Chapitre 7: La mthode du lieu de racines et le contrleur PID

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Chapitre 7 La méthode du lieu de racines et
le contrôleur PID
Introduction
Nous avons vu comment les performances dun
système bouclé peuvent être décrits en termes de
la location des racines de son équation
caractéristique. Nous savons que sa réponse peut
être ajustée pour satisfaire les performances
désirées par un choix judicieux dun ou
plusieurs de ses paramètres. La méthode du lieu
de racines est une méthode graphique puissante
qui permet de réaliser un tel objectif.
Le lieu de racines (Root locus en anglais) dune
fonction de transfert en boucle fermée, est le
graphe qui donne les locations de toutes
les racines possibles de son équation
caractéristique quand un paramètre (ou
plusieurs) du système à contrôler varie (comme
le gain K de la fonction de transfert en boucle
ouverte).
6GEI630 Systèmes Asservis
R. Beguenane, UQAC, 2005/2006
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Le concept du lieu des racines
Les racines de léquation caractéristique détermin
ent les modes de la réponse du système
Le lieu des racines est le chemin des racines de
léquation caractéristique dans le plan-S quand
un paramètre (Le gain K par exemple) du système
varie.
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Exemple 1
Le lieu des racines quand K varie est tel que
Soit
ou
Et K peut varier de 0 à linfini.
De lautre côté, on sait que
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(No Transcript)
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Et le gain correspondant à un point particulier
est
ce qui vrai puisque
donc
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Exemple 2
Le lieu des racines quand la paramètre a varie
est tel que
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En général
Conclusion Le lieu des racines de léquation
caractéristique commencent aux pôles de G(s) et
terminent aux zéros de G(s) quand K croît de 0 à
linfini.
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Lieu des racines avec Matlab
Les fonctions rlocus and rlocfind sont utilisées
pour obtenir les courbes du lieu des racines, et
la fonction residue permet lexpansion en
fractions Partielles des fonctions rationnelles.
Mais pour utiliser rlocus il convient de mettre
léquation caractéristique sous la forme générale
suivante
Avec K qui varie de 0 à linfini. Soit avec notre
exemple
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Ceci veut dire que pour certaines valeurs de K,
léquation caractéristique du système bouclé aura
deux racines complexes conjuguées. Pour les
trouver pour un K donné, on utilise la fonction
rlocfind
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On se plaçant sur un point quelconque de la
courbe en question, La valeur de K sera déduite,
ainsi que les racines correspondantes du système
bouclé. Dans ce cas il en existe 3, une racine
réelle et deux complexes conjuguées.
Vérification avec residue Qui permet lexpansion
de la sortie Y(s) en réponse à un échelon, en
termes partiels
En réponse à un échelon R(s)1/s et pour
K20.5775, on a la sortie Y(s)T(s).R(s)
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Noter que le coefficient du terme correspondant
au pôle p-0.8989 est très petit devant ceux
des pôles complexes conjugués p-2.02054.322i.
Donc son influence sur la sortie y(t) est non
dominante. Ainsi le temps de réponse (avec le
critère de 2) est prédit par les pôles dominants
p-2.02054.322i, qui donnent un z0.4286 et
wn4.7844. Doù la prédiction de
Ts1/(z.wn)1.95s
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Ce qui est confirmé par la fonction step.
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Exemple
Tracé du lieu des racines
num1 7 denconv(conv(1 0,1 5), conv(1
15,1 20)) rlocus(num,den) axis(-22 3 -15
15)grid
P.O. lt 5 ? zeta gt 0.7
Choix de K à partir du lieu de racines
zeta0.7 Wn1.4 sgrid(zeta, Wn)
K,poles rlocfind(num,den) et choisir un point
sur le lieu des racines
Vérification avec numBF, denBF
cloop((K)num, den)figurestep(numBF,denBF)
Note la fonction cloop ? donne la réponse en BF
avec (K, num et den) comme arguments
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num1 7 denconv(conv(1 0,1 5), conv(1
15,1 20)) rlocus(num,den) axis(-22 3 -15
15)grid
15
zeta0.7 Wn2.1 sgrid(zeta, Wn)
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K,poles rlocfind(num,den)
K 168.92 Poles
-21 -13.5 -4.4 -0.9
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Vérification avec numBF, denBF
cloop((K)num, den)figurestep(numBF,denBF)
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K,poles rlocfind(num,den)
K2088 Poles
-26.3 -2.8 7.8 i -2.8 - 7.8 i -7.9
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Vérification avec numBF, denBF
cloop((K)num, den)figurestep(numBF,denBF)
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Contrôleur PID
Gc(s)
G(s)
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Pour concevoir un contrôleur PID
Règles à suivre pour la conception dun
contrôleur PID pour un système donné, en vue
dobtenir une réponse désirée.

• Obtenir la réponse en boucle ouverte, et
  déterminer ce quil ya lieu dAméliorer
• Ajouter un contrôle proportionnel pour améliorer
  le temps de montée Tr
• Ajouter un contrôle dérivatif pour améliorer le
  dépassement P.O.
• Ajouter un contrôle intégral pour annuler
  lerreur statique
• Ajuster les paramètres Kp, Kd, et Ki jusquà
  obtenir la réponse globale désirée.
• Note Se référer à la table de la page 20
  (précédente) pour trouver quel est le type de
  contrôleur
• qui contrôle quelle caractéristique.

Il convient de retenir quon est pas obligé
dimplémenter les 3 types de contrôleurs (P, I,
D) dans le système à contrôler si ce nest pas
nécessaire. Par exemple, si un contrôle PI
donne une réponse déjà satisfaisante, il est
inutile dajouter le contrôle de dérivation D.
Laisser le contrôle aussi simple que possible.
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Exemple 1 Contrôle de la vitesse de moteur DC
Vitesse
V
Gc(s)
Modèle du moteur contrôlé par linduit
En négligeant Kb
Si J0.01 b0.1 Km0.01 Ra1 La0.005
Concevoir un PID pour qu
En réponse à un échelon de 1 rad./s, les critères
de la réponse doivent être - Temps de réponse
Ts (Settling time) lt 500 ms- P.O. 0- Erreur
statique 0
Constante de temps électrique
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Réponse en Boucle Ouverte
J0.01 b0.1 Km0.01 Ra1 La0.005
numKm/(bRa) denconv(J/b 1, La/Ra 1)
step(num,den) title('Réponse à un échelon du
système en BO ')
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Contrôle proportionnel
Kp200 numaKpnum denaden numac,denac
cloop(numa,dena) step(numac,denac)
title('Réponse à un échelon du système en BF avec
Kp ')
Noter lerreur statique, le dépassement et la
rapidité
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Contrôle PID
Rappelant que le terme intégral élimine lerreur
statique et le terme dérivative du contrôleur PID
réduit le dépassement. Essayant un contrôleur
PID avec Ki seulement.
Kp200 Ki500 Kd0 numcKd, Kp, Ki denc1
0 numaconv(num,numc) denaconv(den,denc)
numac,denaccloop(numa,dena)
step(numac,denac)title('Contrôle PID avec de
petites valeurs de Ki et Kd')
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Ajustement des gains
On remarque de la réponse précédente que le temps
de réponse Ts sest rendu très long. Augmentant
Ki pour le réduire. On refait létape précédente
avec Ki 1000.
Kp100 Ki1000 Kd1 numcKd, Kp, Ki denc1
0 numaconv(num,numc) denaconv(den,denc)
numac,denaccloop(numa,dena)
step(numac,denac) title('Contrôle PID avec une
grande valeur de Ki')
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Maintenant diminuant le dépassement avec Kd égal
à 10.
Kp100 Ki500 Kd10 numcKd, Kp, Ki denc1
0 numaconv(num,numc) denaconv(den,denc)
numac,denaccloop(numa,dena)
step(numac,denac) title('Contrôle PID en
augmentant Kd')
Enfin les paramètres du contrôleur PID sont Kp
100,Ki 500,Kd 10, Qui répondent
parfaitement à nos spécifications de départ.
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Exemple 2
M 1kg b 10 N.s/m k 20 N/m
Objectif Comment chacun des Kp, Ki et Kd
contribue pour obtenir Tr rapide P.O. minimal
Erreur statique nulle
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Réponse en boucle ouverte
num1 den1 10 20 step(num,den)
Rôle de P
Kp300 numKp den1 10 20Kp t00.012
step(num,den,t)
Rôle de PD
Kp300 Kd10 numKd Kp den1 10Kd 20Kp
t00.012 step(num,den,t)
Rôle de PI
Note Kp est diminué Parce que le Ki contribue
Déjà à laugmentation du P.O. et à la réduction
de Tr (Tout comme le Kp)
Kp30 Ki70 numKp Ki den1 10 20Kp Ki
t00.012 step(num,den,t)
Rôle de PID
Après plusieurs essais, nous avons retenu Kp
350 Ki 300 Kd 50
Kp350 Ki300 Kd50 numKd Kp Ki den1
10Kd 20Kp Ki t 00.012 step(num, den,t)
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Projet de conception (25)

• Asservissement de la vitesse dun moteur DC

Identifier les valeurs des R et C Pour les
valeurs de gains trouvés à partir des simulations
Identifier le moteur
?
?
Q1
Q2
Q1
P I D
PWM 0-100
-Vcc/Vcc
Q2

Q3
-
Q4
Q3
Q4
Placer les composants nécessaires sur la maquette
fournie
Kt
?
Vitesse (rpm)
Tension électrique (volts)
Trouver la valeur de Kt
Éffectuer des tests de validation. Préparer un
document complet qui explique toutes les étapes
effectuées.