ELASTICIDAD' Tensiones Deformaciones

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ELASTICIDAD. Tensiones Deformaciones

• Ensayo de tracción. Ley de Hooke.

Ensayamos a tracción una probeta de un
determinado material. Para distintos valores de
la carga medimos la tensión (s) y la deformación
unitaria (e) producidas. Representando
gráficamente se obtiene el siguiente diagrama.
E Módulo de elasticidad longitudinal o módulo de
Young Cte. Para cada material En el Acero E
2,1 106 kp/cm2
Particularizada para las direcciones x, y, z
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• Deformaciones transversales. Coeficiente de
  Poisson

Criterio de signos Alargamientos
Acortamientos -
Cuando a un sólido le aplicamos una carga en una
dirección, se producen deformaciones no solo en
esa dirección, sino también en dirección
transversal pero de signo contrario.
Ambas deformaciones están relacionadas por una
constante denominada Coeficiente de Poisson (m)
Si por ejemplo la carga está aplicada en la
dirección del eje x, la deformación principal
será ex. Las deformaciones transversales se
expresan
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• Deformaciones angulares. Coeficiente de
  elasticidad transversal (G)

Sometemos a un estado de cortadura pura una zona
rectangular de un material determinado. Medimos
las tensiones cortantes (t) y las deformaciones
angulares (g) que se producen, y las
representamos gráficamente.
G Coeficiente de elasticidad transversal.
(Acero G8,44105 kp/cm2)
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• Principios de SUPERPOSICIÓN y de RIGIDEZ
  RELATIVA

Debido a que la ley que relaciona tensiones con
deformaciones es una ley lineal, se cumple el
principio de superposición cuando estamos en
régimen elástico.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El estado tensional de
un sólido, debido a varias acciones exteriores
que actúan sobre él, es igual a la suma lineal de
los estados tensionales que producen cada una de
las acciones actuando por separado e
independientemente del orden en que actúen.
Este principio no se verifica si las
deformaciones producidas por un sistema de cargas
hacen que, otro sistema, actuase de forma
diferente que si lo hace solo . Por tanto es
necesario complementarlo con el de Rigidez
Relativa que dice
PRINCIPIO DE RIGIDEZ RELATIVA Las deformaciones
provocadas en los sólidos por las cargas
exteriores son lo suficientemente pequeñas para
que no modifiquen la forma de actuar de las
cargas, y estas siguen produciendo los mismos
efectos que antes de la deformación.
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• Leyes de HOOKE GENERALIZADAS

Deformaciones lineales en el estado monoaxial de
tensiones Las tres tensiones NO actúan
simultáneamente
Teniendo en cuenta que las deformaciones
producidas por las tensiones cortantes no afectan
a las deformaciones provocadas por las tensiones
normales, y aplicando el principio de
superposición se demuestra que
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• Ecuaciones de LAMÉ

Las leyes de Hooke dan explícitamente las
deformaciones en función de las tensiones. Al ser
seis ecuaciones y seis las tensiones
independientes se pueden expresar explícitamente
las tensiones en función de las deformaciones. Se
obtiene
Las leyes de Hooke y las ecuaciones de Lamé, son
las mismas ecuaciones pero escritas de forma
diferente.
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• Deformaciones y tensiones de origen térmico I

a Coeficiente de dilatación. Cte. que solo
depende del material (Acero a 0,11710-4
(ºC-1)
Las variaciones de temperatura no originan
tensiones a no ser que se impidan las
deformaciones producidas por ellas. Si se impide
totalmente la deformación en una dirección,
cuando la variación de temperatura es positiva
(calentamiento), se tiene
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• Deformaciones y tensiones de origen térmico II

Las leyes de Hooke y las ecuaciones de
Lamé,utilizando el principio de superposición, se
escribirán ahora
Leyes de Hooke
Ecuaciones de Lamé
Si las deformaciones no están impedidas, total o
parcialmente, las tensiones son nulas.
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• Estados planos. Definición

En la práctica es frecuente el caso en el que
todos los planos paralelos a uno dado (Plano
Director), tienen el mismo estado tensional.
Basta con estudiar lo que ocurre en un plano. Se
denominan ESTADOS PLANOS.
Estado de deformación plana Nada en deformaciones
depende de la coordenada z
Estado tensional plano Nada en tensiones depende
de la coordenada z
De estas condiciones se tiene
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• Estados planos. Matrices de tensiones y
  deformaciones.

Estado tensional plano
Estado de deformación plana
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• Estados planos. Tensiones y direcciones
  principales.

Utilizando la matriz de tensiones, tenemos
La dirección z es una dirección principal
(III), las otras dos están contenidas en el plano
xy y se determinan por el procedimiento general.
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• Estados planos. Tensiones y direcciones
  principales mediante los círculos de Mohr.

Nuevo criterio de signos para tensiones
cortantes Positivas cuando el vector momento
asociado tiene la dirección contraria al eje z
negativas en caso contrario.
Una de las direcciones principales es el eje z
(sea la III) las otras dos están en el plano xy
y sus planos asociados pertenecen al haz III,
estarán representados en el circulo C3.
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• Estados planos. Tensiones y direcciones
  principales mediante los círculos de Mohr.

Los círculos de Mohr permiten además calcular la
orientación de las tensiones principales respecto
a los ejes utilizando la regla del ángulo doble .
En la figura se comprueba que la tensión
principal s1 forma con el eje x un ángulo mitad
del dado por
Al ser s1 y s2 perpendiculares, s2 formará con el
eje x un ángulo de 90 q1
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• Estados planos. Componentes intrínsecas para un
  plano perpendicular al director.

En estados planos el plano xy es el director.
Se puede demostrar que para un plano p
perpendicular al director, las componentes
intrínsecas de su vector tensión asociado están
dadas por