DECIMALES Y POTENCIAS

1
DECIMALES Y POTENCIAS
TEMA 2
2
POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL
TEMA 2.3 3º ESO
3
Potencias de exponente natural

• Una potencia an , de BASE a y
  EXPONENTE n , es el producto de n factores
  iguales a la base.
• Así a2 a.a
• Esta potencia se llama también cuadrado.
• Así a3 a.a.a
• Esta potencia se llama también cubo.
• Así a4 a.a.a.a
• Esta potencia se llama también potencia cuarta.
• Así an a.a.a . a
• Esta potencia se llama también potencia enésima.
• El número que se repite, a, se llama base. El
  número de veces que se repite la base se llama
  exponente.

4

• EJEMPLOS
• 3
• 2 2.2.2 4.2 8
• 5
• 3 3.3.3.3.3 9.3.3.3 27.3.3 81.3 243
• 4
• 10 10.10.10.10 100.10.10 1000.10 10000
• 3
• (-2) (-2).(-2).(-2) 4.(-2) - 8
• 4
• (-3) (-3).(-3).(-3).(-3) 9.(-3).(-3)
  (-27).(-3) 81

5
Signo de las potencias

• EJEMPLOS
• 3
• (- 2) (- 2). (- 2).(- 2) 4.(- 2) - 8
• 2
• (- 3) (- 3).(- 3) 9
• Si la base a es positiva ? El resultado siempre
  es POSITIVO
• Si la base a es negativa se cumple
• Base negativa y exponente par ? El resultado es
  POSITIVO
• Base negativa y exponente impar ? El resultado es
  NEGATIVO

6
PROPIEDADES

• 1.- PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
• m n mn
• a . a a
• m n p mnp
• a . a . a a
• El producto de dos o más potencias de igual base
  es otra potencia que tiene como base la misma y
  como exponente la suma de los exponentes.
• EJEMPLO 1
• 3 2 32 5 3 2
• 5 . 5 5 5 ? 5 . 5
  (5.5.5).(5.5) 5

7

• EJEMPLO 2
• 2 2 22 4
• 3 . 3 3 3
• EJEMPLO 3
• 3 2 32 5
  5
• (- 5) . (- 5) (- 5) (- 5) -
  5
• Veamos de otra manera que es así
• 3 2
  5 5
• (- 5) . (- 5) (- 5).(- 5).(- 5).(- 5).(-
  5) (- 5) - 5
• EJEMPLO 4
• 2 2 22 4 4

8
PROPIEDADES

• 2.- DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
• m n m n
• a a a
• m n p m n p
• a a a a
• El cociente de dos o más potencias de igual base
  es otra potencia que tiene como base la misma y
  como exponente la diferencia de los exponentes.
• EJEMPLO 1
• 3 2 3 2 1
• 5 5 5 5 5

9

• EJEMPLO 2
• 2 2 2 2 0
• 3 3 3 3 1
• 2 2
  
• De otra forma 3 3 (3.3) / (3.3) 9
  / 9 1
• EJEMPLO 3
• 4 2 4 2
  2 2
• (- 5) (- 5) (- 5) (- 5)
  5
• De otra forma
• 4 2
  
• (- 5) (- 5) (- 5).(- 5).(- 5).(- 5) / (-
  5)(-5) 635 / 25 25
• EJEMPLO 4

10

• EJEMPLO 5
• 7 4 2 7 4 2 1
• 5 5 5 5 5 5
  
• EJEMPLO 6
• 8 5 8 5 1
  2
• 3 ( 3 3 ) No es 3 3
  9
• Hay que resolver primero el paréntesis
• 8 5 8 5 1 8
  4 8 4 4
• 3 ( 3 3 ) 3 3 3 3
  3 3 81
• Ver la diferencia tan grande entre 9 (Mal) y 81
  (Bien)

11

• EJEMPLO 7
• 8 2 5
• ( 3 3 ) ( 3 3 )
• Hay que resolver primero los paréntesis
• 8 2 5 1 6 4 6 4
  2
• 3 3 3 3 3
  3 9
• EJEMPLO 8
• 7 2 6 3
• ( 3 3 ) . ( 3 3 )
• Hay que resolver primero los paréntesis
• 7 2 6 3 5 3 5 3
  2
• 3 . 3 3 . 3 3
  3 9

12
PROPIEDADES

• 3.- POTENCIA DE UNA POTENCIA
• m p m.p
• (a ) a
• La potencia de una potencia es otra potencia tal
  que la base es la misma y como exponente tiene el
  producto de los exponentes.
• EJEMPLO 1
• 2 3 2.3 6
• (3 ) 3 3
• 3
  6
• De otra forma (9) 9.9.9 (3.3).(3.3).(3.3)
  3

13

• EJEMPLO 2
• 3 2 3.2 6 6
• (-2) (- 2) (- 2) 2
• EJEMPLO 3
• 2 3 2.3 6 6
• (-2) (- 2) (- 2) 2
• EJEMPLO 4
• Expresa como potencia de potencia
• 5 2 5
  5 5 2
• 36 (6 ) y también 36 (6
  )
• EJEMPLO 5
• Expresa como potencia de potencia 6
  2 3

14
PROPIEDADES

• 4.- POTENCIA DE UN PRODUCTO
• n n n
• a . b (a.b)
• n n n n
• (a.b.c) a . b .c
• El producto de potencias de distinta base y del
  mismo exponente es otra potencia de base el
  producto de las bases y de exponente el exponente
  común.
• EJEMPLO 1
• 3 3 3 3
• 2 . 3 (2.3) 6 ? 8. 27 216
  ? 216 216

15

• EJEMPLO 2
• 2 2 2 2 2
• 2 . 3 . 5 (2.3.5) 30
• Comprobamos 4.9.25 30.30 ? 36.25
  900 ? 900 900
• EJEMPLO 3
• 3 3 3 3
• (-2) . (-3) (-2).(-3) 6
• Comprobamos (-8). (-27) 216 , pues
  216 216
• EJEMPLO 4
• 2 2 2 2
  2

16
PROPIEDADES

• 5.- POTENCIA DE UNA DIVISIÓN
• n n n
• a b (a / b)
• La división de potencias de distinta base y del
  mismo exponente es otra potencia de base la
  división de las bases y de exponente el exponente
  común.
• EJEMPLO 1
• 3 3 3 3
• 6 2 (62) 3
• Comprobamos 216 8 27 , pues
  27 27

17

• EJEMPLO 2
• 3 3 3 3
• 174 87 (174 87) 2 8
• EJEMPLO 3
• 4 4 4 4
  4
• (-8) 4 (-8) 4 (-2) 2 16
• EJEMPLO 4
• 2 2 2
  2
• (-60) (-20) (-60) (-20) 3 9

18
PROPIEDADES

• 6.- POTENCIA DE EXPONENTE 0
• Sea a un número entero cualquiera.
• 0
• Convenio a 1
• 3
• a a. a. a 1
• --- --------- ---- 1
• 3 a .a . a 1
• a
• 3
• a 3 3 0
• --- a a 1
• 3
• a

19
PROPIEDADES

• 7.- POTENCIA DE EXPONENTE 1
• Sea a un número entero cualquiera.
• 1
• Convenio a a
• 3
• a a. a. a a
• --- --------- ---- a
• 2 a . a 1
• a
• 3
• a 3 2 1
• --- a a a
• 2
• a