Graphes et Applications

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Graphes et Applications

• Thème de léquipe
• Combinatoire et Algorithmique

LaBRI janvier 2008
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Léquipe...

• 10 chercheurs et enseignants-chercheurs
• 3 professeurs
• 5 maîtres de conférences
• 2 chargés de recherche CNRS
• Formation par la recherche
• 5 doctorats en cours (dont 1 en cotutelle avec
  Taiwan)
• 10 thèses soutenues entre 2005 et 2007
• 2 chargés de recherche CNRS, 2 maîtres de
  conférences
• Projets, contrats
• 2 équipes-projets LaBRI-INRIA (Cépage, RealOpt)
• projets nationaux et internationaux
• Animation du GT Graphes du GDR IM (Info-Math)
• Nombreuses collaborations internationales
• Chine, Israël, République Tchèque, Russie,
  Slovaquie, Taiwan, ...

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Thèmes de recherche

• Problèmes classiques de théorie des graphes
• Flots, cycles et couverture
• Homomorphismes et colorations
• Applications
• Algorithmique et communications dans les réseaux
• Grands graphes
• Optimisation combinatoire
• Structures de données compactes, routage

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Deux illustrationsarbitrairement choisies

• Homomorphismes et colorations de graphes orientés
• Structures de données compactes

5
Homomorphismes et colorations de graphes orientés
(1)

• Coloration (classique) de graphes (non orientés)

Nombre chromatique ? 3
Homomorphisme de G vers H c V(G) ? V(H), t.q.
uv ? E(G) ? c(u)c(v) ? E(H)
6
Homomorphismes et colorations de graphes orientés
(2)

• Homomorphismes de graphes orientés

Colorations de graphes orientés
(1)
(2)
7
Homomorphismes et colorations de graphes orientés
(3)

• Quelques exemples.

8
Homomorphismes et colorations de graphes orientés
(4)

• Borner le nombre chromatique orienté dune
  famille de graphes

Borne supérieure
Famille de graphes
Propriétés structurelles
non-existence dun contre-exemple minimal...
Graphe cible
bonnes propriétés
Borne inférieure
Exhiber un graphe particulier...
9
Homomorphismes et colorations de graphes orientés
(5)

• Exemple la famille des arbres orientés

Borne supérieure
Famille des arbres
Tout arbre contient un sommet de degré 0 ou 1
non-existence dun contre-exemple minimal...
Tout sommet a un successeur et un prédécesseur
Borne inférieure
10
Homomorphismes et colorations de graphes orientés
(6)

• Quelques questions ?...

Nombre chrom. orienté des graphes planaires
? Version orientée du Théorème des 4 couleurs
Borne inférieure 17, borne supérieure 80
Nombre chrom. orienté des graphes cubiques
? Borne inférieure 7, borne supérieure
11 Conjecture 7 pour les graphes cubiques
connexes
11
Structures de données compactes (1)

• Contexte général
• on stocke de linformation sur les sommets dun
  graphe (pour une certaine famille)
• on souhaite pouvoir répondre à certaines requêtes
  en utilisant uniquement cette information locale

• Contraintes
• minimiser la taille des informations locales
• minimiser les temps de calcul (de linformation
  locale, de réponse aux requêtes)

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Structures de données compactes (2)

• Exemple 1
• graphe un arbre
• on souhaite pouvoir déterminer si deux sommets
  quelconques u et v sont voisins ou non

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Structures de données compactes (3)

• Solution
• numérotation quelconque
• L(u) lt n(u), n(père(u)) gt

lt1,0gt
u et v voisins ssi u père(v) ou v père(u)
lt3,1gt
lt7,1gt
lt2,3gt
lt5,3gt
lt9,3gt

• taille info 2log n
• temps réponse O(1)

lt4,7gt
lt8,7gt
lt6,2gt
lt10,9gt
14
Structures de données compactes (5)

• Exemple 2
• graphe un arbre
• on souhaite pouvoir déterminer si, pour deux
  sommets quelconques u et v, u est ancêtre de v ou
  v est ancêtre de u

15
Structures de données compactes (6)

• Solution
• numérotation en profondeur
• L(u) lt n(u), nb descendants(u) gt

lt1,9gt
u ancêtre de v ssi n(u) ? n(v) ? n(u)nb(u)
lt2,5gt
lt8,2gt
lt3,0gt
lt7,0gt
lt4,2gt

• taille info 2log n
• temps réponse O(1)

lt10,0gt
lt9,0gt
lt5,0gt
lt6,0gt
16
Structures de données compactes (7)

• Questions typiques ?...

Différentes familles de graphes Arbres, graphes
planaires, planaires extérieurs, graphes de
degré borné, graphes dintervalles, ...
Différentes requêtes Adjacence, plus petit
ancêtre commun (arbres), distance, distance
approchée, ...
Bornes inférieures, bornes supérieures...