Tpico 1 2 Presentacin

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Tópico 12ª Presentación
Ecuación clásica del calor Fabián A. Torres
R. Profesor Sr. Juan Morales
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Programa

• Ecuación de difusión del calor.
• Aplicaciones de la ecuación sin fuentes térmicas.

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Repaso
La ecuación que describe la difusión del calor en
un material es
Si k,c y ? son constantes entonces la ecuación
queda como
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Aplicaciones sin fuentes térmicas

• Región donde 0ltxltL con temperatura en los
  extremos igual a cero y distribución inicial de
  temperatura f(x).

Ecuación
Condiciones de contorno e inicial
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En este caso, utilizando las series de Fourier,
se puede expresar f(x) y T(x,t) como
El factor exponencial del tiempo nos asegura una
convergencia uniforme para todo x siempre que
tgt0 Los coeficientes an se determinan
Estas expresiones claramente satisfacen las
condiciones iniciales y de contorno
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Dos casos especiales 1.- f(x)A
(constante). En este caso, se tiene que
Luego la expresión para T es
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Gráfico de Convergencia de la serie de Fourier
2.- f(x)kx (dependencia lineal) En este caso se
tiene que
Y T(x,t) queda como
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• Región 0 lt x lt L con distribución inicial de
  temperatura f(x) y temperatura constante en los
  extremos o aislados térmicamente.

Ecuación
Condiciones de contorno e inicial
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En este caso suponemos la temperatura como la
suma de dos funciones tal que
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De esta manera, se obtiene
Ahora, los términos an están dados por
Expresión para T
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• Región 0 lt x lt L con distribución inicial de
  temperatura f(x) y temperaturas ?1(t) y ?2(t) en
  los extremos.

Ecuación
Condiciones de contorno e iniciales
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Utilizando el mismo método anterior, definimos T
como donde
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De los casos anteriores se puede escribir u(x,t)
como
Utilizando el teorema de Duhamels podemos
escribir v como
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De donde se obtiene que
con
Luego, la expresión para v es
Reemplazando luego estas expresiones en T se
obtiene la solución.
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Utilicemos el resultado anterior para el caso en
que T(x,0)0 ?1 0 y ?2 varía como sen(wt?).
Luego la solución es
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donde