1
• xx0for(i1iltAi) xrx(1-x)
• // Calcul de de l'exposant
• total0
• for(i1iltBi)   xrx(1-x)
    totalLog(r(1-2x))/Log(2)
• exposanttotal/B
• / A et B entiers arbitraires, aussi grands que
  possible pour que le calcul soit précis /

l(x0)
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Bifurcations et Exposant de Lyapounov

• Distance entre deux bifurcations de plus en plus
  courte (l0)
• Seuils de bifurcations s'accumulent au voisinage
• de r ( 3,57)
• Au delà de r, chaos
• (l gt 0)

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Attracteur De Lorenz

• E. Lorenz a découvert un attracteur chaotique en
  faisant des recherches sur le climat (1960)
• A l'époque on pensait que la prédiction de la
  météo serait facile
• A la suite d'une fausse manipulation (report
  d'une valeur avec 3 décimales au lieu de 6
  significatives), il découvre la Sensibilité aux
  Conditions Initiales

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Modélisation très simplifiée de la convection
atmosphérique l'air chaud monte, l'air froid
descend

• Système de 3 équations non-linéaires à 3
  variables
• température de l'air, vitesse du vent et
  dynamique qui lie température et altitude
• Dxn/d a (yn-1 - xn-1)Dyn /d xn-1 (c -
  zn-1) - yn-1Dzn /d xn-1 yn-1 - b zn-1
• En choisissant (par exemple) les valeurs
• a10, b8/3, c28, d0,003
• pour les constantes, on engendre une dynamique
  chaotique

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Espace des Phases

• Ensemble des états possibles du système
• Espace abstrait dont chaque variable représente
  une dimension nécessaire à la description du
  système à un moment donné
• Degré de liberté nombre de variables
• Trajectoire ensemble des différents états
  successifs (orbite)
• Variables détat réels et temps continu
• Courbe continue
• sinon
• série de points

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Attracteur Dans Lespace Des Phases(D. Ruelle
et F. Takens)

• Limite vers laquelle semblent converger les
  orbites du système
• Ensemble sur lequel se déplace le point
  représentant létat dun système quand on attend
  assez longtemps
• Lattracteur décrit une situation de régime telle
  quelle peut apparaître après disparition des
  phénomènes transitoires

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Attracteur Chaotique De Lorenz
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Effet papillon (Butterfly effect)chaos S.C.I

C.I.
t
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Attracteur Chaotique Propriétés

• C'est un attracteur
• Avec des conditions initiales appropriées, le
  système finit par entrer dans l'attracteur
• Même si le système est perturbé au voisinage de
  l'attracteur, il y retourne de nouveau
• Sur l'attracteur, des états voisins divergent de
  façon exponentielle
• Un faible bruit est amplifié et induit le
  comportement à long terme
• le système devient imprédictible

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Attracteur Chaotique Structure Géométrique

• En dépit du fait que les trajectoires au sein de
  l'attracteur apparaissent imprédictibles
• Structure géométrique stable et "élégante"
• la forme géométrique implémente une sorte de
  "Mille Feuilles"
• séparation locale des trajectoires étirement de
  la pâte
• attraction globale repliement de la pâte sur
  elle-même
• Structure fractale similaire à toutes les
  échelles

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Transformation du Boulanger Etirement et
Repliement