Taller Capacitacin a docentes UAI

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Taller Capacitación a docentes - UAI
Fractales Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos
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Primera Parte Aspectos Teóricos de la Geometría
Fractal Definición de Fractal Autosimilitud D
imensión Fractal Diferentes Tipos de
Fractales
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Qué es un Fractal?

• Son objetos geométricos que poseen dos
  características fundamentales
• Autosimilitud
• Dimensión Fraccionaria

Cuántos tipos de Fractales existen?
Los objetos Fractales se pueden clasificar de la
siguiente manera
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Autosimilitud
1) Perfecta Cada porción de un objeto tiene
exactamente las mismas características del objeto
compelto.
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Autosimilitud
2) Estadística cada región de un objeto
conserva, de manera estadísticamente similar, sus
características globales.
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Cómo se genera un Fractal?
Paso 1, se elige una imagen generadora (puede ser
cualquiera, desde una recta hasta la cara de
Mickey Mouse). Paso 2, se elige un algoritmo de
transformación de la imagen generadora. Paso 3,
se itera el algoritmo infinitas veces, o con un
límite determinado como variable en un
software. Ejemplos
Curva de Von Koch Curva de
Peano
Modelo Neuronal
Los Fractales complejos se generan con la misma
lógica, solo que en lugar de iterar una imagen,
se itera una ecuación en el plano de los números
complejos. Por ejemplo, el Conjunto de
Mandelbrot se genera mediante la iteración de
Zn1 Zn2 C Los Fractales Caóticos, son los
elementos geométricos de la Teoría del Cáos. Se
los denomina Atractores. Se generan a través de
mediciones provenientes del mundo real, como
Ecuaciones Direnciales o Series de tiempo.
Cuando uno modela un sistema natural caótico,
tiene como finalidad encontrar un Atractor.
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Definición informal de Geometría Fractal
La Geometría Fractal, llamada también "Geometría
de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras
irregulares y complejas descriptas a través de
algoritmos matemáticos ycomputacionales los
cuales reemplazan a los puntos, rectas,
circunferencias y demás figuras provenientes de
la matemática tradicional. Estos objetos tienen
como características fundamental las propiedades
de Autosimilitud y la de convivir en extraños
paisajes formados por dimensiones fraccionarias.
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Diferentes Tipos de Fractales
Son los objetos geométricosde la Teoría del Caos
Fractales
Complejos
Lineales
Caóticos
Poseen estructura Fractal.Autosimilitud
Estadística
Autosimilitud Perfecta
Autosimilitud Estadística
Dimensión Fractal difícil de calcular. Se
requiere software. Método Box Couting
Dimensión Fractal fácil decalcular con S LD
Se requieren métodos de medición más complejos
que la Dimensión Fractal.
Se crean a partir de-Un generador -Un
algoritmo de repetición
Se crean a partir de-Un Z0 -Iteraciones en el
Plano Complejo
Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones
Diferenciales
Ejemplo Atractor de LorentzModela el Clima
Meteorológico
Ejemplo Triángulo de Cantor y Triágulo de
Sierpinski
Ejemplo Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia
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Fractales Caóticos - Atractores Extraños
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Segunda Parte Sistemas Dinámicos Teoría del
Caos Arte
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Concepto de Dinámica La dinámica de
cualquier situación se refiere a como el estado
de la mencionada situación planteada, evoluciona
a lo largo del tiempo. Definición de
Sistema Grupo interrelacionado de elementos
independientes que forman un todo más complejo
y persigue un determinado fin. Por ejemplo, el
cuerpo humano o una red de computadores. Definic
ión Informal de Sistemas Dinámicos Llamamos
Sistemas Dinámicos a aquellos que, mediante una
regla, pueden serdefinidos por un conjunto de
variables cuyos valores cambian a lo largo del
tiempo. - Dichas variables se denominan
variables de estado - Ellas determinan el
estado del sistema en un momento dado - Ellas
trazan una trayectoria determinando el espacio
de estado Nota No confundir la evolución en
el tiempo de las variables de una ecuación con la
evolución de los parámetros de la misma.
Conceptos básicos
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Caos de todos los días
Por un clavo se perdió una herradura, Por la
herradura se perdió el caballo, Por el caballo se
perdió al jinete, Por el jinete ser perdió la
batalla, Por la batalla se perdió el reino
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----------------------------------- Efecto
Mariposa Este concepto hace referencia a la
sensibilidad de un sistemas a las condiciones
iniciales El aleteo de
una mariposa en Tokio
puede generar un torbellino en
el Caribe
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Caos de todos los días
Al repetir este experimento en reiteradas
ocasiones, por másque las condiciones iniciales
seanprácticamente las mismas, los resultadosson
significativamente diferentes. Cambios
minúsculos conducen a resultados totalmente
divergentes
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Caos en la Naturaleza
Dualidad entre Orden y Caos.Ejemplos Solitones

Turbulencias
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Leyes del Caos
Leyes Informales del Caos Todo sistema
presenta una dualidad Orden Caos Todo sistema
presuntamente Ordenado tiende al Caos. Todo
sistema Caótico presenta islas de Orden
intrínsecas Ej Cuerpo Humano Corazón
Cerebro
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Taller de Fractales y Sistemas Dinámicos - UAI
Fractales Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos
Juan Pablo Braña juan.brana_at_gmail.com Marisa
Rollieri marisa.rollieri_at_vaneduc.edu.ar