TEMA 5: El problema del flujo con costo mnimo

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TEMA 5 El problema del flujo con costo mínimo
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Definición del problema

• Definición del problema Una red compuesta por n
  nodos, a los que se asocia un valor ki que indica
  el nivel ofertado o demanda por el nodo i.
• Si kigt0, existe una oferta en el nodo i
  denominándose fuente u origen .
• Si kilt0, existe una demanda en el nodo i
  denotándose por sumidero o destino.
• Si ki0, el nodo i denomina intermedio o de
  transbordo.
• A cada arco (i,j) se asociará una variable xijgt
  0 que representa el flujo que circula por él y un
  coste unitario de transporte cij.
• El flujo está limitado por el limite inferior lij
  y el limite superior uij.
• Todos los nodos tienen que cumplir las leyes de
  conservación de Kirchhoff.

kj
xij
j
i
j
cij
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Formulación matemática del problema.
La formulación matemática del problema de flujo
con costo mínimo queda como
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Ejemplo
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Propiedades del problema

• El problema puede reescribirse, en forma
  matricial, como
• Matriz de incidencia, Aaij, aijei-ej
• y ei es el vector unitario i-ésimo.

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Propiedades del problema

• Adicionando todas las filas de la matriz A se
  tiene que para que el problema tenga
  solución, es decir las restricciones deben ser
  combinaciones lineales y por consiguiente, el
  rango de la matriz A es como máximo rango (A)lt
  n-1, donde n define el número de nodos de la red.
• Propiedades importantes
• El rango de la matriz A es n-1
• Las soluciones del problema son siempre enteras
  para valores de ki enteros.

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Propiedades del problema

• El rango de la matriz A es n-1

Tantas columnas como arcos Tantas filas como
nodos
(i,j)
aij es la columna de A que corresponde al arco
que une los nodos i y j
xij
j
i
xij aparece en la ecuación del nodo i con signo
y en la ecuación del nodo j con signo -
Dimensiones de A nodos (n) x arcos
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Ciclos y Dependencia Lineal

• Dos teoremas de gran valor para la definición
  del algoritmo que permitirá resolver el problema
  formulado
• Teorema 1. Un conjunto de columnas de la matriz A
  serán linealmente dependientes si y solo si
  existe un ciclo entre sus nodos.
• Demostración Supongamos un subgrafo del grafo
  original, cuyos nodos unidos por arcos definen un
  ciclo, tal y como se muestra en la siguiente
  figura

Asignando una orientación arbitraria a dicho
ciclo, a los arcos en dicha dirección un
coeficiente 1 y a los arcos orientados en
sentido opuesto un coeficiente -1, se
tiene aijajk - alk alm -
anm (ei-ej)(ej-ek)-(el-ek)(el-em)-(en-e
m)0 por lo que las columnas de A
correspondientes los arcos no son linealmente
independientes. Corolario Las variables básicas
no podrán formar un ciclo y, por tanto, definen
un árbol compuesto por n-1 arcos y n nodos.
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Ciclos y Dependencia Lineal

• Teorema 2. Cualquier arco no básico cuya columna
  es alm puede representarse como combinación
  lineal de las columnas de los n-1 arcos básicos.
  Así, el conjunto definido por las columnas que
  representan los vectores básicos y el no básico
  alm definirán el ciclo.
• Corolario para obtener la representación
  correcta de un arco no básico dado, simplemente
  se localiza el ciclo único en el subgrafo de la
  base que contiene el arco asociado. Definiendo
  una orientación acorde con el arco no básico,
  cualquier arco en el ciclo que posea la misma
  orientación, tendrá asignado un coeficiente de
  -1, mientras que los que presenten sentido
  opuesto tendrán asignado coeficiente 1.

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Ejemplo

• En el grafo donde los arcos continuos son los
  básicos, el arco a45 puede representarse como
• a45a35a13 -a14 (e3-e5)(e1-e3)-(e1-e4)
  e4-e5

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3
2
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Algoritmo simplex para redes

• El algoritmo consiste en partir de una solución
  básica factible y aplicar el criterio de
  optimalidad a todos los arcos no básicos.
• Si los costos relativos de las variables no
  básicas son no negativos, se ha alcanzado el
  óptimo.
• En caso contrario es necesario introducir la
  base el nuevo arco básico con costo relativo más
  negativo y sacar de la base el arco cuya variable
  básica se anule en el proceso de compensación del
  ciclo al que pertenece el nuevo arco básico.

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Algoritmo simplex para redes

• Físicamente, los costos relativos de un arco
  representan el costo unitario adicional en que se
  incurre al enviar un flujo unidad a lo largo de
  otra cadena que une los mismos nodos que el arco
  no básico.
• En la figura, el costo de enviar una unidad de
  flujo desde el nodo 3 al 4 es c34 si se utiliza
  el arco no básico (3,4), o bien
• c13c15c54 si se utiliza la cadena básica.

• El costo relativo r34 será la diferencia entre el
  costo absoluto y el costo sintético, éste último
  es el costo en el que se incurre cuando se hace
  uso de la cadena básica que une los mismos nodos
  que el arco no básico, o sea

r34 c34 (c13c15c54 )
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Algoritmo simplex para redes

• Este proceso de compensación consiste en, una vez
  identificado el nuevo arco básico y el ciclo al
  que pertenece, se asigna al ciclo el sentido del
  nuevo arco básico
• Si envio e por el arco 34, tendré que aumentar el
  flujo en e en el arco 13 y decrementar en e en
  los arcos 15 y 54 -gt todos los arcos en la
  dirección del sentido en el ciclo incrementarán
  su flujo
• Análogamente, los arcos orientados en sentido
  contrario verán decrementados los valores.
• El máximo incremento posible vendrá limitado por
  el mínimo decremento en el ciclo que se denotará
  por e.
• Este mínimo decremento vendrá determinado por el
  valor de la variable básica más pequeña de entre
  los arcos orientados en sentido opuesto al
  definido en el ciclo.
• Esta variable básica, con valor más pequeño, se
  bloqueará alcanzando el valor cero y dejando de
  ser básica.

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Algoritmo simplex para redes

• Para conocer, de entre todos los arcos no
  básicos, aquel arco que entra en la base, se
  aplica el criterio de optimalidad del Simplex,
• que consistirá en calcular todos los costos
  relativos no básicos.
• Considerando como nuevo arco básico aquél con
  costo relativo más negativo.
• Para calcular el costo relativo de un arco no
  básico, se identifica el ciclo formado por el y
  otros arcos que sean básicos
• se le asocia un sentido que coincidirá con la
  orientación del arco no básico.
• El costo relativo de dicho arco vendrá definido
  por la diferencia entre su costo absoluto y la
  suma algebraica de los costos de los arcos
  básicos del ciclo
• multiplicados por 1 si están orientados en
  sentido contrario al ciclo
• multiplicados por -1 si lo esta a favor.
• Para el ciclo de la figura, se tiene

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Ejemplo

• Obtener el flujo máximo con costo mínimo en la
  siguiente red, donde a cada arco se le asocia el
  costo absoluto unitario cij, a cada nodo su nivel
  de oferta/demanda ki y no existen restricciones
  de cota máxima para los flujos que circulan por
  cada arco.
• Una solución básica factible puede obtenerse
  definiendo un árbol tal como
• Donde en cada arco se define el flujo que circula
  y que es factible ya que cumple las leyes de
  Kirchhoff en cada nodo.

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Ejemplo

• Los costos relativos de los arcos no básicos
  serán

• Introduciendo el arco r14 en la base

• Habiéndose alcanzado el óptimo.

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Obtención de una solución básica factible inicial.

• Para la definición del algoritmo Simplex para un
  problema de redes es imprescindible partir de una
  solución básica factible con la que iniciar el
  proceso de iteración. La obtención de esta
  solución básica factible puede realizarse
  haciendo uso de variables de holgura y
  resolviendo la Fase I del sistema de ecuaciones
  así obtenido.
• Para aplicar la Fase I al problema
• Minimizar cx
• s.a. Ax k,
• xgt 0

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Obtención de una solución básica factible inicial.

• se amplía el sistema de ecuaciones de
  restricciones con variables de holgura w dichas
  variables serán positivas en las ecuaciones donde
  k gt O y negativas en las ecuaciones donde k lt O ,
  a fin de obtener una solución básica que sea
  factible para el problema primal. Por
  consiguiente, el problema a resolver será
• Fase I
• Minimizar w
• s.a. Ax w k,
• (x,w) gt 0
• Su optimización definirá una base inicial.

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Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.

• donde a cada arco se le asocia el costo absoluto
  unitario cij, a cada nodo su nivel de
  oferta/demanda ki y no existen restricciones de
  cota máxima para los flujos que circulan por cada
  arco.

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Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.

• la matriz de incidencia nodo-arco es

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Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.

• Para la obtención de una solución básica
  factible, se resuelve el problema en la Fase I

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Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.

• La tabla de simplex es

x (-1)
23
Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.

• La tabla de simplex es

24
Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.

• Aplicando Simplex se tiene

25
Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.

• Aplicando Simplex se tiene

26
Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.

• Aplicando Simplex se tiene

27
Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.

• Aplicando Simplex se tiene

Se ha alcanzado el final de la fase I y la
solución básica factible es x123 x131 x245
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Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.
k22
2
5
3
k4-5
k14
4
1
1
3
k3-1
Aplicando el criterio de optimalidad
r23c23-(c13-c12) -1-(-5-2)7 r32c32-(c12-c13)
6-(25)-1 r34c34-(-c13c12c24)3-(--524)-8
Introduciendo x34 en la base, se tiene
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Ejemplo Obtener el flujo máximo con costo mínimo
en la red.
Introduciendo x34 en la base, se tiene
k22
2
5-32
k4-5
k14
1
4
Aplicando el criterio de optimalidad
r12c12-(c13c34-c24) 2-(-53-4)8 r23c23-(c24
-c34)-1-(4-3)-2 r32c32-(c34-c24)6-(3-4)7
3
134
3
k3-1
k22
2
Introduciendo x23 en la base, se
tiene r12c12-(c13-c23) 2-(-51)6 r24c24-(c23
c34)-1-(-13)2 r32c32-(-c23)6-(1)5
5-32
k4-5
k14
4
1
3
134
3
k3-1
Todos positivos ? Óptimo