La Regla de la Cadena

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La Regla de la Cadena
Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers Para el
curso de cálculo Multivariable de Marcos Sandoval
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Introducción
Recordemos que la regla de la cadena para una
función y f(x) y x g(t,), ambas funciones
derivble, entonces y es una función derivable con
respecto a t y se cumple
Para funciones de varias variables, la regla de
la cadena tiene varias versiones
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Caso 1

• Supongamos que z f(x,y) es una función
  diferenciable de x y de y, donde xg(t) y yh(t)
  son funciones derivables de t entonces z es una
  función derivable de t y se cumple que

Veamos esta fórmula de manegra gráfica
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Caso 1
Z f (x,y)
x
y

t
t
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Ejemplo

• Si
  representa la temperatura en el punto (x,y) y
  
• Son las ecuaciones paramétricas de una curva C ,
  calcule la razón de cambio de la temperatura T a
  lo largo de la curva

x
t

T
y
t
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Ejemplo
Si queremos saber cual es la razón de cambio de T
cuando t 0, entonces
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Caso 1 ( General)

• Suponga que z es una función derivable de las n
  variables x1 , x2 , x3 ,, xn , en donde cada xj
  es una función de t. Por consiguiente z es una
  función derivable de t y se cumple

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Caso 2

• Supongamos que z f(x,y) es una función
  derivable de x y de y, donde x g(s,t), y
  h(s,t) y las derivadas parciales de g y h
  existen . Entonces

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Caso 2
Z f (x,y)
x
y
t
s
t
s


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• Supongamos que w f(x,y,z) es una función
  derivable de x, y de z, donde x g(s,t), y
  h(s,t), z k(s,t) y las derivadas parciales de
  g, h, k existen . Entonces

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wf (x,y,z)
y
z
x
t
s
t
s
t
s
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Ejemplo

• Demuesrtre que

Z f (x,y)
x
y
?
r
?
r
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ejemplo
14
ejemplo
15
ejemplo
Por lo tanto
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Segunda derivada

• La segunda derivada de una función es análoga a
  la primera, es decir, depende de las mismas
  variables que depende la función original.
• Por ejemplo, supongamos que z f(x,y) es una
  función derivable de x y de y, donde x g(s,t),
  yh(s,t). Entonces la función derivada fx(x,y)
  también depende de x y de y, y además x,y
  dependen de s y t ( esto también se cumple para
  fy(x,y)).
• Veamos el siguiente ejemplo

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Ejemplo
Muestre que cualquier función de la forma
Donde a es una constante, cumple con la ecuación
Solución
Sea u x at, v x at, entonces
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Calculemos ahora
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?
20
Ejemplo
Demuestre que
Del ejemplo anterior, tenemos que
21
ejemplo
22
ejemplo
Por otra parte,
23
ejemplo
24
ejemplo
Simplificando resulta,
Así,
COMPRUEBELO!!
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Ecuación de Laplace

• DefiniciónSea f una función, fIRn?IR,
  diferenciable, se define el Laplaciano de f
• Y se denomina la ecuación de Laplace a

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Ejemplo
Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de
laplace, esto es,
Demuestre que la función z f(x 2y, 2x y),
también satisface la ecuación de laplace.
Demostración
Lo que queremos probar es que
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Sea u x- 2y, v 2x y, entonces
Z f (u,v)
u
v
y
x
y
x
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(No Transcript)
29
(No Transcript)
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Entonces,
Ecuación de Laplace para f
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Derivación Implícita

• Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y)
  0 define a y de manera implícita como una función
  de x, esto es y f(x), para todo x en el dominio
  de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular
  dy/dx. En efecto
• Tenemos la ecuación

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• Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z)
  0 define a z de manera implícita como una
  función de x y de y, entonces si F es
  diferenciable podemos calcular ? z/? x, ?z/? y

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• Supongamos que queremos calcular ? z/? x

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• Ejercicio Supongamos que una ecuación de la
  forma F(x,y,z) 0 define a z de manera implícita
  como una función de x y de y. Demuestre que

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Ejemplo

• Supongamos que una ecuación de la forma F(xy,z/y)
  0 define a z de manera implícita como una
  función de x y de y.Calcular ? z/? x.
• Solución
• Sea uxy, v z/y