Klein

1

• Klein

2
CONQUÊTE ALGÉBRIQUE DES IDÉAUX

• Le mode dobjectivation des éléments à
  linfini na pas déquivalent en géométrie
  analytique
• Projective geometry is a part of
  descriptive geometry, and projective geometry is
  all geometry Arthur Cayley.
• La géométrie cartésienne se devait d'apprivoiser
  ce domaine d'idéalité.
• Comment pouvait-elle s'y prendre?

The last vestiges of dependence on ordinary
geometry were removed in 1871, when Felix Klein
provided an algebraic foundation for projective
geometry in terms of "homogeneous coordinates
Coxeter.-
3
Une alliée le modèle héliocentrique  Lassaut
vers linfini.
(x, y, z) ? (x', y', z')
4
Classe ? des points
(x, y, z) ? (x', y', z')
Classe ? des lignes
(x, y, z) ? (x', y', z')
.
? ? (Z33/?)
5
L'incidence.
Pythagore donne, pour un représentant (x1, x2,
x3) du rayon x et un représentant (X1, X2, X3)
de la normale X (x12 x22 x32) (X12
X22 X32) (X1 - x1)2 (X2 - x2)2 (X3
-x3)2 c'est-à-dire x1X1 x2X2 x3X3 0 ou en
terme de produit scalaire x ? X 0.
Droite par 2 points le produit vectoriel a ?
b.
6
Diffusion des coordonnées Conquête algébrique
des idéaux
7
Brainstorming

• Translation x ? xk
• Dilatation x ? kx
• Transformation linéaire f x ? M x
• (M matrice de rang
  3)
• Chercher la matrice de la courbe de Peano.

8

• Monge

9
Le coup de la transposition formelle!

• La géométrie projective cartésienne est
  définie sur ? ? (Z33/?) par la relation
  d'incidence x ? X 0
• On opère la substitution
• Z3 0, 1, 2 ? K 0, 1, 2, i, 1i, 2i,
  2i, 12i, 22i
• On est propulsé dans un nouvel univers? ?
  (K3/ ?)
• To Steiner, imaginary quantities in geometry
  were ghosts, which made their effect felt in some
  way from a higher world without our being able
  to gain a clear notion of their existence .
  F. Klein

Vengeance des cartésiens !
10
Le réflexe de la représentation
Le plan de Gauss est abaissé au rôle daxe
Représentation incomplète! Il faudrait imaginer
une "bordure extra territoriale pour
représenter les 10 points à linfini.
11
Sous géométrie réelle
12
Comment les droites anciennes se prolongent-elles
dans le domaine imaginaire?
13
Formes imprévisibles
14
Les droites "imaginaires" ne percent la sous
géométrie réelle qu'en un seul point
15
La minorisation des anciens!

• Les éléments euclidiens sont 13 réels moyés dans
  une mer de 91 éléments dont 78 imaginaires.
• Une droite porte désormais 10 points
• Un point porte 10 droites
• Une droite imaginaire porte 9 points imaginaires
  mais ne concède de place quà un seul réel
• Un point imaginaire porte 9 droites imaginaires
  et une seule réelle.
• Une droite réelle est envahie par 6 imaginaires.
• Un point réel est traversé par 6 droites
  imaginaires.
• Etc etc.

16
Nostalgie des représentations polyédriques

• Les géométries dordre 2 et 3 avaient pu être
  représentées par des polyèdres (tétraèdre et
  cube).
• Peut-on imaginer une représentation polyédrique
  pour la géométrie de Monge? Les précédentes
  comportaient 7 et 13 points respectivement.
• La géométrie de Monge en a 91
• Cest-à-dire 7?13 91 !

17
Modèle polyédrique

• Voici une espèce de produit direct des deux
  géométries antérieures

Cest une représentation euclidienne, à la
grecque ! pas de produit scalaire Doù le défi
de créer implicitement la structure projective.
18
Exploitation du polyèdre?
Dividendes à lhorizon?

• Opérer sur ce polyèdre par
• symétrie, réflexion équatoriale, rotations,
• ne s'avère pas très productif
• Considérons plutôt le développement du polyèdre

Est-il possible, d'extraire une collection de
quatre-vingt-onze faisceaux constitués chacun de
10 points satisfaisant l'axiome principal de la
charte projective c'est-à-dire de s'intercepter
mutuellement une seule fois?
19
Première prescription de la charte projective
Intersection en 1 seul point
20
Souvenir des mini-géométries antérieures

• Les dimensions, 7 et 13, du tore rappellent les
  sélecteurs des deux géométries antérieures,
  déterminés par les schémas 0, 1, 3 et 0, 1, 3,
  9 .
• Ce qui nous entraîne dans la prospection
  singulière suivante

21
Exploitation de 0, 1, 3, 9
Horizontalement
Évocation de 0, 1, 3
Obliquement
Seulement 6 points !
22
Symétrisation
On conçoit qu'une symétrie dans le plan
équatorial du polyèdre pourrait être une
colinéation
Nous nen sommes encore quà 8 il en faut 10!
23
Prolongeons la série oblique de 0, 1, 3 à
0, 1, 3, 9
24
captation de ces 10 points à lécran
Miracle ???
25
Incrédule! Test

• La finitude fait qu'une vérification directe est
  possible et suffit
• Ce schéma peut être translaté en 91 positions
• Les 91 faisceaux, dérivés du schéma, ne se
  recouperont quune et une seule fois.
• La charte est réalisée!

26

• Peano

27
Tir à larc.
Translations dans le champ Portée verticale
7 Portée horizontale 13 Larc dUlysse
traverse tous les 91 points!
28
Schéma de génération ordre doccurrence

• ? 0, 1, 3, 9, 27, 49, 56, 61, 77, 81

Transition vers une géométrie du disque
29
Géométrie de la table ronde Hommage à Peano
Relation dincidence dans ??0,91 x X ? ?
où ? est le schéma de sélection ? 0, 1, 3,
9, 27, 49, 56, 61, 77, 81
30
La géométrie du disque est-elle équivalente à
(K3/?) ?

• Comment savoir?
• En jumelant le disque avec une
• courbe de Peano dans (K3/?)

Prochain défi Obtenir une orbite universelle
dans (K3/?)
31

• N.B. Porter la dernière diapo dans S12

32
Orbite universelle dans (K3/?)
On découvre que les droites de (K3/?) suivent le
même schéma générateur