Tratamiento de Discontinuidades

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Tratamiento de Discontinuidades

• En esta presentación trataremos con el problema
  de la ocurrencia de discontinuidades en modelos.
• Modelos de la ingeniería exhiben frecuentemente
  discontinuidades que describen situaciones como
  la conmutación, limitadores, el rozamiento de
  Coulomb, impulsos y fenómenos similares.
• El entorno de modelado debe ser capaz de tratar
  con estos problemas de forma eficiente, porque
  influencian fuertemente el comportamiento
  numérico del resolvedor de las ecuaciones
  diferenciales.

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Contenido

• Resolvedores de ecuaciones diferenciales
  numéricos
• Discontinuidades en ecuaciones de estado
• La integración a través de discontinuidades
• Eventos en el estado
• El tratamiento de eventos
• Funciones multivalores
• El conmutador eléctrico
• El diodo ideal
• El rozamiento

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Resolvedores de EDOs Numéricos

• Todos los resolvedores numéricos de EDOs en el
  mercado de hoy funcionan usando extrapolaciones
  polinomiales.
• El valor de una variable de estado x al instante
  de tiempo th, donde h es el paso de la
  integración numérica, se aproxima ajustando un
  polinomio de orden n tal que coincide en n1
  valores conocidos de suporte de x y de dx/dt al
  instante de tiempo t y a valores del pasado.
• El valor del polinomio de extrapolación al
  instante de tiempo th representa la solución
  aproximada de la ecuación diferencial ordinaria.
• En el caso de algoritmos implícitos de la
  integración se usa también el valor de la
  derivada del estado al instante de tiempo th
  como un valor de suporte.

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Ejemplos
Algoritmo de integración de Euler explícito de
1er orden
Algoritmo de integración de Euler implícito de
1er orden
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Discontinuidades en Ecuaciones del Estado

• Polinomios son siempre funciones continuas y
  continuamente derivables.
• Entonces, si las ecuaciones de estado del
  sistema
• exhiben una discontinuidad, el polinomio de
  extrapolación aproxima la realidad pobremente.
• Por consecuencia exhiben algoritmos de
  integración con paso fijo un error de integración
  largo, mientras que algoritmos de integración con
  paso variable tienen que reducir el tamaño del
  paso fuertemente en la proximidad de una
  discontinuidad.

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Integración a Través de Discontinuidades

• Un algoritmo de integración con paso variable
  reduce el tamaño del paso en la proximidad de
  cada discontinuidad.
• Después de pasar por encima de la discontinuidad,
  el tamaño del paso tiene que alargarse
  lentamente, porque el algoritmo de la integración
  no puede distinguir entre una discontinuidad y un
  punto local de rigidez larga (con un valor
  absoluto largo de la derivada).

h
t
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Eventos en el Estado

• Estas problemas pueden evitarse si se dice al
  algoritmo de integración de forma explícita
  cuando y donde ocurren discontinuidades en la
  descripción del modelo.

Ejemplo El limitador
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El Tratamiento de Eventos I
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El Tratamiento de Eventos II
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Representación de Discontinuidades

• En Modelica, discontinuidades se representan por
  cláusulas if.
• En el proceso de la transformación del modelo,
  estas cláusulas se transformen en descripciones
  de eventos correctos (conjuntos de modelos con
  condiciones de cambios).
• El usuario no tiene que ocuparse de los
  mecanismos de la descripción adecuada de eventos.
  Estos se esconden detrás de las cláusulas if.

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Problemas

• El usuario tiene que tomar en cuenta que la
  solución numérica temporáneamente sale de la
  región física durante la iteración.
• puede ser peligroso, porque absDp puede asumir
  temporáneamente un valor negativo.
• resuelve el problema.

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La Construcción noEvent

• La construcción noEvent tiene el efecto que
  cláusulas if y expresiones Booleanas, que
  normalmente se traducen a códigos de simulación
  conteniendo descripciones de eventos correctos,
  se trasfieren directamente a la integración
  numérica sin modificarlas.
• De esa forma se pospone el tratamiento de la
  discontinuidad hasta el tiempo de la simulación
  cuando se ocupa el algoritmo de control del paso
  del problema.

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Funciones Multivalores I

• Las construcciones sintácticas que introdujimos
  hasta ahora no sirven para la descripción de
  funciones multi-valores, como por ejemplo la
  función de histéresis seca enseñada por debajo.
• Si x se hace más grande que xp, f debe cambiar su
  valor de fm a fp.
• Si x se hace más pequeño que xm, f debe cambiar
  su valor de fp a fm.

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Funciones Multivalores II
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Funciones Multivalores III
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El Conmutador Eléctrico I
Si el conmutador está abierto, la corriente es
i0. Si el conmutador está cerrado, el voltaje es
u0.
La cláusula if de Modelica es no causal. Se
ordena en mismo tiempo que todas las demás
ecuaciones.
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El Conmutador Eléctrico II
Implementación posible
Conmutador abierto s 1 Conmutador cerrado s
0
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El Diodo Ideal I
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El Diodo Ideal II

• Como corriente que corre a través de un diodo no
  puede interrumpirse es necesario modificar el
  modelo del diodo levemente.
• La variable open tiene que declararse como
  Booleana. El valor a la derecha de la expresión
  Booleana se asigna a ella.

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La Característica del Rozamiento I

• Fenómenos más complejos, como la característica
  del rozamiento, tienen que analizarse con mucho
  cuidado caso por caso.
• Se habla aquí de como puede hacerse usando el
  ejemplo del rozamiento.

Si v ? 0 , la fuerza de rozamiento es una función
de la velocidad. Si v 0 , la fuerza de
rozamiento se calcula tal que la velocidad
mantiene un valor de 0.
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La Característica del Rozamiento II

• Distinguimos entre cinco situaciones

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El Diagrama de Transición entre Estados

• El conjunto de eventos puede describirse por un
  diagrama de transición entre estados.

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El Modelo del Rozamiento I
model Friction parameter Real R0, Rm, Rv
parameter Boolean icfalse Real fB, fc
Boolean Sticking (final start ic) Boolean
Forward (final start ic), Backward (final start
ic) Boolean StartFor (final start ic),
StartBack (final start ic) fB if
Forward then Rvv Rm else if
Backward then Rvv - Rm else if
StartFor then Rm else
if StartBack then -Rm else fc 0
if Sticking or initial() then a else fc
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El Modelo del Rozamiento II
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El Modelo del Rozamiento III
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Referencias I

• Cellier, F.E. (1979), Combined Continuous/Discrete
  System Simulation by Use of Digital Computers
  Techniques and Tools, PhD Dissertation, Swiss
  Federal Institute of Technology, ETH Zürich,
  Switzerland.
• Elmqvist, H., F.E. Cellier, and M. Otter (1993),
  Object-oriented modeling of hybrid systems,
  Proc. ESS'93, SCS European Simulation Symposium,
  Delft, The Netherlands, pp.xxxi-xli.
• Cellier, F.E., M. Otter, and H. Elmqvist (1995),
  Bond graph modeling of variable structure
  systems, Proc. ICBGM'95, 2nd SCS Intl. Conf. on
  Bond Graph Modeling and Simulation, Las Vegas,
  NV, pp. 49-55.

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Referencias II

• Elmqvist, H., F.E. Cellier, and M. Otter (1994),
  Object-oriented modeling of power-electronic
  circuits using Dymola, Proc. CISS'94, First
  Joint Conference of International Simulation
  Societies, Zurich, Switzerland, pp. 156-161.
• Glaser, J.S., F.E. Cellier, and A.F. Witulski
  (1995), Object-oriented switching power
  converter modeling using Dymola with
  event-handling, Proc. OOS'95, SCS
  Object-Oriented Simulation Conference, Las Vegas,
  NV, pp. 141-146.