Les arbres de dcisions

1
Les arbres de décisions

• F. KOHLER
• kohler_at_spieao.u-nancy.fr

2
Le contexte de la décision clinique

• La complexité médicale
• Les méthodes quantitatives et déclaratives
• Quantitatives
• Déterminer la probabilité de survenue
• Déclaratives
• Raisonnement par règles
• Apprentissages
• Supervisé
• Non supervisé

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Les méthodes

• En simplifiant

4
Exemple darbre logique

• Douleur de la jambe

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Rappels de logique

• Logique des propositions
• Les propositions sont des assertions qui peuvent
  être vraies ou fausses. Elle sont symbolisées par
  des lettres
• Exple
• proposition a Le diabète est une maladie
  chronique
• Proposition b Le diabète est une maladie
  fréquente
• Les propositions a et b sont des propositions
  élémentaires (atomique). Une proposition complexe
  (ou formule) est composée de propositions
  atomiques reliées par des connecteurs.
• Le diabète est une maladie chronique ET fréquente
  a b
• Les 4 connecteurs principaux sont
• ET noté
• OU noté Ú
• Si Alors Implication notée É
• Si et seulement si Équivalence notée º ou
• Complétés par la négation notée Ø

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Logique des propositions

• Table de vérité

7
Logique des propositions

• Propriétés des connecteurs

8
Logique des propositions

• Quelques règles dinférences \ se lit comme
  déduit formellement

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Logique et moteur dinférence

• Modus Ponens

a Vrai A gt b Vrai ----------------
b Vrai
Prémisses
Règle
Conclusion
Pierre est un homme Etre un homme implique Etre
mortel Donc Pierre est mortel
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Logique et motuer dinférence

• Modus Tollens

b Faux a gt b Vrai ----------------
a Faux
Prémisses
Conclusion
Gabriel n'est pas mortel Etre un homme implique
Etre mortel Donc Gabriel n'est pas un homme
vous le saviez ce doit être l'archange ou tout
autre immortel !
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Logique des prédicats

• Ordre 1
• Introduit la notion de variables, de constantes
• De quantificateur universel "
• De quantificateur existentiel
• Prédicat Malade(x)
• malade() fonction
• X prédicat
• A donné lieu au langage PROLOG
• Très utilisé en IA

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Logique et moteur dinférence

• Moteur dinférence

Base de faits Faits initiaux Il pleut Faits
déduits
Base de règles R1 Si il pleut Alors la route
est mouillée R2 Si la route est mouillée Alors
risque daccident R3 Si pneus lisses Alors
risque daccidents
Moteur dinférences
La route est mouillée
Risque daccident
Chaînage avant Recherche de règles applicables
R1 Mise à jour de la base de faits Tuer règle
R1
R2
R2
Plus de règle applicable FIN
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Chaînage avant/ arrière

• Avant part des prémisses et en déduit le
  caractère vrai de la conclusion
• Arrière part dune conclusion fausse et en
  déduit le caractère faux de la prémisse
• Remarque
• Quand la conclusion est vraie on ne peut rien
  déduire en chaînage arrière
• Mécanisme le plus utilisé
• Chaînage mixte
• Processus monotone ou non

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Analyse de la décision

• Lanalyse de la décision concerne les situations
  caractérisées par
• Lexistence de décisions alternatives
• Léventualité dapparition dévénements (état de
  la nature) multiples
• Incertitude sur lapparition de tel ou tel
  événement

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Principe de la méthode

• 1) Identifier lensemble des choix possibles face
  à des événements
• 2) Disposer dun critère de partage entre les
  décisions alternatives
• 3) Représenter lenchaînement des décisions et
  événements sous forme dun graphe logique arbre
  de décision
• 4) Réduction de larbre lorsque des solutions
  sont dominées par dautres
• 5) Évaluer le prix accordé à linformation (achat
  de la certitude par des enquêtes appropriées)

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Définitions

• Décision
• Une décision relève dun choix délibéré du
  décideur même si certaines conséquences sont
  incertaines.
• Un événement se réalise ou ne se réalise pas en
  dehors du contrôle du décideur. Il simpose à lui
  dès lors que celui-ci sest mis dans une
  situation de nature à lui faire supporter cet
  événement
• Probabilité
• Tout événement est plus ou moins fréquent. Nous
  appellerons probabilités la mesure quantitative
  de cette fréquence.
• Il peut sagir dune probabilité subjective
  estimée par lexpert ou objective issue denquête
  adéquate (probabilité empirique) permettant
  souvent de modéliser le phénomène en se
  rattachant le plus souvent à des lois de
  probabilité connue, la loi normale centrée
  réduite par exemple.

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Arbre de décision

• Cest la représentation graphique de la
  succession, le plus souvent chronologique, des
  décision/événements
• Pour que ce schéma soit cohérent il faut
• Lexhaustivité Tous les événements et les
  décisions doivent être déterminés y compris celle
  de ne rien faire
• Lexclusivité Les décisions et les événements
  sexcluent mutuellement. Les conséquences dun
  événement doivent pouvoir être mesurées de
  manière non ambiguë
• Exemple
• Événements Tension artérielle systolique
• A) inférieure à 140 (incluse dans B)
• B) inférieure à 180
• Ne sont pas recevables
• A) lt 140
• B) De 140 à 180 exclu
• Est recevable
• Décisions
• Demander une numération formule
• Demander un compte des globules rouges (est
  compris dans A)
• Non recevable

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Les différents critères

• Un critère permet de partager des décisions
  alternatives
• Exemple du marchand de plage
• Un marchand ambulant a comme décisions possibles
  de remplir son chariot de glaces ou (exclusif) de
  boissons. Lévénement qui peut se produire est
  beau temps ou (exclusif) temps couvert. Dans
  chaque case, on porte les profits attendus par le
  marchand de plage

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Coût dopportunité

• Cest le manque à gagner par le fait que le
  décideur, face à un événement, na pas forcément
  pris la meilleure décision possible.
• Ici on a mis le coût dopportunité entre
  parenthèses

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Coût dopportunité

• Si lon se place dans le cas du beau temps, la
  meilleure décision était de vendre des glaces. Si
  cest cette décision qui a été prise, on ne
  pouvait pas gagner plus le coût dopportunité est
  donc nul. Si par contre on avait rempli le
  chariot de boissons, le manque à gagner était de
  500- 200 300.
• En fait le coût dopportunité est aussi le prix
  de linformation certaine.

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Critère de décision

• Théoriquement
• Il nest pas difficile de dire ce quil faut
  faire pour analyser un problème pour lequel
  lavenir nest pas connu avec certitude Il faut
  prévoir les événements et ensuite analyser les
  alternatives possibles.
• La solution est simple lorsque quelque soit
  lévénement qui se produit, une alternative est
  systématiquement la meilleure.
• Mais la plupart du temps la décision sera
  différente selon lévénement qui se produit
• Les critères de décision peuvent être regroupés
  en 5 catégories illustrées à partir de lexemple
  du marchand de plage étendu à 4 décisions
  Glaces, Boissons, Journaux et jouets et à 3
  événements beau temps, couvert, pluie.

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Critère de Laplace (L)

• Choisir la décision qui rend maximale la moyenne
  arithmétique des gains
• Tous calculs faits, cest Boissons qui est la
  meilleure décision

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Critère de Wald (W)

• Choisir la solution qui rend maximal le gain
  minimal de chaque décision.
• Ici il faut retenir les jouets

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Critère de Hurwicz

• Prendre la décision qui rend maximal le résultat
  pondéré entre valeurs maximale et minimale de
  chaque décision a(mini) (1-a)(maxi).
• Avec a 0,5 cest Jouet qui est la meilleure
  décision.
• ATTENTION le rôle de a est fondamental

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Critère de Savage

• Choisir la décision pour laquelle on rend minimal
  le maximum des regrets. Le regret est défini
  comme le coût dopportunité (calculé entre
  parenthèses)
• Les décisions Boissons et Journaux sont les
  meilleures et équivalentes.

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Critère de lespérance mathématique

• Cest lapplication des probabilités aux
  combinaisons décisions / événements
• E(x) S pi xi
• Si lon retient P(Beau)0,5 P(Couvert) 0,3
  P(Pluie) 0,2 cest la décision jouet qui est la
  meilleure.
• Dans les applications en santé cest le critère
  usuel.

27
Quelques rappels sur les probabilités

• Axiomes élémentaires
• 0 lt P(A) lt 1
• P(A) 1 événement toujours réalisé
• P(A) 0 événement impossible

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Événements mutuellement exclusifs

• Les événements A et B ne peuvent se produire
  simultanément. Pour tous couples (A,B)
  l'ensemble A B est vide.
• P(A ou B) P(A B) P(A U B) P(A) P(B)
• Exemple probabilité d'extraire un cur ou un
  carreau P(Cur ou Carreau) 0,25 0,25
  0,5.
• Généralisation P(ABC) P(A)P(B)P(C)
• Si 2 événements sont mutuellement exclusifs
  (mort-vivant) on a P(A)P(B) 1 gt P(A)
  1-P(B). La probabilité de survie à un moment
  donné est égale à 1 moins la probabilité de
  décéder à ce moment.

29
Événements non nécessairement exclusifs

• Les événements peuvent se produire simultanément
  exemples  avoir un infarctus du myocarde ,
   être diabétique .
• P(A ou B) P(B ou A) P(A) P(B) - P(A et B)
• Ceci se déduit des relations
• P(A ou B) P(A sans B) P(B sans A) P(A et B)
• P (A sans B) P(A) - P(A et B)
• P(B sans A) P(B) - P(A et B)
• En conclusion
• P(A ou B) lt P(A) P(B)
• P(A ou B ou C) P(A) P(B) P(C) - P(A et B) -
  P(B et C) - P(A et C) P(A et B et C)

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Probabilités conditionnelles

• Soit deux événements non exclusifs A et B par
  exemple avoir un signe clinique (douleur de la
  fosse iliaque droite) et avoir une maladie
  (avoir une appendicite)
• Soit une expérience pouvant conduire à la
  réalisation ou non de A et B, à l'issue de N
  répétitions de l'expérience on a le tableau
  suivant

Malades Non Malades Tot.
(A) (A-) Test Positif (B)
80 20 100 Test Négatif(B-)
40 160 200 Tot.
120 180 300
P(A/B) P(A et B) / P(B) P(A et B)
P(A/B)P(B) P(B/A)P(A)
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Indépendance

• L'événement A est dit indépendant de B si la
  probabilité de voir se réaliser A ne dépend pas
  de la réalisation ou de la non réalisation de B.
• P(A/B) P(A/non B) P(A)
• Si, et seulement si, A et B sont indépendants,
  on a  P(A et B) P(A) P(B)
• Exemple de phénomènes a priori indépendants
  état des pneus de la voiture et pluie.
• Exemple de phénomènes a priori liés état des
  pneus de la voiture et accident.
• Hypothèse nulle du Khi 2 indépendance. C'est
  sous cette hypothèse que sont calculés les
  effectifs théoriques

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Application à un test diagnostique

• Sensibilité, Spécificité, Valeur prédictive
  positive, Valeur prédictive négative

Malades Non Malades Tot.
(A) (A-) Test Positif (B)
80 20 100 Test Négatif(B-)
40 160 200 Tot. 120
180 300
P( A) 120 / 300 Prévalence P(A-) 1 - P(A)
Fréquence des Non Malades P(A/B) P(A et
B) / P(B) 80 / 100 VPP P(B/A) P(A et
B) / P(A) 80 / 120 Sensibilité P(A-/B-)
P(A- et B-) / P(B-) 160 / 200 VPN P(B-/A-)
P(A- et B-) / P(A-) 160 / 180 Spécificité
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Intérêt et limites

• Permet de systématiser létude dun problème de
  décision complexe en incertitude
• Oblige à une formulation précise et claire
• Oblige à un effort de quantification
• Les limites
• Caractère subjectif des probabilités utilisées
• Évaluation des coûts et profits associés à chaque
  cas de figure
• En cas de risque important décès, handicap,
  ruine du système lespérance mathématique nest
  pas aussi représentative car il faut pouvoir
  supporter la perte
• Événement A P(A) 0,85 Profit 5 000
• Événement B P(Non (A)) 0,15 Profit - 20 000
• E(x) 1250
• Mais la perte de 20 000 est elle supportable ?

34
Travail pratique

• La compagnie des produits pharmaceutiques LEMAY
  cherche à développer et à commercialiser de
  nouveaux produits. En particulier, le Dr DUBOIS,
  chimiste en chef, a informé le directeur, Mr
  LEMAY que de récents résultats de recherche
  permettaient denvisager le développement dun
  nouveau produit ayant des applications médicales
  immédiates.
• Le Dr DUBOIS souhaiterait quun programme de
  recherche complémentaire soit engagé. Il a estimé
  quune dépense de 500 000 permettrait la mise
  au point finale dans le délai dun an. Interrogé
  par Mr. LEMAY, le Dr DUBOIS a estimé que son
  équipe avait 9/10 chances de réussir la mise au
  point de ce produit.
• Mr LEMAY, inquiet sur les perspectives de vente
  dun produit aussi coûteux à développer, sest
  informé auprès du directeur commercial, Léon
  MARTIAL qui a répondu que le succès dépendrait,
  en grande partie de la réaction des professions
  médicales et aussi de la possibilité que des
  concurrents créent un produit similaire.
• Le service commercial a ensuite établi les
  estimations suivantes sur les chances de succès
• Conditions du marché Probabilités
  Produits actualités
• Potentiel élevé 0.2
  2 000 000
• Potentiel modéré 0.5
  1 250 000
• Potentiel réduit 0.3
  250 000
• Les chiffres de profits sont établis avant
  déduction des frais de recherche et
  développement, et de celui du lancement
  commercial évalué à 200 000 .
• La décision de lancement ne sera prise que
  lorsque le produit aura été mis au point.
• Ces informations ayant quelque peu inquiété Mr.
  LEMAY, il sadressa de nouveau au Dr. DUBOIS pour
  lui demander sil nexistait pas dautre moyen
  plus économique et moins risqué de développer ce
  produit. Le Dr DUBOIS lui répondit quil
  préférait sa première suggestion mais quune
  alternative existait Lancer un plan de
  recherche de 9 mois donnant le temps à Mr.
  MARTIAL dévaluer le marché, puis intensifier le
  programme pendant 3 mois. Le coût de la première
  phase serait de 400 000 celui de la deuxième
  de 200 000 . Le Dr. Dubois indiqua par ailleurs
  que cela ne modifierait pas les chances de succès
  du produit.
• Consulté à ce propos, Mr MARTIAL précisa que le
  coût de létude de marché nécessaire serait de 50
  000 .
• Mr LEMAY, sinforma également sur la possibilité
  dattendre quun produit concurrent sorte sur le
  marché et de copier ce produit après lavoir
  analysé. Le Dr DUBOIS avait indiqué que cela
  était envisageable et ramenait les coûts de
  recherche à 250 000 .
• Mr Martial mis en doute cette possibilité en
  arguant du fait que le premier à mettre le
  produit sur le marché prendrait la plus grande
  part des ventes. Il estima que les profits
  seraient seulement de 50 de ceux établis
  précédemment et que, de plus, il y avait une 1/ 4
  chance quaucun produit similaire ne soit mis sur
  le marché.
• Mr LEMAY demeurait perplexe et souhaitait
  réfléchir rationnellement à toutes ces
  possibilités.

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Sélection de décisions/événements

• 3 décisions
• Fabriquer le produit avec un programme normal
• Fabriquer le produit en 2 étapes avec étude de
  marché)
• Attendre lapparition dun produit concurrent
• 3 événements
• Niveau de la demande (3 niveaux possibles)
• Succès de la mise au point du produit
• Apparition dun produit concurrent
• Vérification de règles dexhaustivité et
  dexclusivité
• Établissement de larbre
• Calcul des profits cumulés à chaque extrémité
• Calcul des espérances mathématiques

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Arbre de décision

• Décisions / Événements

37
Calcul des espérances mathématiques

• Cas 1, 2, 3
• 0.21 300 000 0.5550 000 .3-450 000 400
  000
• Avec le cas 5
• 0.9400 000 0.1-500 000 310 000
• Cas 6 et 7
• 0.9-1 150 000 0.1-650 000 970 000
• Cas 9 et 10
• 0.9400 000 0.1-650 000 295 000
• Cas 12 et 13
• 0.9-600 000 0.1-650 000 -605 000
• Doù espérance de ces 3 résultats 0.2970 000
  0.5295 000 0.3-450 000 206 500
• Cas 15, 16, 17
• 0.2550 000 0.5175 000 0.3-325 000 100
  000
• Avec le cas 19
• 0.75100 000 0.250 75 000

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La solution

• Qui simpose est de faire le programme sur 1 an
• Espérance 310 000
• Mais
• Il reste 4 éventualités
• Cas Profit Probabilité
  Espérance
• 1 1 300 000 .9.2 0.18
  234 000
• 2 550 000 .9.5 0.45
  247 500
• 3 -450 000 .9.3 0.27
  -121 500
• 4 -500 000 01 0.1
  - 50 000
• Peut on supporter 450 000 de perte avec une
  probabilité de 27 ou 500 000 avec une
  probabilité de 10 ?

39
Analyse de sensibilité

• Si on modifie le jeu des probabilités notamment
  en ce qui concerne la demande, cet événement se
  situant en fin darbre, la sensibilité de la
  décision à ces paramètres sera peu importante et
  ne modifiera pas la décision.

40
Coût dopportunité

• On étudie la branche de recherche sur 1 an en
  conditionnant la recherche au résultat de létude
  de marché. Lespérance devient alors 446 500 soit
  446 500 310 000 136 500 de coût dopportunité
  nettement supérieur au coût de létude mais reste
  à savoir si le délai consenti pour cette étude ne
  permettra pas à un concurrent dêtre plus rapide.

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En conclusion

• Développements anciens
• Mycine, guidon,
• Renouveau actuel
• Guide de bonne pratique, EBM
• Succès ?