Sistemas de Decisin Empresarial con Excel' Daniel Villalba y Yolanda Bueno'

1

• Capítulo 9.
• Modelización de problemas de programación entera
  y mixta (I).

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Modelización de problemas de programación entera
y mixta

• Debe tenerse en cuenta
• Las dificultades de cálculo en el ordenador
  dependen más del número de variables enteras que
  del número de restricciones.
• El ajuste del espacio factible entero al continuo
  supone un incremento del número de restricciones
  del problema.

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Problemas de carga fija

• Existe un coste de puesta en marcha importante.
  Ejemplo Generador térmico, altos hornos, etc.
• El planteamiento general sería

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Problemas de carga fija

• El planteamiento general de este tipo de
  problemas mediante P.E.M. sería el siguiente
• sujeto a
• donde
• kj es el coste fijo de la actividad j.
• cj es el coste variable por unidad de actividad j
• xj indica el nivel de actividad
• yj es una variable binaria que toma valor 1 si
  existe actividad y valor 0 si no hay actividad

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Problemas de carga fija

• EJEMPLO 9.1.
• ZZ es una compañía que tiene excelentes diseños
  para tres tipos de prendas camisas, pantalones
  cortos y pantalones largos con los que compite
  con las grandes compañías del sector. Pero, para
  hacerlo, debe contratar con un taller de
  confección en el que le cobran una cantidad fija
  según el tipo de prenda que tienen que ver con la
  maquinaria utilizada y lo complicado de
  prepararla para confeccionar cada tipo de prenda.
  Además del coste fijo, tiene un coste variable
  para cada prenda confeccionada. En concreto, los
  costes fijos y variables de confeccionar cada
  tipo de prenda son los siguientes
• Todas las prendas utilizan el mismo tipo de tela
  de la que ZZ dispone solo de 160 metros
  cuadrados. El número de horas disponibles en el
  taller también es limitado 150 horas semanales.
  Del departamento de diseño y marketing, sabemos
  los precios unitarios a los que se pueden vender
  las prendas y las horas y metros cuadrados de
  tela necesarios para cada prenda. Estos son

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Problemas de carga fija

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• xj Cantidad de prendas j producidas, donde j
  1 Camisas, 2 Pantalones cortos, 3 Pantalones
  largos
• yj Variable binaria que toma valor 1 si se
  produce la prenda j o 0 si no se produce la
  prenda.
• Función Objetivo

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Problemas de carga fija

• Restricciones
• Requisitos de producción
• donde representan el número máximo de
  prendas
• a confecciona dada la limitación de la tela y
  horas disponibles
• Limitación de horas
• Limitación de tela
• Restricciones de no negatividad e integralidad

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Problemas de carga fija
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Lote de producción BATCH SIZE

• Se trata de problemas en los que, o bien se puede
  producir una determinada cantidad, o no es
  conveniente producir nada.
• Variables semicontinuas toman valor cero o mayor
  que una determinada cantidad.
• Supongamos que
• Lsj es el lote máximo que puede fabricarse del
  producto j
• Lij es el lote mínimo que puede fabricarse del
  producto j
• Las siguientes restricciones permiten imponer la
  semicontinuidad

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Lote de producción BATCH SIZE

• También es posible modelizar un lote que deba ser
  nulo o tomar valores discretos, como por ejemplo
  1.000, 2.000 o 3.000 unidades.
• Supongamos que
• n es el número de productos
• q son los distintos tamaños de lote (además del
  lote nulo)
• Podría modelizarse

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Lote de producción BATCH SIZE (Ejemplo)

• EJEMPLO 9.2.
• Dos compañías A y B productoras de piensos
  compuestos, ofrecen sus productos a tres
  granjas avícolas (1, 2, 3) que pertenecen
  a Granjeros de Gallinas Gordas, S.A.
  (GGGSA). La tabla adjunta describe la demanda de
  piensos de cada granja, la capacidad máxima de
  suministro de cada compañía, así como los precios
  ofrecidos por cada compañía a cada granja

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Lote de producción BATCH SIZE (Ejemplo)

• La sociedad GGGSA desea minimizar los costes de
  adquisición de piensos compuestos para el
  conjunto de sus granjas avícolas.
• Para la compañía A el pedido mínimo aceptable es
  de 40 Kgs.
• La Compañía B ha especificado que el pedido de
  las granjas debe ser múltiplo de 60 Kgs.

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Lote de producción BATCH SIZE (Ejemplo)

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• xij Nos indica los kilos de pienso comprados por
  la granja i a la compañía j.
• yiA Variable binaria que toma valor 1 si la
  granja i acepta el pedido mínimo de la compañía A
  y 0 en caso contrario.
• yiBk Nos indica si la granja i acepta el pedido
  de un lote k a la compañía B.
• donde i 1 Granja 1, 2 Granja 2 y 3
  Granja 3
• j A La compañía de piensos A, B La
  compañía de piensos B
• k Lote 1 El lote de 60 Kgs, Lote 2 El
  lote 120 Kgs, Lote 3 El lote de 180 Kgs, Lote 4
  El lote de 240 Kgs, Lote 5 El lote de 300 Kgs
  y Lote 6 El lote de 360 Kgs

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Lote de producción BATCH SIZE (Ejemplo)

• Función Objetivo
• Restricciones
• Oferta máxima disponible
• Demanda mínima necesaria

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Lote de producción BATCH SIZE (Ejemplo)

• Pedido de cada granja a la compañía A
• Pedido de cada granja a la compañía B

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Lote de producción BATCH SIZE (Ejemplo)

• Lote de pedidos
• Restricciones de no negatividad e integralidad

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Lote de producción BATCH SIZE (Ejemplo)
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Lote de producción BATCH SIZE (Ejemplo)
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Problemas de selección de inversión y localización

• Una de las situaciones más típicas en las que
  deben tomarse decisiones de tipo sí o no es la
  de selección de inversiones.
• El agente decisor debe escoger algunos proyectos
  dentro de una lista de posibles inversiones.
  Además cada uno de los proyectos de inversión
  deben hacerse en su totalidad o no hacerse pero,
  en ningún caso, pueden hacerse en parte.
• Para llevar a cabo el proceso de decisión, debe
  tener en cuenta los fondos de que dispone, las
  necesidades de liquidez que van a surgir en el
  futuro y la existencia de inversiones
  condicionadas entre sí.

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Problemas de selección de inversiones indivisibles

• EJEMPLO 9.3.
• Se pretende elegir entre una serie de proyectos.
  De los proyectos 1, 2 y 3, se tiene que elegir
  uno de ellos, y también uno de entre los
  proyectos 4, 5 y 6. Mientras que se tendrá que
  elegir un proyecto de 7 y 8. Por otra parte, el
  número de empleados no excederá de 100, y los
  flujos de caja máximos disponibles se especifican
  en la tabla para cada periodo.

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Problemas de selección de inversiones indivisibles

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• yi Variable binaria que indica la aceptación
  del proyecto de inversión i si vale 1 o rechazo
  del proyecto si vale 0.
• Función Objetivo
• Restricciones
• Máximo número de empleados

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Problemas de selección de inversiones indivisibles

• Disponibilidades monetarias
• Seleccionar un proyecto de cada tipo
• Restricciones de integralidad

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Problemas de selección de inversiones indivisibles
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Problemas de selección de inversiones
indivisibles Modelo de inversión con
restricciones lógicas

• EJEMPLO 9.4.
• En la tabla se resumen las características de un
  conjunto de proyectos de inversión, cada uno de
  los cuales puede abordarse en dos fechas, el año
  0 y el año 1. A cada combinación de proyecto y
  fecha de comienzo le corresponde una proyección
  del flujo de caja para un período de cuatro años,
  a partir de la fecha de comienzo de la inversión.
  Estos flujos permiten calcular el valor
  actualizado neto (VAN) de cada proyecto, que se
  obtiene descontando al año 0 los flujos de caja a
  una tasa del 15 por 100.

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Problemas de selección de inversiones
indivisibles Modelo de inversión con
restricciones lógicas

• Además, se establecen las siguientes relaciones
  de dependencia, indivisibilidad y reinversión de
  fondos
• Los proyectos 2 y 3 dependen del proyecto 1, de
  forma que no pueden realizarse si éste no se
  selecciona.
• Los proyectos 4 y 5 son independientes.
• Todos los proyectos son indivisibles y sólo
  pueden seleccionarse una vez.
• Las disponibilidades generadas por una inversión
  durante su primer año, pueden aplicarse a las
  inversiones realizadas en dicho año, si las hay.
• La caja sobrante después de atender a las
  alternativas de inversión se acumula a las
  disponibilidades del periodo siguiente,
  produciendo un interés del 10 por 100.
• Se desea determinar cuáles son las inversiones
  que proporcionan el máximo valor actual neto,
  teniendo en cuenta que en el año 0 se dispone de
  6.000 unidades monetarias y en el año 1 de 5.000
  unidades monetarias.

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Problemas de selección de inversiones
indivisibles Modelo de inversión con
restricciones lógicas

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• ypt variable binaria que toma valor 1 si se
  selecciona el proyecto p en la fecha de comienzo
  t y 0 en caso contrario.
• Ct Sobrante de caja del período t.
• Función Objetivo

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Problemas de selección de inversiones
indivisibles Modelo de inversión con
restricciones lógicas

• Restricciones
• Cada inversión sólo se selecciona una vez
• Dependencia entre inversiones

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Problemas de selección de inversiones
indivisibles Modelo de inversión con
restricciones lógicas

• Restricción de caja
• Año 0)
• Año 1)
• Restricciones de negatividad e integralidad

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Problemas de selección de inversiones
indivisibles Modelo de inversión con
restricciones lógicas
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Problemas de localización y dimensionamiento

• A veces es posible instalar un número variable de
  plantas, o bien éstas pueden dimensionarse de
  forma distinta, con estructuras de coste
  diferentes en cada caso. En esta situación,
  existen dos formas de determinar cuál es la
  política óptima. La primera consiste en formular
  tantos problemas de transporte como combinaciones
  puedan establecerse entre las distintas
  alternativas de localización. Obviamente, esto no
  es adecuado si se consideran más que unas pocas
  posibilidades. La segunda consiste en evaluar
  simultáneamente todas las alternativas aplicando
  técnicas de programación mixta.
• La localización óptima de plantas o almacenes es
  una de las aplicaciones clásicas de la P.E. y
  P.E.M. También resulta frecuente que, además de
  decidir dónde deben situarse las plantas o
  almacenes, se quiera determinar cuál es la
  dimensión óptima de los mismos, teniendo en
  cuenta un conjunto de estimaciones de costes,
  proyecciones de demanda, objetivos estratégicos
  de la empresa, etc. Este planteamiento general da
  lugar a algunas de las aplicaciones más
  interesantes y complejas de la P.E.M.

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Problemas de localización y dimensionamiento

• El planteamiento general sería

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Problemas de localización y dimensionamiento

• donde
• xij Cantidad que se transporta desde la fábrica
  i a la zona de demanda j.
• yi Variable binaria que toma valor 1 si se
  amplía la fábrica i y 0 en caso contrario.
• cij coste de producir una unidad en la fábrica
  i y transportarlo a la zona de demanda j.
• xij cantidad transportada de la fábrica i a la
  zona de demanda j.
• yi variable binaria que toma valor 1 si se
  instala la fábrica y valor 0 si no se instala.
• fi coste fijo de instalar la fábrica i
• Dj demanda de la zona j.
• hi capacidad máxima de la planta i
• gi capacidad mínima de la planta i.

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Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento.

• EJEMPLO 9.5.
• Sea una empresa que decide servir seis zonas
  comerciales con un máximo de 4 fábricas. Las
  zonas comerciales y sus demandas (en unidades de
  producto/año) son las correspondientes a la
  tabla.
• La empresa tiene dos fábricas en funcionamiento,
  una de ellas está en Barcelona y tiene una
  capacidad productiva de 500 unidades/año, la otra
  está en Madrid y su capacidad es de 700
  unidades/año. Las alternativas de inversión que
  se plantean son ampliar las plantas existentes o
  bien construir nuevas plantas en Bilbao y/o
  Valencia. Los costes variables de suministro cij,
  que comprenden costes de producción, de
  transporte y distribución en la zona de demanda,
  vienen indicados en la tabla.
• Además, los coses anualizados de cada proyecto
  de inversión, así como los correspondientes
  niveles de capacidad son los expuestos en la
  tabla.

34
Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento.
35
Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento.

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• xij Cantidad transportada de producto desde la
  fábrica i a la zona de demanda j.
• yi Variable binaria que toma el valor 1 si se
  instala la fábrica i, o 0 en caso contrario.
• Función Objetivo

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Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento.

• Restricciones
• Satisfacción de la demanda
• Capacidad máxima

37
Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento.

• No negatividad e integralidad

38
Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento.
39
Problema de localización y dimensionamiento de
plantas y de almacenes

• El problema de localización puede plantearse
  mediante una formulación de transbordo. Sin
  embargo, cuando debemos decidir también el tamaño
  y/o ubicación de almacenes, entonces precisamos
  utilizar P.E.M.

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Problema de localización y dimensionamiento de
plantas y de almacenes

• El planteamiento general sería
• sujeto a
• Satisfacción de la demanda de la zona
• Capacidad máxima de producción en la fabrica

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Problema de localización y dimensionamiento de
plantas y de almacenes

• Capacidad máxima en caso de apertura
• Capacidad mínima en caso de apertura
• Condición de equilibrio en los almacenes
• Restricciones de no negatividad e integralidad

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Problema de localización y dimensionamiento de
plantas y de almacenes

• donde
• ci Costes variables de producción,
  almacenamiento y transporte desde los puntos de
  producción y almacenamiento y costes fijos
  inherentes a las instalaciones
• xij Cantidades producidas y almacenadas
• xik Cantidades producidas y trasportadas a las
  zonas de demanda
• xjk Cantidades producidas, almacenadas y
  transportadas desde los puntos de producción y
  almacenamiento a las zonas de demanda
• yj Variable binaria que toma valor 1 si se
  instala el almacén j y valor 0 si no se instala
• fj Coste fijo de instalar el almacén j
• Dk Demanda de la zona k.
• hj Capacidad máxima del almacén j
• gj Capacidad mínima del almacén j.
• Capi Capacidad máxima de la fábrica i

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Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento de plantas y de almacenes

• EJEMPLO 9.6.
• Supongamos que en el ejemplo anterior se
  considera la posibilidad de alquilar depósitos en
  Valencia y Bilbao en vez de construir nuevas
  fábricas. Supondremos que las demandas son las
  mismas que antes y consideraremos los costes
  variables que podemos ver en la tabla.
• Las capacidades y costes fijos asociados a cada
  proyecto de inversión en capacidad de producción
  o de alquiler de almacenes son los expuestos en
  la tabla.

44
Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento de plantas y de almacenes
45
Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento de plantas y de almacenes

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• xij Cantidad transportada de producto desde el
  origen i al almacén j.
• xkj Cantidad transportada de producto desde el
  almacén j al destino k.
• xik Cantidad transportada de producto desde el
  origen i al destino k.
• yi Variable binaria que toma el valor 1 si se
  aumenta la capacidad de la planta de origen i, y
  0 en caso contrario.
• yj Variable binaria que toma el valor 1 si se
  aumenta la capacidad del depósito j, y 0 en caso
  contrario.

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Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento de plantas y de almacenes

• Función Objetivo
• Restricciones
• Satisfacción de la demanda

47
Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento de plantas y de almacenes

• Capacidad máxima de las fábricas
• Capacidad máxima de los depósitos
• Equilibrio en los depósitos
• No negatividad e integralidad

48
Optimización de un problema de localización y
dimensionamiento de plantas y de almacenes