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1
unité 1
Analyse numérique matricielle
Giansalvo EXIN Cirrincione
2
Soit V un espace vectoriel de dimension finie n,
sur le corps R ou C (K)
Une base de V est un ensemble e1, e2, , en de
n vecteurs linéairement indépendants de V
Lorsqu'une base est fixée sans ambiguité, on peut
ainsi identifier V à Kn
décomposition unique
vecteur colonne
3
vecteur ligne
vecteur ligne
vecteur transposé
vecteur adjoint
4
Produit scalaire
u et v sont orthogonaux si ( u, v ) 0
un ensemble v1, v2, , vk de vecteurs de V est
dit orthonormal si
5
Matrice
a11
a12
a13

a1n
a21
a22
a23

a2n
a31
a32
a33

a3n
?
?
?
?
am1
am2
am3

amn
6
Matrice
a11
a12
a13

a1n
a21
a22
a23

a2n
a31
a32
a33

a3n
?
?
?
?
am1
am2
am3

amn
m lignes
7
Matrice
a11
a12
a13

a1n
a21
a22
a23

a2n
a31
a32
a33

a3n
?
?
?
?
am1
am2
am3

amn
n colonnes
8
Matrice
a11
a12
a13

a1n
a21
a22
a23

a2n
a31
a32
a33

a3n
?
?
?
?
am1
am2
am3

amn
9
Matrice
a11
a12
a13

a1n
a21
a22
a23

a2n
a31
a32
a33

a3n
?
?
?
?
am1
am2
am3

amn
10
Matrice
a11
a12
a13

a1n
a21
a22
a23

a2n
a31
a32
a33

a3n
?
?
?
?
am1
am2
am3

amn
11
Matrice
a11
a12
a13

a1n
a21
a22
a23

a2n
a31
a32
a33

a3n
?
?
?
?
am1
am2
am3

amn
12
Matrice carrée
a11
a12
a13

a1n
a21
a22
a23

a2n
a31
a32
a33

a3n
?
?
?
?
an1
an2
an3

ann
13
Matrice carrée
a11
a12
a13

a1n
a21
a22
a23

a2n
a31
a32
a33

a3n
?
?
?
?
an1
an2
an3

ann
diagonale
14
Espace vectoriel ?m,n(K) des matrices de type (m
,n)
matrice nulle 0 (0)
15
(No Transcript)
16
Multiplication matrice-vecteur
b

Produit externe
17
(No Transcript)
18
(No Transcript)
19
(No Transcript)
20
(No Transcript)
21
Décomposition par blocs
22
Déterminant d'une matrice carrée
23
Rang de la matrice A
det A ? 0
24
Matrice inverse de la matrice A
Une matrice A est inversible s'il existe une
matrice (unique si elle existe), notée A-1 et
appelée matrice inverse de la matrice A, telle
que A A-1 A-1 A I. Dans le cas contraire, on
dit que la matrice est singulière ( det A 0 ).
Une matrice A est inversible si elle est pleine
rang (full rank).
25
Matrices particulières
26
Matrices particulières
a11
0
0
0
0
0
a22
0
0
0
0
a32
a33
0
0
0
0
0
a44
0
0
0
0
0
a55
27
Matrices particulières
a11
a12
0
0
0
a21
a22
a23
0
0
tridiagonale
0
a32
a33
a34
0
0
0
a43
a44
a45
0
0
0
a54
a55
a11
a12
a13
0
0
a21
a22
a23
a24
0
bande (ampl. 5)
a31
a32
a33
a34
a35
0
a42
a43
a44
a45
0
0
a53
a54
a55
28
Matrices particulières
a11
a12
a13
a14
a15
0
a22
a23
a24
a25
triangulaire supérieure
0
0
a33
a34
a35
0
0
0
a44
a45
0
0
0
0
a55
a11
0
0
0
0
a21
a22
0
0
0
triangulaire inférieure
a31
a32
a33
0
0
a41
a42
a43
a44
0
a51
a52
a53
a54
a55
29
Matrices particulières
a11
a12
a13
a14
a15
a21
a22
a23
a24
a25
Hessenberg supérieure
0
a32
a33
a34
a35
0
0
a43
a44
a45
0
0
0
a54
a55
a11
a12
0
0
0
a21
a22
a23
0
0
Hessenberg inférieure
a31
a32
a33
a34
0
a41
a42
a43
a44
a45
a51
a52
a53
a54
a55
30
valeur propre eigenvalue eigenwert (ew)
vecteur propre eigenvector eigenvektor (ev)
Ax ? x
Le sous-espace vectoriel v A v ? v est
appelé sous-espace propre El correspondant à la
valeur propre ?. Il est un sous-espace invariant.
31
Les valeurs propres ?i d'une matrice A d'ordre n
sont les n racines, réelles ou complexes,
distinctes ou confondues, du polynôme
caractéristique
multiplicité algébrique mA ( ? )
multiplicité géométrique mG ( ? )
32
Une matrice hermitienne A est définie positive
(p.d.) si
Une matrice hermitienne A est positive si
Une matrice hermitienne est définie positive
(positive) si toutes ses valeurs propres sont gt 0
( ? 0 ).
trace de A
33
(No Transcript)
34

• si ?, x sont ew et ev de A non singulière,
• alors ?-1, x sont ew et ev de A -1

• si A A H , alors ew ? ? et les ev
  correspondants aux ew
• distinctes sont orthogonaux

• les ev correspondants aux ew distinctes sont
  l.i.

• si ? est ew de A unitaire, alors ? 1

• si ? est ew de A et ? ? K , alors ? - ? est ew
  de A - ? I

• A est diagonalisable ? toutes les n ev sont l.i.

35
A et B sont matrices semblables si B P -1 A P ,
où P est inversible
Si X n'est pas singulière, alors A et X -1 A X
ont le même polynôme caractéristique, valeurs
propres, multiplicité algébrique et géométrique.

• A est diagonalisable ? toutes les n ev sont l.i.

36
(No Transcript)
37
Etant donné une matrice carrée A, il existe une
matrice unitaire U telle que la matrice U -1 A U
soit triangulaire (décomposition de Schur).
Etant donné une matrice normale A, il existe une
matrice unitaire U telle que la matrice U -1 A U
soit diagonale.
Etant donné une matrice symétrique A, il existe
une matrice orthogonale O telle que la matrice O
-1 A O soit diagonale.
38
Décomposition en valeurs singulières (singular
value decomposition, SVD)
39
Théorème de Gerschgorin-Hadamard
Sil existe un entier m vérifiant 1 ? m ? n tel
que la réunion de m disques soit disjointe de la
réunion des (n-m) disques restants, la réunion de
m disques contient exactement m valeurs propres
de A.
40
Théorème de Gerschgorin-Hadamard
41
Théorème de Gerschgorin-Hadamard
42
Normes vectorielles
43
(No Transcript)
44
Normes matricielles
Norme matricielle subordonnée (à la norme
vectorielle donnée)
45
Normes matricielles
46
Normes matricielles
Soit A ( aij ) une matrice carrée. Alors
47
Normes matricielles
Norme de Frobenius
48
FINE