La comunicaci

1
La comunicación y el lenguaje matemático Abraham
Arcavi Departamento de Enseñanza de las
Ciencias Instituto Científico Weizmann Rehovot -
Israel
2

• Lenguaje matemático ? lenguajes matemáticos
• 2. Lenguajes y comunicación
• 3. Reflexiones
• 4. Desde secundaria y bachillerato

3

• Comunicabilidad
• despeja
• general
• preciso
• conciso
• estético

• ?
• Familiaridad
• Manipulación
• Lectura
• Transparencia

1.1a x 0.9b 0.99ab
4

• ?
• Familiaridad
• Manipulación

5

• ?
• Familiaridad
• Manipulación
• Lectura

6
(No Transcript)
7

• ?
• Familiaridad
• Manipulación
• Lectura

Elijamos un numero impar cualquiera, elevémoslo
al cuadrado, restemos 1 al resultado. Qué
propiedades tienen los números obtenidos?
8
(No Transcript)
9

• ?
• Familiaridad
• Manipulación
• Lectura

Elijamos un numero impar cualquiera, elevémoslo
al cuadrado, restemos 1 al resultado. Qué
propiedades tienen los números obtenidos?
10

• ?
• Familiaridad
• Manipulación
• Lectura

11

• ?
• Familiaridad
• Manipulación
• Lectura

12
Cómo introducir el lenguaje algebraico para que
éste mantenga una contigüidad con nuestro sentido
común?
13
Pensé en un número, lo multipliqué por 3. Le
resté 10 y me dió 5.
um novo olhar
Pensé en un número, lo multipliqué por 3. Le
resté 16 al resultado, y me dió el número que
había pensado.
Solución verbal Solución escrita
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• ?
• Familiaridad
• Manipulación
• Lectura
• Transparencia

15
0ltqlt1,
16
(No Transcript)
17
0ltqlt1,
18
(No Transcript)
19
Tanton, J. (2008) Proofs without words Geometric
series formula, The College Mathematics Journal,
39(2), p. 106
20
Transparencia ? Generalidad ?
21
Siempre?
Transparencia ? Generalidad ?
22
um novo olhar - curriculum
Generalidad
La pendiente de una recta
23
Transparencia del lenguaje visual
Janvier, Claude (1981) "Use of situations in
Mathematics Education" Educational Studies in
Mathematics, 12(1), p113-22
24
(No Transcript)
25
Transparencia del lenguaje visual
Distracciones pictóricas Interferencia de
conocimiento anterior Opacidad de los
substratos conceptuales
26
Siempre?
Transparencia ? Generalidad ? Preservar la
cercanía conceptual
27

• Qué tienen en común todas las funciones lineales
  en las que el parámetro que multiplica a la
  variable es igual al término independiente?

f(x) ax a
f(x) a(x1)
f(-1) 0
28
(0,a)
29
(0,a)
a
30
(0,a)
a
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(No Transcript)
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um novo olhar
33
um novo olhar
Qué es necesario para resolver este problema?
- Conocimiento (o reconocimiento) de las
fórmulas
- Sustitución - Resolución de sistema de
ecuaciones
Qué matemática se aplica?
34
um novo olhar
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um novo olhar
36
um novo olhar
-4 -1 2 5 8 11
14 17
-7
___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___,
___, 20
como cada arco vale 13 y el término 10 es 20, el
primero será igual a -7
los saltos son 9 de -7 a 20, la distancia es 27
dividimos
La diferencia b3
37
um novo olhar
Qué aprendemos de esta solución?
- Contenidos vs. enfoques de los contenidos -
Símbolos vs. uso del lenguaje cotidiano -
Significados (ideas matemáticas) vs.
formalismos - Rol de la visualización -
Visibilidad de los mecanismos de control
38
El tratamiento simbólico nos aleja de lo
conceptual, precisamente en eso reside su
poder Pero, a veces, se torna engorroso, y su
poder puede disminuir en comparación con otros
tratamientos
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El punto A está en el eje x, el punto B está en
el eje y. O(3,-1) es el punto medio del segmento
AB. Encuentra las coordenadas de A y B.
Distancia de A a O Distancia de O a B
Distancia de A a O 1/2 de la distancia de A a B
40
(No Transcript)
41
(No Transcript)
42
de Guzmán, M. (1995). Para pensar mejor.
Desarrollo de la creatividad a través de los
procesos matemáticos.
Arcavi, A. (2006) Lo acádemico y lo cotidiano en
matemáticas Números 63
43
Mostrar que si a b c ?2 y a b
c -1 ax2 bx c 0 tiene dos raices reales
distintas.
44
Hagamos un pequeño cambio de lenguaje
Mostrar que si a b c ?2 y a b
c -1 ax2 bx c 0 tiene dos raices reales
distintas.
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Hagamos un pequeño cambio de lenguaje
Mostrar que si a b c ?2 y a b
c -1 ax2 bx c 0 tiene dos raices reales
distintas.
f(x) ax2 bx c
46
Hagamos un pequeño cambio de lenguaje
Mostrar que si a b c ?2 y a b
c -1 ax2 bx c 0 tiene dos raices reales
distintas.
f(1) gt 0 f(-1) lt 0
f(x) ax2 bx c
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Hagamos un pequeño cambio de lenguaje
Mostrar que si a b c ?2 y a b
c -1 ax2 bx c 0 tiene dos raices reales
distintas.
f(1) gt 0 f(-1) lt 0
f(x) ax2 bx c
48
El tratamiento simbólico nos aleja de lo
conceptual, precisamente en eso reside su
poder Pero, a veces, se torna engorroso, y su
poder puede disminuir en comparación con otros
tratamientos Y aún cuando no sea engorroso, hay
tratamientos creativos, con mucha imaginación, no
menos elegantes y queremos darles lugar
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N
Barbeau, E. (1997) Power play, Mathematical
Association of America, Washington DC.
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N
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N
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1- Notamos la regularidad en cada gnomon 2-
(1 2 (k-1))x2 k k2
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(No Transcript)
54

• Aspectos de la comunicación
• de los distintos lenguajes
• Generalidad

1.1a x 0.9b 0.99ab
55

• Aspectos de la comunicación
• de los distintos lenguajes
• Generalidad
• Transparencia (donde se ve mejor)

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• Aspectos de la comunicación
• de los distintos lenguajes
• Generalidad
• Transparencia (donde se ve mejor)
• Cercanía conceptual

f(x) ax a
f(x) a(x1)
f(-1) 0
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• Aspectos de la comunicación
• de los distintos lenguajes
• Generalidad
• Transparencia (donde se ve mejor)
• Cercanía conceptual
• Eficiencia vs. tratamiento simbólico engorroso

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• Aspectos de la comunicación
• de los distintos lenguajes
• Generalidad
• Transparencia (donde se ve mejor)
• Cercanía conceptual
• Eficiencia vs. tratamiento simbólico engorroso
• Soluciones alternativas, riqueza y creatividad

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• Aspectos de la comunicación
• de los distintos lenguajes
• Generalidad
• Transparencia (donde se ve mejor)
• Cercanía conceptual
• Eficiencia, rapidez vs. torpeza simbólica
• Soluciones alternativas, riqueza y creatividad

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Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo

61
Autoritarismo
Augustus De Morgan Siglo XIX
En el año x2 mi edad era x
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Autoritarismo
Catalina, La Grande (1729-1796)
Leonhard Euler (1707-1783)
Denis Diderot (1713-1784)
63
Autoritarismo
!Monsieur
Donc Dieu existe,
Repondez!
64
Autoritarismo
Diderot, to whom algebra was Hebrew, was
embarrassed and disconcerted He asked
permission to return to France at once, which was
grantedDe Morgan, A Budget of ParadoxesThe
Open Court Publishing Co. 1915, Vol II, p.4
65
Autoritarismo
Qué ilustra esta anécdota?
Son nuestras prácticas de aula autoritarias, en
algún sentido?
66
Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo

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Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir pericia
• Ser experto implica un cierto oportunismo

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Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir pericia
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar

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• IA Proceso de solución
• - Trazado del gráfico
• Cálculo de la derivada de f(x), f (x) -1/x2
• Formación de la ecuación de la tangente
• y-y0(-1/x02)(x-x0)
• Cálculo de las coordenadas de los puntos de
  intersección con los ejes
• (2x0, 0) and (0, 2/x0)

- Se pregunta max o min?
71

• Tengo un amigo que siempre hace eso juega con
  el problema para encontrarle algún sentido,
  después de tal esfuerzo, en general no tiene ni
  tiempo ni energías para embarcarse en una
  solución simbólica, no se le reconoce lo que pudo
  haber hecho, y fracasa en los exámenes. Si no
  tengo necesidad, yo me ocupo solamente de los
  símbolos, que es lo que la maestra y el exámen
  quieren.

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Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir pericia
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas ricos

• Se prestan para reflexiones metamátematicas

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(No Transcript)
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xlt5.40
ylt5.40
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Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir pericia
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas ricos

• Se prestan para reflexiones metamátematicas
• Se prestan para soluciones alternativas
• Aplicaciones plausibles

Arcavi, A. (2006) Lo acádemico y lo cotidiano en
matemáticas Números 63
76
Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir pericia
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas ricos

• Se prestan para reflexiones metamátematicas
• Se prestan para soluciones alternativas
• Aplicaciones plausibles

Arcavi, A. (2006) Lo acádemico y lo cotidiano en
matemáticas Números 63
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Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir pericia
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas ricos

• Se prestan para reflexiones metamátematicas
• Se prestan para soluciones alternativas
• Aplicaciones plausibles
• Invitan diseño

diSessa A. et al. (1991) Inventing graphing
metarepresentational expertise in children
Journal of Mathematical Behavior 10, pp. 117-160
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Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir pericia
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas ricos
• Tratar distinto los problemas tradicionales

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Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir pericia
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas ricos
• Tratar distinto los problemas tradicionales
• Estimular procesos metacognitivos

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Qué podemos hacer?

• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir pericia
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas ricos
• Tratar distinto los problemas tradicionales
• Estimular procesos metacognitivos
• Y
• formalizar sin sacrificar el sentido común

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La comunicación y el lenguaje matemático Abraham
Arcavi Departamento de Enseñanza de las
Ciencias Instituto Ciéntifico Weizmann Rehovot -
Israel
Muchas gracias