Diapositiva 1

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EDDP
ECUACIONES DIFERENCIALES
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas
Parciales Método de Transformada de Laplace
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Reglas de transformación
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Reglas de transformación
ECUACIONES DIFERENCIALES
Regla de Leibnitz
Transformada
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Problema 5
ECUACIONES DIFERENCIALES
La ecuación representa la
difusión en un medio semi-infinito, con x ? 0.
Si en x 0 la concentración de la sustancia que
difunde es c0 y en el instante inicial la
concentración es nula, encontrar una solución
para la ecuación de difusión aplicando el método
de la transformada de Laplace.
Modelo Matemático
Condiciones iniciales
Condiciones de frontera
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Problema 5
ECUACIONES DIFERENCIALES
Transformando
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Problema 5
ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución Homogénea
Transformación de las Condiciones de Borde
(i)
(ii)
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Problema 5
ECUACIONES DIFERENCIALES
Aplicando la Condición de Borde (ii) La
constante B(s) debe ser cero B(s) 0
Aplicando la Condición de Borde (i)
Entonces la solución es
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Problema 5
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Problema 5
ECUACIONES DIFERENCIALES
Función Error erf(x)
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Problema 5
ECUACIONES DIFERENCIALES
Función Error Complementaria erfc(x)
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Una cuerda semiinfinita se encuentra inicialmente
en reposo coincidiendo con el semieje positivo de
las x. Sobre la cuerda se mueve una fuerza
transversal concentrada de magnitud F0, que la
recorre con rapidez constante v, empezando en el
punto x 0 en el instante t 0. Hallar el
desplazamiento y(x,t) de la cuerda en un punto e
instante cualquiera. Graficar la solución para un
instante t fijo y (a) , (b) ,
(c)
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Condiciones iniciales
Condiciones de frontera
La posición donde actúa F es x v t ? t x / v
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Transformando
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución Homogénea
Solución Particular
Caso 1 v ? a
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Reemplazando en la ecuación diferencial en (x,s)
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Caso 2 v a
Reemplazando en la ecuación diferencial en (x,s)
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Para que se cumpla

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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
a)
t 1
c)
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
b)
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
a velocidad de propagación de la onda. v
velocidad de desplazamiento de la F0 (pesa o
polea).
Posición de la onda Supongamos que a 4,
entonces para t1 x a t 4. Posición de la
fuerza v (3/4)a 3 ? x v t 3
A
B
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
A
B
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Para x lt 3, ambos funciones de Heaviside toman
valor uno (ver gráficos A y B), por lo que
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Para x gt 3, la función de Heaviside A se anula,
quedando solo la función B (ver gráficos A y B),
por lo que
0
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
a velocidad de propagación de la onda. v
velocidad de desplazamiento de la F0 (pesa o
polea).
Posición de la onda Supongamos que a 4,
entonces para t1 x a t 4. Posición de la
fuerza v (5/4)a 5 ? x v t 5
A
B
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
A
B
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Para x lt 4, ambos funciones de Heaviside toman
valor uno (ver gráficos A y B), por lo que
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Para x gt 4, la función de Heaviside B se anula,
quedando solo la función A (ver gráficos A y B),
por lo que
0
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Problema 6
ECUACIONES DIFERENCIALES