Diapositive 1

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Statistique et probabilités
2
En classe de seconde
3
échantillon liste de résultats de n expériences
identiques et indépendantes.
distribution des fréquences associée à un
échantillon liste des fréquences des
différentes issues de cette expérience.
fluctuation déchantillonnage les distributions
des fréquences varient dun échantillon à lautre
dune même expérience. Lampleur des fluctuations
des distributions de fréquences calculées sur des
échantillons de taille n diminue lorsque n
augmente.
4
Simulation
Simuler une expérience, cest choisir un modèle
de cette expérience puis simuler ce modèle, pour
produire une liste de résultats assimilable à un
échantillon de cette expérience.
La simulation permet de disposer déchantillons
de grande taille et dobserver des
phénomènes appelant une explication dans le champ
des mathématiques.
5
En 1ère L enseignement obligatoire au choix
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• Expérience aléatoire
• Eventualités
• Evénements

• Loi de probabilité

• Probabilité dun événement,
• de lévénement contraire.

P(A?B) P(A?B) P(A) P(B)

• Equiprobabilité

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La simulation de lexpérience et le phénomène de
stabilisation des fréquences observées lorsque le
nombre dépreuves augmente, permet de postuler
lexistence dun modèle probabiliste, caractérisé
par une loi de probabilité.
8
Enoncé vulgarisé de la loi des grands nombres
Pour une expérience aléatoire donnée, dans le
modèle défini par une loi de probabilité P, les
distributions de fréquences obtenues sur des
séries de taille n sont très proches de P quand n
est grand.
9
En Terminale L enseignement de spécialité
10
Probabilités

• Arbres pondérés

• Conditionnement par un événement de probabilité
  non nulle

• Indépendance de deux événements

• Formule des probabilités totales

• Epreuve de Bernoulli et loi binomiale

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Tableaux et arbres
Différentes représentations pour un même ensemble
12
Une enquête de marketing portant sur le choix
entre deux abonnements A et B lors de lachat
dun téléphone portable et le statut de
lacheteur (salarié ou non salarié) a conduit au
recueil des données de 9321 nouveaux acheteurs,
consignées dans le tableau suivant
13
(No Transcript)
14
(No Transcript)
15
4 956
6 818
1 862
1 835
2 503
668
16
4 956
6 791
1 835
1 862
2 530
668
17
Chaque représentation (tableau ou arbre)
contient toute linformation et permet de
reconstituer nimporte laquelle des autres
18
Fréquences des événements
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Notations f (A) 0,728 f (S)
0,272 f (A et S) 0,531 etc
20
Notations f A (S) 0,727 f A
(NS) 0,273 etc
21
Notations f S (A ) 0,729 f
NS (A ) 0,736 etc
22
Comment reconstituer un tableau de fréquences à
partir dun autre ?
23
f (A )? fA(S ) f (A?S )
24
(No Transcript)
25
(No Transcript)
26
Arbre pondéré
27
Indépendance de deux événements
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Dans lexemple étudié, fA (S) 0,726 f (S)
0,728
f A (S) ? f (S)
Existence dun lien de causalité ?
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Dans une urne il y a des pièces indiscernables au
toucher, de 1 ou 2 euros (E1 ou E2), 30 sont
françaises, 70 non françaises (F ou NF). Il y a
60 pièces de 1 euro, dont k sont françaises, et
40 pièces de 2 euros, dont 30 k sont françaises.
On choisit une pièce au hasard.
Est-il possible que le fait de savoir que la
pièce extraite est une pièce de 1 euro, ne
modifie pas la probabilité que la pièce extraite
soit française ?
30
(No Transcript)
31
(No Transcript)
32
Lorsque k 18, savoir quil sagit dune pièce
de 1 euro ne modifie pas la probabilité quelle
soit française.
33
Evénements indépendants
34
La notion dindépendance entre deux événements
est une propriété numérique à lintérieur du
modèle probabiliste.
35
Dans lexemple précédent, supposons que le nombre
total de pièces soit K.
n1 nombre de pièces de 1 euro, nF nombre de
pièces françaises nF,1 nombre de pièces
françaises de 1 euro
36
Lorsque K est un nombre premier, (par exemple K
101 au lieu de K 100) si K ? nF,1 nF ?n1,
alors soit nF K (toutes les pièces sont
françaises) soit n1 K (toutes les pièces sont
de 1 euro)
37

• Si nF K

38

• Si n1 K

39
Statistique
Adéquation dune série de données à une loi
équirépartie
40
En 1ère L
Léquiprobabilité une hypothèse parmi dautres
pour proposer un modèle
Modèles issus dune observation expérimentale
41
Objectif sensibiliser les élèves au problème de
la validation dun modèle
42
Exemple lancé dun dé à 6 faces.
Les résultats obtenus dans des conditions
normales dutilisation de ce dé sont-ils
compatibles avec le modèle déquiprobabilité sur
lensemble 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
43
On lance n fois de suite ce dé.
On dispose dun échantillon de taille n de cette
épreuve aléatoire. Cet échantillon peut-il être
considéré comme un échantillon de taille n de la
loi équirépartie sur lensemble 1, 2, 3, 4, 5,
6 ?
44
Critère de compatibilité entre une distribution
de fréquences et la loi équirépartie.
Distance entre une distribution de fréquences
f1, f2, .., f6 et la loi équirépartie sur 1,
2, .., 6
Les données seront considérées comme
incompatibles avec la loi équirépartie si d obs2
est supérieur à une valeur seuil à définir.
45
d 2 est soumise à la fluctuation déchantillonnage
On simule N échantillons de n tirages
équiprobables dans 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Série de N valeurs de d 2 dans le modèle
équiréparti.
46
Le 9ème décile de cette série, noté D9 la plus
petite valeur de la série telle que au moins 90
des valeurs soient dans lintervalle 0 D9
Prendre D9 comme seuil de compatibilité cest
adopter la règle de décision
si dobs2 gt D9 refuser lhypothèse
déquiprobabilité si dobs2 ?
D9 ne pas refuser lhypothèse déquiprobabilité
47
En fait, la seule décision quon puisse prendre
cest de refuser lhypothèse déquiprobabilité.
Ne pas la refuser ne revient pas à la valider.
Le risque derreur vient de ce que dobs2 peut
être supérieur à D9 même si le dé est équilibré.
(fluctuation déchantillonnage)
48
Les données simulées qui aboutissent à ce seuil
de décision indiquent que cette situation se
produit dans 10 des échantillons dune loi
équirépartie.
la marge derreur est 10.
49
Prendre le 19ème vingtile, noté V19 (la plus
petite valeur de la série telle que au moins 95
des valeurs soient dans lintervalle 0 V19)
comme seuil décisionnel conduit au risque
derreur de 5.
Prendre le 99ème centile comme seuil décisionnel
conduit au risque derreur de 1.
Abaisser le seuil de risque revient à relever le
seuil entre petites et grandes valeurs de d² .
On peut être amené à refuser lhypothèse
déquiprobabilité au seuil de 10 et à ne pas la
refuser au seuil de 5 ou de 1.
50
Expérience
51
D9
V19
52
Dans ce cas, au vu des résultats expérimentaux,
et en appliquant la règle décisionnelle choisie
au seuil de risque de 10 , lhypothèse
déquiprobabilité doit être refusée au seuil de
risque de 5, on peut la maintenir. Elle nest
pas, pour autant, validée.
53
Formule des probabilités totales
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f (A et S) y
f (A) x
f (B) 1- x
f (B et S) 0,728 - y
0,728 y (1-x)?0,733
yx?0,727
et