4' Fonones: Vibraciones Cristalinas - PowerPoint PPT Presentation

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4' Fonones: Vibraciones Cristalinas

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Problema se vuelva 1D: para cada k (vector de onda) hay 3 modos de vibraci n: ... 3N oscilaciones lineales independientes( modos) con energia. E=(n(w) 1/2) hw ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: 4' Fonones: Vibraciones Cristalinas


1
4. Fonones Vibraciones Cristalinas
  • Bibliografía Kittel, cap. 4.

2
VIBRACION ELASTICA EN MEDIOS CONTINUOS
Ecuacion de Onda para ondas elasticas medio
lineal homogeneo, Ey modulo de elasticidad, ?
densidad del medio Solucion de la forma, ondas
viajeras
3
Desplazamiento Atómico en una red
  • Las posiciones de los átomos en una red de
    Bravais están dadas por
  • Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por
    celda y supondremos un sistema de coordenadas
    ortogonal.
  • Por conveniencia, ni(hi,ki,li) denota al átomo
    I-ésimo que tiene posición R.
  • El desplazamiento del átomo i se puede escribir
    como

4
Desplazamiento Atómico
  • Cuando onda plana se propaga por el cristal, los
    planos atómicos se mueven en fase paralelos o
    transversales a la dirección de propagación.
  • Problema se vuelva 1D para cada k (vector de
    onda) hay 3 modos de vibración
  • 1 de polarización longitudinal
  • 2 de polarizaciones transversales

5
Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos
  • La energía del cristal cambia si los átomos son
    desplazados res
  • pecto de sus posiciones de equilibrio
  • El cambio de energía puede escribirse en función
    de la posición de todos los átomos
    EE(R1,R2,R3,... RN)
  • El orden más bajo de los desplazamientos es
    cuadrático ley de Hooke (límite armónico).
  • (No hay términos lineales si se expande en torno
    a las posiciones de equilibrio.)

6
Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos
  • La expresión general para la fuerza sobre el
    átomo s es
  • De la expresión armónica se puede expresar la
    fuerza como
  • Cs constantes de fuerza - razón entre la fuerza
    sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j
    (es generalización de la constante de fuerza de
    un resorte).

7
Cadena Lineal monoatomica
  • Consideremos una línea de átomos.
  • Entonces, la fuerza sobre atomo s es
  • Considerando sólo las interacciones con primeros
    vecinos mas cercanos

8
Oscilaciones de una Cadena Lineal
  • Ley de Newton (ecuación de movimiento)
  • Dependencia temporal
  • luego aparece una ecuación de diferencias en los
    desplazamientos

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Oscilaciones de una Cadena Lineal
  • Solucion de la forma

10
Oscilaciones de una Cadena Lineal
  • Una forma más conveniente es
  • Finalmente

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Oscilaciones de una Cadena Lineal
  • La solución para cada oscilador con vector de
    onda k y frecuencia
  • Relación de ?k en función de k se llama relación
    de dispersión.

Aproximación en el continuo kltlt1/a (i.e. ?gtgta)
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Primera Zona de Brillouin
k
  • La solución de ?k sobre el espacio recíproco es
    periódica.
  • Toda la información está en la primera zona de
    Brillouin.
  • La pendiente de ?k es 0 en los bordes de la ZB G
    ??/a
  • El resto se repite con periodicidad 2?/a, i.e. ?k
    ?kG !
  • (G es cualquier vector de la red recíproca G
    n(2?/a)

13
Primera Zona de Brillouin
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Significado de la Periodicidad en el Espacio
Recíproco
Punto B, onda propagandose derecha Punto A, onda
propagandose izquierda
  • El movimiento atómico con el vector de onda k es
    idéntico al de kG.
  • Todas las vibraciones independientes se pueden
    describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin
    (1ZB)

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Significado de la Periodicidad en el Espacio
Recíproco
  • La 1ZB es el rango físicamente significativo para
    las ondas elásticas.
  • El cuociente de desplazamiento de 2 planos
    sucesivos es
  • El rango (-?,?) para la fase ka cubre todos los
    valores independientes

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Significado de la Periodicidad en el Espacio
Recíproco
  • La onda us u exp(iksa-i?t) es una onda plana.
  • La velocidad del paquete de ondas (velocidad de
    grupo) es vkd?k/dk
  • (i.e. es la pendiente de ?k vs. k)
  • Significado físico de vk velocidad de transporte
    de energía en el medio

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Significado de vk0 en frontera dezona de
Brillouin
  • d?k/dk 0 en el límite de la ZB.
  • Toda onda (vibraciones u otras ondas) son
    difractadas si k está en el borde de la ZB.
  • Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de
    rayos x cuando se cumple la condición de Bragg
    (kmax??/a ), la onda estacionaria no puede
    desplazarse por la red sino que a través de
    sucesivas reflexiones y se establece una onda
    estacionaria.
  • Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad
    de grupo Vs 0.

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Significado de la Periodicidad en el Espacio
Recíproco
  • Este es un resultado general válido para todos
    los cristales en todas las dimensiones.
  • Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones.
    Los átomos no están en su posición de mínima
    energía mientras vibran.
  • Las excitaciones se denominan con un vector de
    onda k y son funciones periódicas de k en el
    espacio recíproco.
  • Todas las excitaciones se cuentan si los k
    considerados están dentro de la 1a zona de
    Brillouin (ZB).
  • Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a
    aquellas dentro de ella y no son excitaciones
    independientes.

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límite de longitud de onda largo
  • kaltlt1 ?
  • cos(ka) ? 1 - 1/2(ka)2
  • Resultado ? es directamente proporcional al
    vector de onda, i.e. velocidad del sonido es
    independiente de la frecuencia en el límite de
    longitudes de onda largas ? vk (mecánica del
    continuo).

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Dispersión en Cu
21
Red Biatómica 1D
22
Red Biatómica 1D
M
m
C
C
C
un
un1
vn
  • Resultado
  • Ecuación se puede resolver para ?2, pero es más
    simple examinar casos límite
  • ka ltlt 1 cos(ka) ? 1 - ½ (ka)2 ...
  • ka ?? (borde 1ZB)
  • Para ka ltlt 1

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Red Biatómica 1D
Para ka ltlt 1
24
Red Biatómica 1D
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(No Transcript)
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RELACION DISPERSION PARA REDES 3D
27
Dispersión en KBr
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VIBRACIONES DE RED CUANTIZADAS
Modelo cuantizado de las vibraciones de red hay
un conjunto de 3N oscilaciones lineales
independientes( modos) con energia E(n(w)1/2)
hw El numero medio de fonones en el modo con
frecuencia w es
Frecuencia de Debye wD la mas grande frecuencia
de vibracion en el cristal asumiendo la relacion
de dispersion w v k. Temperatura de Debye
Q hwD/kB
Las frecuencias fononicas acusticas tipicas esde
orden 1013 Hz, frecuencias opticas tipicas
1014 Hz, temperature Debye diamante -3000 K, Cu
-320K, Pb -90K
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DISPERSION INELASTICA DE NEUTRONES
Neutrones pueden ser dispersados del cristal
cuando absorben o Emiten un fonon
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ABSORCION INFRAROJO EN CRISTALES IONICOS
Luz transmitida en el rango de infrarojo, w 1014
Hz (l40-100mm) Es absorvida por cristales
ionicos con modo optico de fonones
Transmitancia a traves pelicula delgada de NaCl
(0.17mm)
Iones de Cl y Na se mueven en direcciones
opuestas
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