Probl

1
Problème de double digestion

• (Double Digest Problem)

2
Problématique

• Séquencer les positions des sites de clivage de
  deux enzymes de restriction dans une séquence
  d'ADN (restriction mapping)
• Mesurer la longueur des fragments résultants
  d'une digestion complète de l'ADN par chacun des
  deux enzymes séparément, puis par les deux
  enzymes conjointement.

3
Procédé

• L'expérimentation nous fourniera, par
  électrophorèse, la longueur de tous les fragments
  résultants de la digestion de l'ADN par l'enzyme
  A, par l'enzyme B et de la digestion conjointe
  par les deux enzymes A et B.

4
Formalisation

• Notons A et B les ensembles représentant les
  (positions des) sites de clivage des enzymes A et
  B dans la séquence d'ADN.
• Notons dA et dB les ensembles représentant les
  longueurs des fragments obtenus expérimentalement
  par la digestion de l'ADN par les enzymes A et B
  respectivement.

5
Formalisation (suite)

• Notons dX l'ensemble des longueurs des fragments
  obtenus par la digestion conjointe de l'ADN par
  les enzymes A et B.
• Résoudre le PDD revient à retrouver A et B à
  partir de dA, dB et dX.

6
Difficultés

• Le nombre de cartographies (mapping) potentielles
  et la complexité du calcul pour la résolution du
  PDD augmentent rapidement avec le nombre de sites
  de clivage des enzymes.
• Problème NP-complet croissance exponentielle
  des possibilités.

7
Difficultés ... espoir!

• Il existe plusieurs classe d'équivalence
  regrouppant les différentes cartographies
• Toutes les solutions d'une même classe peuvent
  être obtenues à partir d'une solution de base de
  cette même classe, par l'application de
  transformations d'équivalence basées sur la
  théorie des cycles Eulériens alternants dans des
  graphes colorés.

8
Exemple... ADN 27

• Enzyme A Enzyme B A B

1 1 1 1 1 1
1 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 3 3 7 8
2 2 2 2 2 3 4 4
9
Exemple... (suite)
1 4 4 4 3 3 5 5 2 4 4 5 5 3
1 2 1 1 2 1 1 4 2 2 2 1 4 3
3 3 1 3 3 2 2 8 8 8 3 3 7 7
A
CA B
B
1 4 4 5 5 2 4 4 4 3 3 5 5 3
1 2 2 1 4 2 2 1 1 2 1 1 4 3
3 3 3 3 8 8 8 1 3 3 2 2 7 7
A
CA B
B
10
Boîtes définition

• Pour un intervalle Ii,j, définissons
• IC Ck i ? k ? j
• Une boîte sera définie par IC comme étant une
  paire (IA, IB) avec
• IA Ai ? k t.q. Ck ? Ai
• IB Bj ? k t.q. Ck ? Bj

11
Exemple...
1 4 4 4 3 3 5 5 2 4 4 5 5 3


3 3 1 3 3 2 2 8 8 8 3 3 7 7
A
A B
B
A
A B
B
1 4 4 5 5 2 4 4 4 3 3 5 5 3

3 3 3 3 8 8 8 1 3 3 2 2 7 7
12
Boîtes ... (suite)

• Soit mA et mB les positions de début du fragment
  le plus à gauche de IA et de IB.
• On appelle "chevauchement gauche" de (IA, IB) la
  distance mA - mB.
• Soit nA et nB les positions de fin du fragment le
  plus à droite de IA et de IB.
• On appelle "chevauchement droit" de (IA, IB) la
  distance nA - nB.

13
Opérations sur les boîtes 1- échange

• Soient deux boîtes
• BT1 (IA1,IB1) et BT2 (IA2,IB2)
• Si mA1 - mB1 mA2 - mB2
• nA1 - nB1 nA2 - nB2
• BT1 ? BT2 ?
• Alors BT1 et BT2 peuvent s'échanger

14
Exemple... (encore)
1 4 4 4 3 3 5 5 2 4 4 5 5 3


3 3 1 3 3 2 2 8 8 8 3 3 7 7
A
A B
B
A
A B
B
1 4 4 5 5 2 4 4 4 3 3 5 5 3

3 3 3 3 8 8 8 1 3 3 2 2 7 7
15
Exemple... (encore)
1 4 4 4 3 3 5 5 2 4 4 5 5 3


3 3 1 3 3 2 2 8 8 8 3 3 7 7
A
A B
B
A
A B
B
1 4 4 5 5 2 4 4 4 3 3 5 5 3

3 3 3 3 8 8 8 1 3 3 2 2 7 7
16
Opérations sur les boîtes 2- réflexion

• Soit une boîte BT (IA,IB)
• Si mA - mB - (nA - nB)
• Alors BT peut être réfléchie

17
Exemple... (fin)
1 4 4 4 3 3 5 5 2 4 4 5 5 3

3 3 1 3 3 2 2 8 8 8 3 3 7 7
A
A B
B
1 4 4 4 3 3 5 5 2 4 4 5 5 3

3 3 1 2 2 3 3 8 8 8 3 3 7 7
A
A B
B
18
Cycle alternants dans les graphes colorés

• L'algorithme qui trouve toutes les
  transformations possibles, i.e. les échanges et
  les réflexions de boîtes, à partir d'une solution
  du PDD est basé sur la théorie des cycles
  alternants dans les graphes colorés.

19
Graphes

• Soit un graphe G(V,E) avec un ensemble d'arêtes E
  colorées en l couleurs.
• Une séquence d'arêtes Px1x2...xm est appellé un
  chemin dans G si
• (xi,xi1) ? E ? 1 ? i ? m-1
• P est appellé un cycle si x1 xm

20
Alternance dans un graphe

• Un chemin dans G est alternant si la couleur de
  toutes les paires d'arêtes consécutives (xi,
  xi1) et (xi1, xi2) sont distinctes.
• Un chemin est qualifié d'Eulérien si chaque e ? E
  est traversée exactement une fois.

21
Noeud/graphe balancé

• Soit dc(v) le nombre d'arête de couleur c
  incidentes à v
• Définissons le degré d(v) d'un noeud v de la
  manière suivante
• d(v) ? dc(v)
• Un noeud v est dit balancé si
• maxc dc(v) ? d(v)/2
• Un graphe est dit balancé si tous ses noeuds sont
  balancés

l
c 1
22
Théorème de Kotzig (1)

• Soit G un graphe coloré avec degré pair pour tous
  ses noeuds. Alors ...
• ? un cycle Eulérien alternant dans G
• SSI
• G est balancé

23
Idée de la preuve 1

• Diviser les d(v) arêtes incidentes au noeud v en
  d(v)/2 paires, chacune composée d'arêtes de
  couleurs distinctes
• Former un cycle alternant à partir de v
• Trouver un noeud dont les arêtes ne sont pas
  toutes traversée
• Y former un nouveau cycle, et le combiner au
  précédent.
• Répéter le processus jusqu'à avoir relié tous les
  noeuds.

24
Lemme1

• Soit G un graphe bicoloré. Alors, par le
  théorème 1, on tire
• ? cycle Eulérien dans G
• SSI
• d1(v) d2(v) ? v ? V
• Dorénavant, nous utiliserons un graphe bicoloré.

25
Transformations sur les cycles eulériens
alternants

• Soit F ... x ... y ... x ... y ... un chemin
  alternant dans un graphe G bicoloré.
• On peut partitionner F autour des sommets x et y
  en cinq sous-chemins
• F F1F2F3F4F5
• - Échange d'ordre
• F F1F2F3F4F5 ? F F1F4F3F2F5

26
Transformations sur les cycles eulériens
alternants

• Soit F ... x ... x ... un chemin alternant dans
  un graphe G bicoloré.
• On peut partitionner F autour du sommet x en
  trois sous-chemins
• F F1F2F3
• - Réflexion de l'ordre
• F F1F2F3 ? F F1F2- F3

27
Théorème 2

• Tous les cycles Eulériens alternants dans un
  graphe G peuvent être transformés entre eux par
  une séries de transformations d'ordre (échanges
  et réflexions)

28
Preuve 2

• Soient X et Y deux cycles Eulériens alternants
  dans G.
• Soit C l'ensemble des cycles Eulériens alternants
  obtenus par toutes les transformations possibles
  à partir de X.
• Soit Xx1...xm un cycle dans C ayant le plus
  long préfixe commun avec Yy1...ym
• i.e. x1...xl y1...yl l ? m

29
Preuve 2 (suite)

• Soit v xl yl donc e1(v,xl1) et
  e2(v,yl1) sont les premières arêtes
  différentes entre X et Y.
• Alors
• e1 et e2 ont la même couleur (alternant)
• X contient e2 (Eulérien)
• e2 succède à e1 dans X
• Deux cas surviennent (2.9)

30
Preuve 2 premier cas

• e2 (yl1,v) est dirigée vers v
• Partitionnons X autour de v
• Alors, puisque c(e1) c(e2), on peut appliquer
  la réflexion d'ordre
• X F1F2F3 ? F1F2-F3 X
• Ainsi X ? C et au moins (l1) arêtes
  coïncident entre X et Y, ce qui contredit le
  choix de X. (2.10)

31
Preuve 2 second cas

• e2 (v, yl1) , dans X, sort de v
• Alors, on peut partitionner XX1X2X3 autour de v
• Notons que X2 et X3 auront assurément un sommet
  xj xk en commun (Eulérien)
• Repartitionnons autour de ce sommet
• XF1F2F3F4F5 (2.11)
• Deux cas surviennent à nouveau

32
Preuve 2 second cas

• Si c (xk, xk1) ! c (xj-1,xj)
• Alors on peut appliquer l'échange d'ordre
  suivant
• X ? F1F4F3F2F5 X
• Ainsi, on obtient X à partir de X, et X et
  Y possèdent au moins (l1) arêtes communes, ce
  qui contredit le choix initial de X

33
Preuve 2 second cas

• Si c (xk, xk1) c (xj-1,xj)
• Alors on peut appliquer la réflexion
• F1F2F3F4F5 ? F1F2(F3F4)-F5 F1F2F4-F3-F5
• suivie d'une seconde réflexion
• F1(F2F4-)-F3-F5 F1F4F2-F3-F5 X
• Ainsi, on obtient X à partir de X, et X et
  Y possèdent au moins (l1) arêtes communes, ce
  qui contredit le choix initial de X CQFD

34
Cartographies des sites de clivage et cycles
Eulériens alternants

• Soit une cartographie formée de fragment digérés
  par les enzymes A, B et C A B conjointement.
• Nous définissons une fourchette F
• F(Ai) Cj Cj ? Ai
• ex. F(A3) C5, C6
• Une fourchette contenant 2 fragments s'appelle
  une multi-fourchette

35
Exemple...
A1 A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5
3 2 1 3 4 1 2 3 4
B1 B2 B2 B3 B3 B4 B4 B5 B5
36
Cartographies des sites de clivage et cycles
Eulériens alternants

• On appelle des fragments frontaliers les deux
  fragments aux extrémités d'une multi-fourchette.
• Lemme 3
• Chaque fragment frontalier (mis-à-part C1 et Cl)
  appartient à exactement 2 multifourchettes F(Ai)
  et F(Bj)

37
Cartographies des sites de clivage et cycles
Eulériens alternants

• Le lemme précédent fournit la motivation pour la
  construction d'un graphe de fourchettes avec des
  noeuds correspondants à la longueur des fragments
  frontaliers, où chaque arête correspond à une
  fourchette. Ce graphe sera coloré (chaque enzyme
  de restriction est associé à une couleur).

38
Résolution

• Chaque cartographie des sites de clivage est
  définie par un chemin Eulérien dans son graphe de
  fourchettes.
• Les transformations entre chacun de ces chemins
  alternants représentent ainsi les transformations
  équivalentes des boîtes de la cartographie.

39
Exemple...
A1 A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5
3 2 1 3 4 1 2 3 4
B1 B2 B2 B3 B3 B4 B4 B5 B5
40
Exemple...
A1 A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5
3 2 1 3 4 1 2 3 4
B1 B2 B2 B3 B3 B4 B4 B5 B5
- Chaque transformation des boîtes des cartographies correspond à une transformation d'ordre dans le graphe des fourchettes. - Ainsi chaque chemin Eulérien alternant dans le graphe correspond à une transformation de boîte
41
Exemple...
A1 A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5
3 2 1 3 4 1 2 3 4
B1 B2 B2 B3 B3 B4 B4 B5 B5
-A2 -A2 -A1 -A1 A3 A3 A4 A4 A5
3 1 2 3 4 1 2 3 4
B1 -B2 -B2 B3 B3 B4 B4 B5 B5