Teora de Portafolios y el Capital Asset Pricing Model CAPM

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Teoría de Portafolios y el Capital Asset Pricing
Model (CAPM)

• Visión General
• Medición del Riesgo
• Aversión al riesgo
• Riesgovarianza del portafolio o desviación
  estándar
• Cálculo de la varianza
• Dos activos
• Varios activos
• Portafolios eficientes
• CAPM

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Supuestos fundamentales para la incorporación del
riesgo en la valorización de activos

• Antes de estudiar la incorporación del riesgo en
  la valorización de activos, debemos hacer los
  siguientes supuestos
• Los inversionistas son aversos al riesgo
• Utilizaremos la varianza (o desviación estándar)
  como una medida del riesgo
• Los retornos tienen una distribución normal

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Riesgo y Aversión al Riesgo

• La presencia de riesgo implica que más de un
  resultado es posible.
• Un prospecto simple es una oportunidad de
  inversión en la cual la riqueza inicial está
  sujeta a riesgo.
• Ejemplo Supongamos que la riqueza inicial, W, es
  100 mil, y que hay 2 resultados posibles. Con
  probabilidad 0.6, la riqueza final será de
  W1150 mil y con probabilidad 0.4, la riqueza
  final será W280 mil.

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Cómo describir este prospecto?

• E(W)p W1(1?p) W20.61500000.480000122000
• ?La ganancia esperada es 22000122000?100000
• La varianza del prospecto es
• Var(W)??2p(W1?E(W))2 (1?p) (W2?E(W))2
• 0.6(150000?122000)20.4(80000 ? 122000)2
• 1 176 000 000
• ??34292.86 (desviación estándar)

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Analicemos otras alternativas de inversión

• Supongamos que tenemos como alternativa invertir
  en bonos del gobierno. La tasa de retorno de un
  bono a 1 año es 5
• 100000

p0.6
ganancia50000
Inversión riesgosa
ganancia? 20000
1-p0.4
Inversión libre de riesgo
ganancia5000
6

• Por lo tanto, la ganancia marginal esperada del
  prospecto, por sobre la inversión libre de
  riesgo, es
• 22000?500017000 Premio por riesgo
• Pregunta Escogerá el inversionista la
  alternativa riesgosa? No podemos responder esta
  pregunta sin antes hacer algunos supuestos sobre
  sus preferencias entre retorno y riesgo
  (desviación estándar).

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Función de Utilidad de un Averso al Riesgo

• Supondremos que los inversionistas pueden ordenar
  las distintas oportunidades de inversión mediante
  una función de utilidad que tome en cuenta el
  retorno y el riesgo de cada una de ellas.
• El riesgo de la inversión es medido por ?(r)
• Una función de utilidad comúnmente utilizada es
• UE(r)?0.005 A ?2(r)
• donde U Utilidad, A índice de aversión al
  riesgo, 0.005 es un factor de escala que permite
  expresar el retorno esperado y la desviación
  estándar en

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Ejemplo (continuación)

• En el ejemplo anterior, el retorno esperado y la
  desviación estándar del prospecto son,
  respectivamente
• El bono del gobierno proporciona un retorno del
  5 con ?0
• El premio por riesgo es de 17(17000/100000)100
• Suponiendo A3, U 22?0.0053342 4.66 lt 5
• El ajuste hecho al retorno, por concepto de
  riesgo, es de 0.005334217.34 gt premio por
  riesgo17
• Por lo tanto, el inversionista prefiere el bono
  del gobierno

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Aversión al Riesgo y Utilidad Esperada

• Durante su estadía en St. Petersburgo, Daniel
  Bernoulli analizó el siguiente juego lanzando una
  moneda al aire
• Para jugarlo se debe pagar una entrada
• Una vez pagada la entrada, se lanzará una moneda
  al aire hasta que aparezca la primera cara. Se
  contará el número de sellos que aparecieron antes
  de la primera cara (n), y se pagará la cantidad
• R(n) 2n
• La tabla siguiente muestra los resultados
  posibles

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Paradoja de St. Petersburgo (continuación)

• Daniel Bernoulli resolvió la paradoja anterior
  constatando que los inversionistas no asignan el
  mismo valor a todos los resultados posibles.
• Entre mayor sea su riqueza, menor el valor
  asignado a cada peso adicional. Esto es, la
  utilidad marginal de la riqueza es decreciente

U(W)
Incremento en U
Incremento en U
W (riqueza)
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Cuánto pagará un individuo averso al riesgo por
entrar al juego anterior?

• Supongamos que U(W)ln(W).
• De ello, U?(W)1/Wgt0 U??(W) ?1/W2lt0
• El valor esperado de la utilidad es
• Equivalente cierto aquella cantidad de dinero
  libre de riesgo que me dejaría tan feliz como la
  alternativa con riesgo exp(E(U(W))exp(0.693)?2
• ?Lo máximo que estoy dispuesto a pagar por el
  juego es 2

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A parte del valor esperado y varianza, debemos
incluir en U otros momentos de la distribución de
los retornos?

• Una función de utilidad más general es la
  siguiente

• Los momentos pares (varianza (M2), M4, etc.)
  representan medidas de valores extremos y, por lo
  tanto, están asociados a una mayor incertidumbre.
  Los momentos impares (M3, M5, etc.) representan
  medidas de asimetría de la distribución. Una
  asimetría positiva es deseable.

• Se ha demostrado que, si la distribución del
  retorno no presenta descontinuidades (saltos),
  la importancia de todos los momentos adicionales
  a E(r) y ?2 es mucho menor. Por lo tanto, la
  función UE(r)?0.005 A ?2(r) es una buena
  aproximación de U.

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El último supuesto importante que se hace en
teoría de portafolios es que los retornos tienen
una distribución normal.

• El argumento más usado es que, si bien el retorno
  de un activo individual no es exactamente normal,
  la distribución del retorno de un portafolio con
  un número grande de activos (N) se acerca mucho a
  la de una normal

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Repaso de Matemáticas de un Portafolio

• Regla 1 La media o retorno esperado de un activo
  es un promedio ponderado de los retornos de cada
  escenario posible. La ponderación respectiva
  viene dada por la probabilidad de ocurrencia de
  cada escenario

donde Pr(s) es la probabilidad del escenario s y
r(s) es el retorno del activo en el escenario s.
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Regla 2 La varianza de los retornos de un activo
es el valor esperado de las desviaciones
cuadráticas con respecto a su media.
La desviación estándar, ?, es simplemente la raíz
cuadrada (positiva) de ?2.
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Regla 3 El retorno esperado de un portafolio de
activos es el promedio ponderado de los retornos
esperados de los activos que lo componen
El ponderador wi corresponde a la proporción del
portafolio invertida en el activo i.
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Regla 4 La covarianza entre los retornos de dos
activos mide cómo se mueve el retorno de uno en
relación al otro. La covarianza se define como

• Si los retornos se mueven en la misma dirección,
  ?ijgt0
• Si los retornos se mueven en direcciones
  opuestas, ?ijlt0
• Si los retornos son independientes, ?ij0. (Ojo
  lo contrario no es necesariamente cierto).

• Recordemos que el coeficiente de correlación
  (?ij) mide el grado de asociación lineal entre
  pares de retornos

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Regla 5 Dado un portafolio de n activos
riesgosos, con ponderaciones wi, i1, 2, .., n,
la varianza de éste viene dada por

• donde

• wi y wj son las ponderaciones de los activos i y
  j, respectivamente
• ?ii??i2
• Se tiene que Cov(ri,rj)?ijCov(rj,ri)?ji

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Ejemplo Portafolio de dos activos
20
Ejemplo (continuación)
21
Ejemplo (continuación)
22
(No Transcript)
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Efecto Diversificación

• Varianza del Portafolio

• Supongamos que wi 1/N ?i
• En la varianza del portafolio, existen N
  varianzas y N2?N covarianzas. Por lo tanto

• Si N es muy grande, la varianza del portafolio
  tiende a la covarianza promedio de los
  instrumentos.

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Llegado cierto punto, no será posible seguir
reduciendo la varianza del portafolio mediante la
diversificación
Volatilidad (desviación estándar del retorno)
Riesgo eliminado por diversificación
Riesgo total del portafolio
Riesgo total de un instrumento tipo del portafolio
Riesgo no diversificable
Número de instrumentos en el portafolio
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Combinación de Portafolio (I)
E(rp)
E(rp)
rAB-1
A (wA1)
A (wA1)
rAB1
B (wB1)
B (wB1)
sp
sp

• Instrumentos con correlación positiva moderada

• Correlación perfecta (positiva y negativa)

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Combinación de Portafolio (II)
E(rp)
E(rp)
X
X
X
X
X
A
X
X
X
X
X
X
X
E(rB)rf
X
X
X
X
sp
sp

• Uno de los instrumentos es libre de riesgo (?0)

• N instrumentos riesgosos

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Avanzando hacia el Capital Asset Pricing Model -
CAPM. (I).
E(rp)
Pedir prestado
P
X
X
X
Prestar
X
X
X
X
X
rf
X
X
X
X
X
X
X
X
sp

• Supongamos que el portafolio P es eficiente, y
  que el inversionista puede prestar y pedir
  prestado a la tasa libre de riesgo, rf

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Avanzando hacia el Capital Asset Pricing Model -
CAPM. (II).

• Consideremos todas las combinaciones entre el
  portafolio P y el instrumento i

E(rp)
P
100 en portafolio P
rf
100 en portafolio i
sp

• La curva anterior muestra todas las combinaciones
  de retorno y desviación estándar para el
  portafolio resultante Q.

29
Avanzando hacia el Capital Asset Pricing Model -
CAPM. (III).

• Calculando el retorno y la varianza del
  portafolio Q. (El activo i puede estar incluido
  en P, pero mantendremos los ponderadores para P
  fijos).

• Entonces

30
Avanzando hacia el Capital Asset Pricing Model -
CAPM. (IV).
31
Avanzando hacia el Capital Asset Pricing Model -
CAPM. (V).

• Esta pendiente debe ser igual a la de la línea
  que conecta el activo libre de riesgo con el
  portafolio P

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Definamos el beta de un activo

• ?i, mide la contribución del activo i al riesgo
  del portafolio.
• Por lo tanto, la ecuación anterior puede ser
  expresada como
• E(ri)?rf ?i(E(rp)?rf)

• Supongamos que todos los inversionistas eligen
  portafolios eficientes y que tienen la misma
  información. Entonces, todos querrán tener el
  mismo portafolio P. Además, dado que todas los
  activos deben tener un dueño, el portafolio P
  debe ser el portafolio de mercado (M). Esto es el
  CAPM

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Resumen de las principales conclusiones de la
teoría de portafolio moderno.

• El inversionista está preocupado del riesgo del
  portafolio, el cual puede ser medido por la
  varianza (o desviación estándar) del retorno
  futuro.
• El riesgo individual de un activo es igual a su
  contribución al riesgo de un portafolio.
  Distinguiendo
• Riesgo no-sistemático el cual puede ser
  eliminado a través de la diversificación.
• Riesgo sistemático el cual no puede ser
  eliminado a través de la diversificación.
• El riesgo sistemático de un activo puede ser
  medido por su beta, el cual es un índice de la
  sensibilidad de su retorno a las fluctuaciones
  del mercado.
• El CAPM establece que la tasa de retorno esperada
  de un activo debe ser una función positiva de su
  beta E( ri) rf ?i(E(rm)?rf)

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El siguiente cuadro muestra los resultados
reportados por Merrill Lynch, en base al SP500.
35
El beta de una empresa es típicamente estimado a
través de una regresión con datos históricos
bisim/ sm2
ai
36
ML estimó el beta para Hewlett Packard a partir
de 60 observaciones de retornos de su acción y
SP500
bi1.81
ai0.81 ( al mes)

• b1.81 significa alto riesgo. Claramente mayor a
  1.0.
• a0.81 implica un desempeño excelente
  (?(1??b)rf). Sin embargo, tiene un alto error
  estándar (0.93).

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Precauciones en el uso de CAPM en solo país.

• En el ejemplo anterior, Merrill Lynch usó como
  portafolio de mercado el índice SP500.
• Sin embargo, el portafolio de mercado debería
  estar constituido por el conjunto de activos que
  mantienen los inversionistas de un grupo
  específico.
• El grupo típicamente considerado por el CAPM son
  todos los inversionistas de un mismo país.
• Suponemos que este conjunto de inversionistas
  tiene oportunidades y expectativas homogéneas.
• Es decir, este grupo de inversionistas están de
  acuerdo sobre la composición del portafolio de
  tangencia.
• Cuando usamos el índice de un país para estimar
  los betas, implícitamente estamos diciendo que el
  conjunto de activos que mantienen los
  inversionistas es igual al portafolio de activos
  emitidos por las empresas de ese país.
• Adicionalmente, estamos diciendo que el conjunto
  de activos emitidos por empresas locales son
  solamente mantenidos por inversionistas locales.
• Si las dos condiciones anteriores no se cumplen,
  no deberíamos usar un índice local para estimar
  los betas.