Las representaciones en Educacin Matemtica

1
Las representaciones en Educación Matemática

• Vicenç Font
• Universitat de Barcelona

Universidad de Ganada, 24 de enero de 2005
2
La investigación sobre las representaciones

• Desde la didáctica de las matemáticas se ha
  investigado mucho sobre las representaciones.
  Dos publicaciones a destacar son los libros
• 1) JANVIER, C. (ed.) (1987), Problems of
  representation in the teaching and learning of
  mathematics Hillsdale, New Jersey Lawrence
  Erlbaum A.P.
• 2) HITT, F. (2002) Representations and
  Mathematics visualization. North American Chapter
  of PME Cinveztav-IPN.
• Estas investigaciones han puesto de manifiesto la
  gran complejidad asociada a las representaciones.

3
EJEMPLO

• Según Goldin y Janvier (1998) 'representación' y
  'sistema de representación', en la didáctica de
  de las matemáticas tiene las siguientes
  interpretaciones
• 1. Una situación física, externa y estructurada,
  o un conjunto de situaciones de un entorno
  físico, que se puede describir matemáticamente o
  se puede ver como concretización de ideas
  matemáticas
• 2. Una materialización lingüística, o un sistema
  lingüístico mediante el que se plantea un
  problema o se discute un contenido matemático,
  con énfasis en las características sintácticas y
  en la estructura semántica.

4

• 3. Un constructo matemático formal, o un
  sistema de constructos, que puede representar
  situaciones mediante símbolos o mediante un
  sistema de símbolos, usualmente cumpliendo
  ciertos axiomas o conforme a definiciones
  precisas -incluyendo constructos matemáticos que
  pueden representar aspectos de otros constructos
  matemáticos.
• 4. Una configuración cognitiva interna,
  individual, o un sistema complejo de tales
  configuraciones, inferida a partir de la conducta
  o la introspección, que describe algunos aspectos
  de los procesos del pensamiento matemático y la
  resolución de problemas

5

• La noción de representación es ambigua ya que se
  usa con distintos significados.
• Además, está estrechamente relacionada con las de
  significado, comprensión y en última instancia
  con el conocimiento

6

• La representación es un término que presenta
  muchos rostros.
• La mirada sobre la representación tiene que ser
  poliédrica

7
OBJETOSLa dimensión extensivo-intensivo

• Vivimos entre objetos
• Hablamos y pensamos acerca de objetos
• El ejemplo obvio son los objetos físicos, pero
  también están todos los abstractos.
• Constantemente nos empeñamos en descomponer de
  alguna manera la realidad en una multiplicidad de
  objetos identificables y discriminables a los que
  nos referimos mediante términos singulares y
  generales

8

• En esta aula podemos ver, entre otros los
  siguientes objetos
• Esta mesa
• Una silla
• Mi reloj
• Etc.
• Sobre estos OBJETOS actúa (sobre todo) la faceta
  extensivo / intensivo (ejemplar / tipo
  singular/general concreto / abstracto)

9
Algo parecido se puede decir de otras formas

• Un foucaultiano diría que ya han sido DICHOS
  DESDE ALGÚN DISCURSO.
• Desde la filosofía de la ciencia se diría que
  TODA PERCEPCIÓN (OBSERVACIÓN) ESTÁ CARGADA DE
  TEORÍA.
• Todo juicio de percepción supone la
  aplicación de conceptos (la proposición A es B)
• Desde la semiótica se les llama
  OBJETOS SEMIOTIZADOS O SEMIÓTICOS (Magariños)

10
(No Transcript)
11
(No Transcript)
12
Signos versus objetos

• Conviene distinguir entre
• LOS OBJETOS
• y
• LOS SIGNOS
• Es una distinción importante. Ahora bien es
  una diferencia coyuntural y no sustancial, ya que
  lo que en un momento es signo en otro puede pasar
  a ser objeto y viceversa.

13
Los signos como acompañantes de los objetos

• Un objeto necesita un signo que lo enuncie
  (acompañe)
• Imaginemos que un bebé ha balbuceado algo
  parecido a pan. La madre interpreta que quiere
  pan y se lo proporciona al mismo tiempo que le
  dice pan.
• El bebé recibe dos estímulos que se refuerzan
  mutuamente
• Por una parte, la emergencia del objeto físico
  pan
• Por otra parte, la palabra pan dicha por el
  mismo y por su madre.

14
Diferencia entre signo y objeto

• Primera fase No diferenciación entre signo y
  objeto.
• (por ejemplo, los niños pequeños)
• Segunda fase Diferenciación entre signo y objeto
• Un signo, o representamen, es algo que está
  para alguien, por algo, en algún aspecto o
  disposición"2(Peirce).
• Puesto que tanto el signo como el objeto son
  algo, hay que tener presente que ambos son
  objetos
• Ser objeto o signo es algo relativo.

15

• Identificación/Diferenciación
• En la fase de No diferenciación el sujeto
  identifica (confunde) el signo con el objeto.
• En la fase de Diferenciación el sujeto está
  en condiciones, según convenga, de identificar o
  diferenciar el signo del objeto.
• "Estar en lugar de, es decir, situarse en una
  relación tal respecto a otro que, para ciertos
  fines, puede considerársele, en algún modo como
  si fuese ese otro (Peirce).

16
Algo por AlgoLa dualidad Expresión/Contenido

• La posibilidad de diferenciar entre signo y
  objeto permite que alguien pueda establecer una
  relación diádica (función semiótica) entre dos
  objetos (Algo por Algo) .
• En esta relación (Algo por Algo) normalmente
  se considera que el signo es una expresión que
  se relaciona con un contenido (el objeto).

17
(No Transcript)
18
Cómo se relaciona el signo con el objeto?
19

• En este triángulo se considera que
• el objeto ? (A) es el referente
  (significatum),
• la palabra escrita (acústica) reloj (B) el
  significante (signo o símbolo) y
• el concepto de reloj (C) el significado
  (referencia, interpretante).
• La relación entre B y A es indirecta por medio
  del concepto (interpretante) que tiene el sujeto
  (el interprete).

20

• En este ejemplo, se toma como referente un objeto
  (reloj) que se puede considerar exterior al
  sujeto y perteneciente al mundo de las cosas
  reales.
• Si consideramos un objeto matemático, topamos con
  el problema la existencia de dichos objetos.
• Si consideramos que existe un concepto matemático
  A en algún mundo platónico, el concepto A sería
  el referente, B el significante matemático y C el
  concepto matemático individual del sujeto.

21
Representaciones internas y externas

• Normalmente se considera que tanto el concepto
  como el signo se entiende que son
  representaciones
• Normalmente se considera que la palabra escrita
  reloj es una representación externa y que el
  concepto es una representación interna (mental).
• En esta clasificación estamos considerando la
  representación como un objeto (material o mental).

22

• En los programas de investigación cognitivos
  en los que la clasificación interno/externo es un
  elemento clave, se considera
• Que lo externo representa lo interno.
• Que las representaciones internas se pueden
  inferir a partir de la producción de
  representaciones externas ya que las primeras son
  la causa de las segundas.
• Que un concepto matemático se ha aprendido en la
  medida en que se han desarrollado una variedad de
  representaciones internas apropiadas, junto con
  las relaciones funcionales entre ellas, que
  permitan producir representaciones externas
  adecuadas para la resolución de las tareas
  propuestas en las que dicho concepto sea
  determinante.

23

• Desde el punto de vista cognitivo se entiende la
  comprensión de los alumnos en términos de
  representaciones, en especial representaciones
  internas, ya que se considera que la comprensión
  está relacionada con la construcción estructurada
  e integrada de representaciones internas, las
  cuales son la causa que produce en el alumno un
  dominio de los sistemas de representación
  externos que le permite resolver las tareas
  escolares propuestas.
• El proceso de instrucción debe tener como
  objetivo el desarrollo de representaciones
  internas adecuadas y bien conectadas en los
  estudiantes.

24

• El tema de investigación en la Didáctica de las
  Matemáticas ha de ser el conocimiento de estas
  representaciones internas (esquemas , imágenes,
  etc.)
• Los puntos de vista cognitivos hacen una opción
  muy definida por los enfoques centrados en el
  individuo y por la utilización de elementos de
  análisis desarrollados por la psicología.
• Definición e imagen conceptual (Vinner y Tall)
• Teoría APOS (Dubinsky)
• Etc.

25
El problema de la clasificación entre
representaciones internas y externas

• Qué es una representación mental? Qué se
  quiere decir cuando decimos que ltltrepresentagtgt a
  algo? Para quién? Cómo? Cuál es la diferencia
  entre la experiencia de una representación
  interna y la correspondiente a una representación
  externa? Una representación externa es un
  sistema constituido social o personalmente?
  (Kaput, 1998).

26
La versión fuerte de la representación

• La dualidad interno/externo (realidad/mente)
  tiene su origen en una visión representacionista
  de la relación entre el sujeto y el mundo real.
• El representacionismo parte de los siguientes
  supuestos
• Existe un mundo exterior predefinido.
• Nuestra cognición aprehende este mundo, aunque
  sea en forma parcial y
• La manera de conocer este mundo predefinido es
  representarnos los rasgos más característicos y
  después actuar sobre la base de dichas
  representaciones.

27

• Si a estos supuestos añadimos el funcionamiento
  de la visión (que va de fuera a dentro) se llega
  a la conclusión de que
• (1) Los objetos externos a las personas
  generan representaciones mentales internas
• Y SOBRE TODO
• (2) dichos objetos sólo son accesibles por
  medio de sus representaciones mentales.

28

29
LAS REPRESENTACIONES COMO PROCESO que
relaciona objetos entre mundos (uno o dos?)

• Representacionistas (dinosaurios) versus
• antirepresentacionistas (mamíferos)
• Versión fuerte de la representación
  versus versión débil de la
  representación
• Representaciones verticales versus
• representaciones horizontales

30
DOS MUNDOS

• Estos diferentes clases de objetos que se han
  comentado se pueden dividir en dos mundos
• 1) El de las experiencias posibles de las
  personas, y
• 2) El mundo objetivo hipotético donde hay que
  situar los objetos reales
• A su vez, el mundo de las experiencias del
  sujeto se puede dividir en dos submundos la
  esfera de lo material y la de lo mental.

31
(No Transcript)
32
Antirepresentacionistas

• Optan por la versión débil de la representación
• (...) Considero la ltltrepresentacióngtgt como la
  ltltrepresentacióngtgt de una experiencia por
  otra(..) (Kaput 1991)
• No consideran que las representaciones internas
  sean la causa oculta de las representaciones
  externas.
• Consideran que la manipulación de
  representaciones materiales va acompañada de
  procesos psicológicos y se produce en un
  contexo determinado.
• No tiene sentido segregar las representaciones
  internas de las externas (supeditando las
  segundas a las primeras) ni tampoco segregarlas
  de la situación en que se producen.

33
UNA SOLUCIÓN LA DUALIDAD OSTENSIVO / NO
OSTENSIVO

• Esta distinción se ha de tomar en sentido
  intersubjetivo
• Algo se puede mostrar a otro directamente
• versus
• Algo no se puede mostrar directamente,
  solamente por medio de otro algo, que si se
  puede mostrar directamente.

34
(No Transcript)
35

• Qué es una representación mental? Qué se
  quiere decir cuando decimos que ltltrepresentagtgt a
  algo? Para quién? Cómo? Cuál es la diferencia
  entre la experiencia de una representación
  interna y la correspondiente a una representación
  externa? Una representación externa es un
  sistema constituido social o personalmente?
  (Kaput, 1998).

36
LA FACETA INSTITUCIONAL-PERSONAL

• En el proceso de instrucción estamos interesados
  en la enseñanza de objetos institucionales. Estos
  objetos se presentan en la actividad matemática
  por medio de sus ostensivos asociados.
• Como resultado del proceso de instrucción los
  alumnos habrán construido sus objetos personales,
  los cuales se presentaran en su actividad
  matemática por medio de ostensivos asociados.
• La faceta institucional-personal es básica para
  analizar las Representaciones en Educación
  matemática

37
(No Transcript)
38
En la mayoría de investigaciones sobre las
representaciones en Didáctica de las Matemáticas
no se distingue entre los niveles 1 y 2, y se
considera que los objetos ostensivos (nivel 2)
son las representaciones externas y también se
considera que los niveles 3 y 4 son las
representaciones internas.
39
LA FACETA ELEMENTAL -SISTÉMICA

• Resulta "ingenuo" el punto de vista que considera
  a las representaciones ostensivas de los
  conceptos matemáticos simplemente como diferentes
  significantes del mismo concepto.
• Desde este punto de vista, la representación se
  entiende básicamente en términos de la faceta
  expresión/contenido,
• Una correspondencia abstracta entre dos entidades
  que son puestas en alguna relación referencial
  una con otra, por un actor o un observador. "Pero
  deliberadamente no se presta atención al tipo de
  objetos que se ponen en correspondencia" (Kaput,
  1998, p. 266).

40

• Basta mirar con una perspectiva histórica un
  objeto matemático cualquiera para ilustrar la
  complejidad de las relaciones que se establecen
  entre
• un objeto matemático,
• sus ostensivos asociados,
• las prácticas que permiten manipular estos
  ostensivos y
• las situaciones en las que se usa el objeto
  (juntamente a sus ostensivos y prácticas
  asociadas) para organizar fenómenos.

41
Un ejemplo la cisoide

• Tomemos como ejemplo la cisoide y la consideramos
  definida como lugar geométrico en el marco de la
  geometría sintética.
• Dentro del programa de la geometría sintética se
  puede realizar la conversión entre el lenguaje
  verbal de la definición y el lenguaje
  geométrico de la figura.
• Además se pueden realizar diferentes prácticas en
  las que interviene la representación gráfica
  (figura) de la cisoide.

42

• Sea C una circunferencia de radio a/2 y centro O,
  AB un diámetro de C y l la recta tangente a C en
  B. Para cada recta AM, M? l, consideramos su
  intersección N con C y un segmento AP, P ? AM, de
  igual longitud que MN. El lugar geométrico de los
  puntos P así obtenidos es una curva llamada
  Cisoide de Diocles.

43

• Esta forma de representación (desde la
  perspectiva actual) de la cisoide permite obtener
  información significativa sobre esta curva
• 1)   Es simétrica respecto del eje de abscisas,
• 2)   La recta x a es una asíntota vertical ,
• 3)   Es algebraica,
• 4)   Es de grado 3,
• 5) En el origen de coordenadas presenta una
  singularidad de orden 2,
• 6)   Es irreducible
• 7)   Es racional

44

• Gráfica ? Expresión simbólica
• En la "Geometrie", Descartes se plantea hallar
  la expresión simbólica de una curva.
  
  
• Los triángulos ARP i ANS son semejantes por
  tanto
• .
•  

45

• La circunferencia tiene por ecuación
  t2 ax x2
• Resolviendo el sistema formado por las dos
  ecuaciones se obtiene la ecuación de la a
  cisoide

46

• La traducción "GRÀFICA ? ECUACIÓN ÍMPLÍCITA" es
  una técnica que forma parte de un programa de
  investigación, iniciado por Descartes en la
  Géométrie, que (según Boss) consta básicamente de
  tres partes  
• 1)    Primeramente, Descartes ha de
  determinar cuáles son las curvas que serán
  estudiadas (las geométricas).

47

• 2) En segundo lugar, ha de postular un criterio
  claro para distinguir las curvas simples de las
  que no lo son (la aplicación del álgebra le
  permite obtener ecuaciones, el grado de las
  cuales puede ser usado como un indicador de
  simplicidad).
• 3) Finalmente, ha de encontrar un método para
  hallar la curva más simple posible mediante la
  cual se puede resolver un problema dado.

48

• Este programa de investigación permite la
  conversiön del registro gráfico al simbólico.
• Permite algunas traducciones entre expresiones
  simbólicas, pero al ser un programa global en el
  que el estudio local no se contempla, no permite
  otras
• Por ejemplo, permite la traducción Implícita ?
  Implícita
• Con el siguiente cambio de coordenadas
  x y1 , y -x1
• la expresión implícita de la cisoide es
• y13 x12 y1 - a x12 0
• y ahora, la traza de la cisoide es la
  gráfica de una función

49

• Este programa de investigación no permite la
  traducción Implícita ? Explícita
• Mientras nos limitemos a buscar la expresión
  implícita nos estamos situando en en un punto de
  vista GLOBAL.
• Para Buscar la forma explícita estamos obligados
  a introducir razonamientos de tipo LOCAL.
• Situados dentro de este nuevo programa de
  investigación (perspectiva local), las técnicas
  de desarrollo en series de potencias nos
  permiten obtener expresiones explícitas de la
  cisoide.

50

• En la expresión y13 x12 y1 - a x12 0, el
  teorema de la función implícita nos asegura que,
  en un entorno de un punto no singular (x,y) de la
  cisoide, la curva se puede parametrizar en la
  forma (x , h (x)).
•  

51

• La fórmula de Taylor no es aplicable en un
  entorno de un punto singular.
• Nos hemos de situar en un nuevo programa de
  investigación (La geometría Algebraica) que
  estudia las singularidades
• Los desarrollos de Puiseux permiten solucionar el
  problema ya que nos permiten obtener, en un
  entorno del punto singular de la cisoide y13
  x12 y1 - a x12 0, la expresión

52
Esta mirada histórica muestra que las diferentes
representaciones ostensivas que pueden
representar a un objeto matemático, son el
resultado de una larga evolución en la que, en
algunos casos, una nueva forma de representación
plasma un nuevo programa de investigación.
53

• El hecho de que las representaciones ostensivas
  se enmarquen en programas de investigación tiene
  implicaciones importantes. A continuación
  comentaremos tres que son muy importantes
• La primera es que las representaciones no se
  pueden entender de manera aislada.
• "Los sistemas representacionales importantes
  para las matemáticas y su aprendizaje tienen
  estructura, de manera que las diferentes
  representaciones dentro de un sistema están
  relacionadas de manera rica unas a otras" (Goldin
  y Stheingold, 2001)
• Más que hablar de representaciones es conveniente
  hablar de sistemas de representaciones (sistemas
  de signos).

54

• La SEGUNDA es que el hecho de que el mismo objeto
  se pueda encuadrar en dos programas de
  investigación diferentes, cada uno con sus
  sistemas de representación, conlleva que cada
  representación se pueda convertir en objeto
  representado de la representación del otro
  programa de investigación.
• La cisoide se puede representar por una curva en
  la geometría sintética y por una ecuación en la
  geometría analítica.
• A su vez, dependiendo del contexto, la curva
  puede proporcionar una representación geométrica
  de la ecuación, o la ecuación puede proporcionar
  una simbolización algebraica de la curva.

55
(No Transcript)
56
(No Transcript)
57

• La TERCERA es que una representación ostensiva,
• (1) Por una parte tiene una faceta
  representacional es algo que se puede poner en
  lugar de algo distinto de él mismo y,
• (2) Por otra parte, tiene un valor
  instrumental permite realizar determinadas
  prácticas que con otro tipo de representación no
  serían posibles.

58
LA DIMENSIÓN DUAL ELEMENTAL - SISTÉMICO

• El aspecto representacional nos lleva a entender
  la representación de una manera elemental algo
  por algo.
• El valor instrumental nos lleva a entender la
  representación de una manera sistémica, como el
  iceberg de un sistema complejo de prácticas que
  dicha representación posibilita

59
(No Transcript)
60
CARACTERÍSTICAS DE LAS REPRESENTACIONES
VERTICALES

• Sustituyen siempre al objeto (que es
  inaccesible).
• Por tanto, tienen un carácter subrogatorio o
  vicarial.
• (Estas características se dan en las
  representaciones matemáticas)
• Son casi automáticas y poco conscientes.
• Dicho de otras manera, las personas, en su
  vida diaria identifican la representación
  vertical con el objeto representado.

61

• Cuando se diferencia entre representación y
  objeto, se considera que el conocimiento de las
  representaciones permite conocer al objeto
  representado (gracias a que en el proceso de
  representación se preserva algún tipo de
  estructura)
• (Esta creencia también se da en las
  matemáticas. Se considera que mediante las
  representaciones vicariales podemos conocer al
  objeto matemático)
• De hecho, esta creencia es casi inevitable
  cuando de realiza un discurso objetual en
  matemáticas.

62
Dos Aspectos a tener en cuenta

• (1) La clasificación entre representaciones
  inconscientes y conscientes y entre automáticas y
  no automáticas

63

• Hay otras clasificaciones que no vamos a
  comentar
• Peirce (índice, icono y símbolo)
• Representaciones de tipo notacional-formal versus
  representaciones de tipo visual-gráfica.

64

• (2) La esencia de la representación es CONOCER
  algo a partir del conocimiento de otro algo
• Entender la representación en términos de
  instrumento de CONOCIMIENTO la convierte en un
  miembro de una familia cuyos miembros están muy
  relacionados entre sí (analogía, metáfora,
  generalización, etc.).

65
A es B

• Subcategorización (extensivo / intensivo)
• El elemento A cumple las condiciones que
  cumplen todos los elementos de B. (Podemos
  conocer A a partir de conocer B.)
• Representación
• Aplicación de la teoría o las ideas de un
  sistema B en otro sistema A, para poder utilizar
  el aparato teórico o conceptual de B como
  instrumento de análisis de A. (A. Ibarra
  2000)
• Metáfora
• Estructuramos el campo de conocimientos A en
  términos de la estructura que tiene B (conocemos
  A en términos de B)
• (el amor es una guerra)

66

• El circulo que se obtiene al trazar la punta del
  compás es el conjunto de puntos que son solución
  de una ecuación del tipo x2 y2 r 2
• (A es B pasa a ser A es B)
• la expresión x2 y2 r 2 se considera como la
  representación de un círculo
• Un círculo es una ecuación del tipo x2 y2 r 2
  
• Un experto puede transitar sin dificultades por
  esta línea. Un novato puede tener dificultades

67
(No Transcript)
68
LOS PELIGROS DE LA METÁFORA ONTOLÓGICA

• La metáfora ontológica, que tiene su origen en
  nuestras experiencias con objetos físicos,
  permite considerar acontecimientos, actividades,
  emociones, ideas, etc. como si fueran entidades
  (objetos, cosas, etc.) o sustancias.
• Esta metáfora se combina de manera inconsciente
  con otra metáfora ontológica la del contenedor.
  La combinación de dichas metáforas permite
  considerar ideas, conceptos, etc. como entidades
  o sustancias que se contienen unas a otras.
• Faceta extensiva-intensiva.

69

• Las metáforas ontológicas en el discurso escolar
  muchas veces suelen estar implícitas, pero en
  textos matemáticos más formales se pueden
  presentar de manera más explícita.
• Por ejemplo, en el Curso de Geometría de P. Puig
  Adam (1965, pág. 4) se observan claramente en
  los axiomas de existencia y enlace
• Ax. 1.1 -Reconocemos la existencia de
  infinitos entes llamados ltltpuntosgtgt cuyo conjunto
  llamaremos ltltespaciogtgt.
• Ax. 1.2 -Los puntos del espacio se
  consideran agrupados en ciertos conjuntos
  parciales de infinitos puntos llamados ltltplanosgtgt
  y los de cada plano en otros conjuntos parciales
  de infinitos puntos llamados ltltrectasgtgt.

70

• Cuando tratamos con objetos físicos, y no
  problematizamos cómo los percibimos, podemos
  segregar el signo del objeto (la palabra reloj
  y el objeto físico reloj).
• Esta segregación la trasladamos a los objetos
  matemáticos y, por tanto, también segregamos la
  representación del objeto matemático. Además,
  el tipo de discurso que hacemos nos induce a
  creer en la existencia del objeto como algo
  independiente de su representación.

71

• El discurso objetual, que tiene su origen en la
  metáfora ontológica, facilita entender
  implícitamente que existe un objeto matemático
  que se puede representar por diferentes
  representaciones.
• Implícitamente se sugiere un cierto platonismo
• Hay un solo objeto, pero muchas representaciones
  distintas.
• En el discurso matemático objetualse priorizan
  las facetas extensivo-intensivo y
  expresión-contenido.
• Esta última dimensión facilita la segregación
  entre representación y objeto, con lo cual, en
  cierta manera, se da existencia (vida
  independiente) al objeto (algo parecido a cuando
  se considera el espíritu como algo segregado del
  cuerpo).

72

• Consciente de que el discurso objetual conlleva
  el peligro de caer en el platonismo, Wittgenstein
  propone focalizar la atención en el uso de los
  signos matemáticos y recomienda evitar hablar de
  objeto matemático.
• De esta manera no se segrega la representación
  del objeto y éste último pasa a ser una simple
  regla de cómo usar los signos matemáticos.
• En este punto de vista, se entiende la
  representación como una herramienta que se
  puede usar en muchas prácticas diferentes, de
  acuerdo a ciertas reglas.
• Por tanto, se prioriza la dimensión
  elemental-sistémica de la representación.

73
Una solución intermedia.

• Por una parte, no parece posible seguir la
  recomendación de Wittgenstein de evitar hablar
  de objeto matemático.
• Primero, porque el lenguaje objectual se nos
  impone constantemente y resulta casi imposible
  liberarse de él.
• Segundo porque se focaliza demasiado la atención
  en la dimensión elemental-sistémica y se dejan en
  segundo plano otras dimensiones.

74

• Pero, utilizar el lenguaje objetual de
  manera acrítica implica
• Caer en un cierto tipo de platonismo
• Focalizar la atención, sobre todo, en las facetas
  extensivo-intensivo y expresión-contenido

75

• Una posible solución consiste en (1) aceptar
  como inevitable el lenguaje objetual, pero (2)
  ser muy consciente de sus peligros y, dentro de
  lo posible, intentar evitarlos. Para ello.
• Conviene tener presente las cinco facetas duales.
• Ser muy consciente de que hay que controlar el
  uso del lenguaje objetual.

76
Lecturas para ampliar

• Font, V. (2001). Algunos puntos de vista sobre
  las representaciones en didáctica de las
  matemáticas. Philosophy of Mathematics Education
  Journal,14 1-35.
• (Lectura previa recomendada)
• Font, V. y Peraire, R. (2001). Objetos prácticas
  y ostensivos asociados. El caso de la cisoide.
  Educación Matemática, 13(2), 55-67.
• (para ampliar el ejemplo de la cisoide)
• Recuperables en http//www.webpersonal.net/
  vfont
• Godino, J. D. (2002). Un enfoque ontológico y
  semiótico de la cognición matemática. Recherches
  en Didactique des Mathématiques 22, (2/3)
  237-284.
• (para ampliar las dimensiones duales del
  decágono).
• Recuperable en http//www.ugr.es/jgodino/in
  dice_tfs.htm

77
Referencia de las citas

• Goldin, G. y Janvier, C. (1998). Representacion
  and the psychology of mathematics education.
  Journal of Mathematics Behaviour, 17 (1) 1-4
• Goldin, G. y Stheingold, (2001). System of
  representations and the development of
  mathematical concepts. En A. Cuoco y F. R. Curcio
  (Eds.), The roles of representation in school
  mathematics (pp. 1-23).Yearbook 2001. Reston, VA
  NCTM.
• Ibarra, A. (2000). La naturaleza vicarial de las
  representaciones. En A. Ibarra y T. Mormann
  (Eds.), Variedades de la representación en la
  ciencia y en la filosofía (pp. 23-40) Barcelona
  Ariel.
• Kaput, J. (1991). Notations and Representations
  as Mediators of Constructive Processes, en E. Von
  Glasersfeld (ed.) Radical constructivism in
  mathematics education (pp 53-74). Dordrecht
  Kluwer A. P.
• Kaput, J. (1998). Representations, inscriptions,
  descriptions and learning A kaleidoscope of
  windows. Journal of Mathematical Behaviour, 17
  (2), 266-281.