Une nouvelle approche du risque de pr

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Une nouvelle approche du risque de prépaiement

• Application aux ABS
• Université dEvry 10 janvier 2008

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Plan de la présentation

• Description des risques attachés aux ABS
• Modélisation des actifs amortissables avec
  prépaiement
• Formalisme général
• Formules dapproximation
• Résultats sous lhypothèse dun taux de
  prépaiement constant

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Description des risques attachés aux ABSLes
différentes approches du risque de prépaiement
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Mécanisme de fonctionnement des ABS

• Un SPV émet différentes  tranches  de dette
• Chacune de ces tranches reçoit une note par une
  ou plusieurs agences de notation
• Les différentes tranches émises nont pas un
  risque équivalent
• Les pertes éventuelles impactent dabord les
  tranches les plus junior
• Le remboursement de la dette commence par les
  tranches les plus senior

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Typologie des ABS
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Le marché des ABS

• Définition La titrisation est un mécanisme qui
  permet transférer au marché un pool de créances
  ou dactifs sous la forme dactif financiers
  (bonds)
• Les différents types dABS selon les actifs
  titrisés
• Prêts hypothécaires RMBS ou CMBS
• Créances de cartes de crédit
• Prêts à la consommation
• Prêt étudiants
• Au sein de ces catégories, les ABS peuvent être
  classés suivant le niveau de risque de défaut des
  actifs (Prime, Subprime)
• Un marché en croissance avant la récente crise
• Un marché américain mature et qui dépasse le
  reste du monde en volume
• Le marché des ABS a réalisé une forte croissance
  les dernières années avant la crise du subprime.

Source Asset-Backed Alert, www.abalert.com
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La crise des subprimes

• Facteurs de risque
• Taux dintérêt
• LTV ratio
• FICO score
• Statut de loccupant
• CSP du propriétaire
• Valeur du collatéral

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Une crise systémique
Contagion au marché ABS européen
Marché de la corrélation
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Le remboursement anticipé

• Définition
• Chaque prêt a un profil damortissement
  théorique, prévu à lavance.
• Lemprunteur a loption de rembourser de manière
  anticipée moyennant le paiement dune pénalité (6
  mois dintérêts par exemple)
• Lexercice de cette option se traduit souvent par
  une renégociation du taux de lemprunt
• Le remboursement peut être complet ou partiel
• Les facteurs déclenchant
• Evénements de la vie divorce, décès de
  lemprunteur, faillite
• Vente du bien pour raisons personnelles ou
  professionnelles
• Refinancement à un meilleur taux en cas de
   forte  baisse des taux

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Le risque pour la banque

• Toucher moins de revenus
• La banque va toucher moins de revenus que prévu
• Elle ne va pas forcément porter moins de risque
• Sélection adverse
• Les emprunteurs en difficulté ou plus fragiles,
  ne vont pas rembourser de manière anticipée
• Les produits concernés
• Leveraged loans
• Produits dépargne avec options attachées (PEL)
• Asset Backed Securities (ABS)

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Le marché et les modèles

• Marché essentiellement américain
• Marché des MBS aux US
• Agences Freddie Mac, Fannie Mae et Ginnie Mae
• Marché darbitrage de la volatilité des taux
  dintérêts
• Différents formats MBS pass-through, IO et PO,
  MBS tranchés
• Plusieurs types de modélisations
• Approche optionnelle
• Approche économétrique
• Approches hybrides (Fabozzi)

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Les modèles optionnels (1/2)

• Références bibliographiques
• Brennan et Schwartz (1977)
• Dunn et McConnell Journal of Finance (1981)
• Exercice optimal de loption de refinancement de
  la part de lemprunteur
• Les portefeuilles considérés sont homogènes pas
  de risque de défaut
• La valeur dun prêt est une fonction du taux
  court et du  time to maturity 
• Le taux court suit un processus CIR
• Les agents sont optimaux et interviennent sur un
  marché parfait et compétitif
• Equation du prix de lobligation remboursable

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Les modèles optionnels (2/2)

• Lexercice de loption est en général non optimal
• Lexercice sous-optimal de loption est modélisé
  par un processus de Poisson
• LEDP du prix sécrit
• Les différents types dobligations
• Non callable bond
• Callable bond avec exercice optimal
• Callable bond avec exercice sous optimal

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Les modèles économétriques

• Exprimer le niveau des prépaiements futurs en
  fonction de certaines variables explicatives
  (Schwarz et Torous, 89)
• Variables explicatives taux dintérêt, niveau
  des prépaiements passés
• Burnout
• Les emprunteurs nayant pas remboursé de manière
  anticipée alors que dautres lont fait seront
  peu enclines à prépayer.
• Hétérogénéité de comportement des emprunteurs
• Description du modèle
• Taux stochastiques simulations Monte-Carlo
• Choix des variables explicatives
• Calibrage sur des données historiques problème
  en cas de changement de comportement des
  emprunteurs (cf. années 90)

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Les modèles hybrides

• Kalotay - Yang - Fabozzi
• Point de départ modèles optionnels
• Ingrédient empirique modélisation de la
  sous-optimalité des emprunteurs
• Modélisation du turnover / Refinancement
• Turnover en moyenne 75 PSA
• Refinancement ratio defficacité économie /
  valeur de loption
• Efficacité lt 100 refinancement trop tôt
• Efficacité 100 ingénieur financier /
  professeur à Evry
• Efficacité gt 100 refinancement trop tard

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Le trading des ABS

• Asset picking
• Analyse fondamentale (analyse macroéconomique,
  analyse de la structure et des mécanismes de
  rehaussement de crédit)
• Analyse quantitative pricing de lOption
  Adjusted Spread (OAS) et modèles dagences
• Mesure du rendement dun ABS
• Modèle de Cash-flows
• Taux de prépaiement constant
• Discount Margin (constant spread)
• WAL proxy de la duration
• Prix somme actualisée au taux risqué des
  cash-flows dans le scenario 0 défaut

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II. Modélisation des actifs amortissables avec
prépaiement

• Formalisme général et formules dapproximation

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Actifs financiers amortissables

• Définition En désigne par actif amortissable
  tout actif financier donnant droit à des
  payements réguliers de principal et dintérêts
  jusquau remboursement total du montant investi
  avant une maturité déterminée.
• Un pool dactifs amortissables est lui-même un
  actif amortissable
• Profils damortissement
• Le profil damortissement est une fonction du
  temps représentant le capital restant dû à la
  date t et qui sera notée
• et
• Exemples de profils damortissement standards

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Prépaiement

• Le prépaiement est le remboursement anticipé
  dune partie du capital restant dû ou de son
  intégralité.
• Accélération de lamortissement
  et modification du profil damortissement
• Le prépaiement peut-être déterministe ou
  aléatoire et on ne dispose à un instant donnée
  que dune estimation de la moyenne (espérance) du
  taux de prépaiement futur.
• Le prépaiement est défini par un processus
  qui représente la fraction du principal qui na
  pas été prépayée à linstant t
• Le processus de prépaiement a les propriétés
  suivantes
• A ,
• est décroissant

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Capital restant dû

• Si on désigne par le capital
  restant dû à linstant t alors
• Dans le cas de structures plus complexes, par
  exemple la tranche senior dun ABS à
  remboursement séquentiel, prend des
  formes plus complexes
• avec
• et

Profils damortissement des tranches (sans
normalisation)
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Prépaiement et théorie de la mesure

• et sont deux mesures
  sur lensemble des réels positifs
• Pour une fonction mesurable par
  rapport à ces deux mesures, on définit deux
  opérateurs dintégration et
  comme suit
• Si on dénote par la dérivée de
  Radon-Nikodym définie par
  on a
• Application
• WAL
• Prix dans lapproche actuarielle, le prix est
  la somme des cash-flows futurs actualisés.

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Propriétés de la WAL

• Après intégration par parties
• WAL et convexité la WAL est la surface entre le
  laxe des abscisses et
• Quand est convexe
• Quand est concave
• WAL et linéarité
• WAL dun portefeuille dactifs amortissable

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Encadrement du prix

• Convexité de lexponentielle
  (Inégalité de Jensen), et
  donc
• Ce qui permet dencadrer le prix dun actif
  amortissable par deux bornes non-triviales
• La borne
  est assimilable à une obligation payant
  coupon fixe et ayant la WAL de lactif
• amortissable comme maturité. On appellera une
  telle obligation le lactif bullet associé et on
  notera son prix

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Sensibilité et convexité du prix par rapport au
yield

• Pour de faibles valeurs de et , le
  développement limité à lordre 1 de la
  sensibilité du prix au yield nous donne
• Par conséquent, une approximation de la
  sensibilité du prix est
• Cette expression nest pas définie en
• Lexpression exacte de la sensibilité dans ce cas
  est
• Le développement limité à lordre 0 de la
  convexité du prix nous donne

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III. Sous lhypothèse dun taux de prépaiement
constant
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Taux de prépaiement constant et ABS pass-through

• Dans le cas dun taux de prépaiement constant
  , vérifie et donc
• ABS pass-through
• Le passif est constitué dune seule tranche de
  dette
• Si désigne le profil
  damortissement théorique de lactif, alors le
  capital restant dû du passif satisfait
  lED
• Transformée de Laplace
• Sous lhypothèse CPR, la WAL sécrit
• Si on dénote par
  la transformée de Laplace de au point
  , alors

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Sensibilités du prix dun ABS pass-through

• On dispose de deux approximations de la
  sensibilité au yield et
  définie dans la section précédente

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ABS avec amortissement séquentiel

• Dans le cas dun ABS ayant plusieurs tranches
  dans son passif, le remboursement du capital peut
  être séquentiel ou au prorata
• Définition Dans le cas dun ABS séquentiel les
  paiements du principal (planifiés ou ou non
  planifiés) sont alloués à la tranche la plus
  senior jusquà son remboursement total avant de
  passer à la tranche suivante.
• Une tranche dun ABS séquentiel est définie par
  un point dattachement A et un point de
  détachement D tel que
• On définit le temps de détachement dune tranche
  (resp. dattachement) linstant
  (resp. ) où le restant dû total
  atteint le point de détachement D (resp. A)
• Quand le taux de prépaiement est faible on a

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Tranche senior dun ABS séquentiel

• Tranche senior
• Lapproximation est plus
  efficace dans le cas des tranches senior que dans
  le cas des ABS pass-through
• maturité plus courte
• Yield plus faible

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Tranche mezzanine dun ABS séquentiel

• Tranche mezzanine
• Quand , on obtient des
  tranches infiniment fines (Infinitely Thin
  Tranches ITT)
• Dans ce cas la tranche mezzanine est assimilable
  à son actif bullet associé et on a
• 
  avec
• Lapproximation de la sensibilité du prix au
  yield par est valide pour des
  épaisseur allant à 20

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Tranche mezzanine dun ABS séquentiel (suite)

• Dans le cas des tranches mezzanines fines (allant
  jusquà 20 d'épaisseur), lapproximation de la
  sensibilité du prix au yield par
  
• est encore plus efficace que lapproximation

A 10, D A 10, 10
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Conclusion
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Conclusion

• Assimilation du prépaiement à un changement de
  mesure
• Formules dapproximation de la sensibilité et de
  la convexité du prix dun actif amortissable
• Formule plus pertinente que lapproximation de la
  sensibilité par la WAL
• Formules universelles qui dépendent uniquement
  des paramètres du marché Prix, yields, WAL
• Mise en évidence de limpact de la dispersion des
  cash-flows sur la sensibilité au spread
• WAL moment dordre 1
• moment dordre 2
• Assimilation des tranches mezzanines à leurs
  actifs bullet associés
• Validité pour tous points dattachement et pour
  des épaisseurs allant à jusquà 20

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Annexe 1 Approximation par la sensi du bullet