Modles de choix discrets I - PowerPoint PPT Presentation

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Modles de choix discrets I

Description:

si p H J/2 tout le monde adopte. si p H J/2, plus personne n'ach te le produit. mars 2004. denis.phan_at_enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Syst mes Complexes SHS. 12 ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Modles de choix discrets I


1
Modèles de choix discrets (I)
Dynamique des systèmes complexes et applications
aux SHS modèles, concepts méthodes
Denis PHAN Ecole Thématique CNRS d Agay Roches
Rouges 8 - 17 mars 2004 version du 5 mars 2004
update http//www-eco.enst-bretagne.fr/phan/Ag
ayComplexiteSHS/dpdocs/ChoixDiscrets_DP.pdf
2
Lensemble des choix individuels
  • On considère N  agents  ( i 1,2,…,N )
  • Chaque agent  i  a le choix entre plusieurs
    actions possibles (choix  discret )
  • On se limitera pour linstant au choix entre les
    deux branches dune alternative (choix
     binaire  ou  binomial )
  • Lorsque lensemble des choix possibles contient
    plus de deux possibilités on dit que le choix est
     multinomial 
  • Selon le contexte, lensemble de choix sera
    désigné par
  • ? 0, 1 lorsquil sagit dun choix entre
     faire  et  ne pas faire  (par exemple,
    acheter ou ne pas acheter, participer ou pas…)
  • S -1, 1 lorsque le choix porte entre deux
    solutions alternatives du même ordre (choix entre
    deux normes, deux stratégies etc…)
  • Le choix de lagent  i  sera alors désigné par
  • si ? S ou ?i ? ? par exemple ?i 1 pour
     acheter  et ?i 0 pour  ne pas acheter 

3
Le surplus individuel
  • Considérons le cas simple dun marché ou chaque
    agent a le choix entre
  •  acheter  une unité dun bien ?i 1,
  • ou  ne pas acheter  ?i 0.
  • Les économistes désignent sous le nom de
     surplus du consommateur  la différence entre
    ce quun individu est prêt à payer pour acheter
    un bien et ce quil paie effectivement. Pour un
    prix donné p, ce surplus est une fonction du
    choix (?i) du consommateur
  • (1) V(?i) ?i(Hi - p)
  • Si Hi gt p, le surplus est positif si lagent
    achète (?i 1)
  • Si Hi lt p, le surplus est négatif si lagent
    achète (?i 1), nul sinon (?i 0).
  • Si lagent est  rationnel , cest à dire sil
    nachète pas un bien pour lequel ce quil est
    prêt à payer est inférieur au prix proposé, le
    choix de ?i maximise la fonction V(?i)

4
Interdépendance entre les choix des agents
  • Considérons le cas où le choix dun agent dépend
    du choix dautres agents (?k) que lon désignera
    sous le nom générique de voisinage de cet
    agent
  • k ??, lensemble des indices des  voisins  de
    lagent  i .
  • (sans que cela implique nécessairement une
    proximité géographique).
  • Dans le cas le plus simple (dépendance additive
    et linéaire, influence limitée aux choix
    observés), on peut alors réécrire la fonction de
    surplus de la manière suivante (2) V(?i)
    ?i(Hi ?? Jik ?k - p)
  • La  disposition à payer  est alors égale à Hi
    ?? Jik?k
  • Elle peut être décomposée en deux termes.
  • le premier Hi correspond aux préférences
     idiosyncrasiques  de lagent  i  (la
    disposition à payer en labsence
    dinterdépendance).
  • le second terme ??Jik?k correspond à la somme
    cumulée de leffet des choix dans le voisinage de
    lagent. Jik mesure donc leffet  social  du
    choix de lagent k sur les préférences de
    lagent i

5
Interprétation de leffet de dépendance sociale
  • Quelles sont les conséquences du choix dun
    voisin  k  de lagent  i  sur sa disposition
    à payer ?
  • Si le voisin  k  nachète pas (?k 0 ),
    leffet sera nul.
  • Si le voisin  k  achète (?k 1 ), , la
    disposition à payer augmentera de Jik.
  • On notera que les Jik ne sont pas univoques de
    nombreuses interprétations de la  dépendance
    sociale  sont possibles.
  • On considèrera le plus souvent des situations où
    Jikgt 0, mais des situation avec Jik lt 0 ne
    peuvent être à priori exclues.
  • On considèrera également souvent des situations
    où les Jik sont constants dans la période
    considérée, mais ils pourraient varier dans le
    temps Jik(t) ou dépendre dautres variables du
    modèle Jik(X).
  • Des formalisations plus sophistiquées
    relativement aux choix du voisinage peuvent aussi
    être envisagées. En particulier, leffet de
    dépendance peut être une fonction des choix
    anticipés, plutôt que des choix observés.

6
Hétérogénéité  interactionnelle  et
 idiosyncrasique 
  • Nous désignerons par  hétérogénéité
    interactionnelle  (ou  sociale ) la diversité
    des préférences des agents relativement à leffet
    de leur environnement spécifique à court terme.
  • Cette forme dhétérogénéité doit être distinguée
    de  lhétérogénéité idiosyncrasique  qui
    représente les préférences des agents
    indépendamment des effets de dépendance sociale à
    court terme
  • Pour bien comprendre les implications de cette
    différence, considérons une population dagents
    avec des préférences idiosyncrasiques identiques
    Hi H pour tout i
  • Deux agents auront des disposition à payer
    différentes dès lors que leffet cumulé des
    adoptions ( ?k 1 ) dans leur voisinage sera
    différent (multiples causes possibles)

7
Une formulation plus générale
  • On peut donner une formulation plus générale à
    notre fonction de surplus

8
Effets de la dépendance sociale sur les choix
adoption  directe  et  indirecte 
  • Le choix dadopter peut être causé directement
    par une variation des prix à environnement donné,
    ou indirectement par une variation du nombre
    dadopteur dans le voisinage ? ? soit avec des
    anticipations  myopes 

9
complexité de la demande leffet dhystéresis
  • Dans ce qui suit, nous considérerons un cas très
    simple
  • L influence sociale sera supposée positive,
    homogène, symétrique et normalisée sur le
    voisinage
  • Chaque agent est influencé par lensemble de la
    population (ce qui est approximativement
    équivalent au choix moyen pour de grandes
    populations)
  • La population est idiosyncrasiquement homogène
    Hi H pour tout i
  • Entre p H et p H J, il y a deux niveaux
    déquilibre possibles pour la demande ? ? ? et
    ? ? ?.
  • La réalisation dun équilibre particulier dépend
    des anticipations des agents et/ou de
    lhistorique des prix

10
effet dhystéresis et partage du surplus global
  • Pour un niveau de prix, il y a deux niveaux de la
    demande, entre P H et P H J. Il y a
    également deux moyens pour atteindre l équilibre
    haut les anticipations de surplus ex ante de la
    part des consommateurs, une baisse des prix
    jusquau niveau P H pour le vendeur
    (historique)
  • Le partage du surplus dépend du niveau des prix
  • si P H, tout le surplus (soit J) va aux
    consommateurs.
  • En P H J, tout le surplus est approprié
    par le vendeur

11
Anticipations, tarification et dynamique de la
demande
  • Considérons le surplus anticipé
  • En t 0, le produit nest pas présent sur le
    marché.
  • 50 des agents ont des anticipations optimistes
    ?a(0) 1
  • 50 ont des anticipations pessimistes ?a-(0)
    0
  • On étudie le cas où H ?? P ?? HJ
  • Les optimistes ont un surplus anticipé positifs
    et achètent
  • En t 1, les acheteurs observent le taux
    dadoption ?1 1/2
  • On suppose que leurs anticipations deviennent
    myopes (égales à leurs observations) ?a (1) ?1
    1/2
  • si p ? H J/2 tout le monde adopte
  • si p ? H J/2, plus personne nachète le produit

12
Régimes de profit avec distribution bimodale des
préférences
  • Si seuls les agents H2 adoptent  ?(p2) ?
    (p2-c).Q(p2) ?(p2) (H2 J.?2 - c).N.?2 p2
    H2 J.? 2 ? ?2
  • Si tous les agents adoptent  ?(p1) ?
    (p1-c).Q(p1) (H1J-c) N p1 H1 J  ? 1

Profit part tête (? ? ?/N) avec H1 c 0
13
choix entre deux solutions alternatives (1)
  • Considérons la fonction de surplus suivante
  • Hi désigne les préférences idiosyncrasiques de
    lagent, et X une variation de surplus de valeur
    exogène, mais de signe dépendant du choix de
    lagent (par exemple un transfert monétaire en
    (dé)faveur dune alternative)
  • Comme dans le cas précédent, la valeur de H (de
    X) exprime le biais personnel (exogène) de
    lagent en faveur de lune ou lautre des
    alternatives.
  • Si (Hi X) ? ? il y aura un biais en faveur du
    choix si ??
  • Si (Hi X) ? ? il y aura un biais en faveur du
    choix si ??

14
choix entre deux solutions alternatives (2)
  • Désignons par ??i et ??i la proportion des
    voisins de lagent  i  qui choisissent
    respectivement Sk ? ?? et Sk ? ??
  • Linfluence sociale, pondérée par J, mesure le
     degré de conformité  entre le choix de lagent
    et ceux de son voisinage.
  • Cet effet dépendent de la proportion des agents
    qui choisissent chaque branche de lalternative
    (??i et ??i )
  • Remarque on reprouve le modèle de demande
    précédent si on pose

15
complémentarité stratégique, conformité
  • Lorsque les J?i sont positifs, J?i ?J/Ni ? 0,
    on peut montrer quil y a complémentarité
    stratégique entre les choix de deux agents dans
    la mesure ou deux choix similaires (1,1) ou (0,0)
    conduisent à une variation positive de la
    fonction dinteraction S(si,s-i) précisément
    égale à J?i .
  • Elle est aussi vérifiée pour  leffet de
    conformité  de Bernheim (1994)

Qui est équivalent au précédent à une constante
(J/2) près.
16
Liens avec la théorie des jeux
  • Chaque agent (joueur) dispose de deux choix
    alternatifs (deux  stratégies ). On peut
    représenter la part du surplus associée à chaque
    confrontation entre deux voisin par une matrice
    représentant un jeu symétrique sous forme
     normale 
  • Où V0?i ? V0i /N?i H?i ? H i/N?i X?i ?
    X/N?i J?i ? J/N?
  • A droite V0?i 5 H?i ? 2 X ?i ? ?1 J?i
    ? 4
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