En busca de la verdad 'por el camino de las Matemticas

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En busca de la verdad .por el camino de las
Matemáticas

• Área Ciencia-Religión del Centro Pignatelli
• Javier Otal
• Universidad de Zaragoza

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En busca de la verdad

• VERDAD (DRAE)
• Conformidad de las cosas con el concepto que de
  ellas se forma la mente
• Conformidad de lo que se dice con lo que se
  siente o se piensa
• Juicio o proposición que no se puede negar
  racionalmente
• ....

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Verdad

• probada
• Verdad procesal
• transmitida
• Verdad revelada
• impuesta
• Verdad dogmática
• científica
• Verdad matemática

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ConocimientoDescartes (1596-1650)
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Conocimiento

• Lo que no entendemos crea desconfianza
• producida por desconocimiento
• El desconocimiento genera ignorancia
• El ignorante afirma o niega
• El científico duda
• Voltaire

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Procedimiento científico

• En la ciencia es imperativo dudar
• Para avanzar en la ciencia es necesaria la
  incertidumbre
• Se investiga lo desconocido
• En las ciencias experimentales se va conociendo
  lo que es más probable
• En las ciencias puras se responde a preguntas
• Puede la Ciencia destruir el mundo?

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R. Feynman (1918-1988)

• Yo puedo vivir con dudas e incertidumbre y sin
  saber. Es más interesante vivir sin saber que
  tener respuestas que pueden ser falsas. Yo tengo
  respuestas aproximadas, creencias posibles y
  grados diferentes de certeza sobre asuntos
  diferentes, pero no estoy absolutamente seguro de
  nada.
• Y no me asusta.

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El papel de las Matemáticas

• Ciencia exacta
• Conocimiento del mundo
• lo explican
• lo modelan
• Lo ayudan a desarrollarse
• Planteamiento abstracto
• Axiomas, Postulados
• Armonía y equilibrio
• Teoremas, resultados, demostraciones

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Demostraciones

• Demostraciones por ordenador
• Comprobaciones
• Cálculos por ordenador 1 0,999.?
• Cálculos manuales ? 3,14 3,1416 3,141559
• Teorema de Pitágoras a2 b2 c 2.

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Conocimiento científico y realidad

• Diferencias entre
• Lo que es
• lo que creemos que es
• lo que creemos percibir

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Ejemplo

• IR EN LÍNEA RECTA A UN SITIO

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Ir en línea recta
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Ir en línea recta
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Ir en línea recta
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La recta

• La recta plana
• Concebida como recta euclidiana
• Euclides
• La línea recta es la trayectoria con la distancia
  más corta entre dos puntos

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Analogía

• Si la línea recta es la trayectoria con la
  distancia más corta entre dos puntos cúal es la
  trayectoria más corta de aquí a Nueva Zelanda
  (antípodas)?

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Tierra
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España Nueva Zelanda
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en línea recta!
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Desplazamiento correcto
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Problema

• DESCRIBIR (definir) LÍNEA RECTA

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Elementos de Euclides

• Euclides (365 AC 300 AC)
• 13 libros, ampliados con dos más
• 23 axiomas
• 5 postulados
• Multitud de proposiciones (teoremas)

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Axiomas de Euclides - 1

• Un punto es lo que no tiene parte ni dimensión
• Dimensión cero
• Una línea es una longitud sin anchura
• Dimensión uno
• Una recta es una línea que tiene todos sus puntos
  en la misma dirección
• Una superficie es la que tiene solo longitud y
  anchura
• Dimensión dos

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Punto
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Recta
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Axiomas de Euclides - 2

• Un ángulo plano es la inclinación de dos líneas
  planas secantes
• Ángulo recto, si las líneas son rectas
• Figuras rectilíneas

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Axiomas de Euclides - 3

• Círculo es una figura plana contenida en una
  línea, llamada circunferencia, tal que todas las
  rectas que van desde un punto particular hasta
  puntos de ella, quedando dentro de la figura son
  iguales
• Plaza circular
• Rueda
• Rectas paralelas son las que, estando en el mismo
  plano y prolongándolas indefinidamente en ambos
  sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro
  sentido
• Vías del tren
• Calle

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Paralelas
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Postulados de Euclides

• Una recta puede trazarse desde un punto
  cualquiera hasta otro.
• Una recta finita puede prolongarse continuamente
  y hacerse una recta ilimitada o indefinida
• Una circunferencia puede describirse con un
  centro y una distancia
• Todos los ángulos rectos son iguales

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El quinto postulado

• Si una recta que corte a otras dos forma con
  éstas ángulos interiores del mismo lado de ella
  que sumados sean menores que dos rectos, las dos
  rectas, si se prolongan indefinidamente, se
  cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea
  menor que dos rectos
• Postulado del paralelismo
• Por un punto exterior a una recta pasa una única
  paralela

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Calle - 1
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Calle - 2
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Calle - 3
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Geometría sobre la superficie de la Tierra

• PLANO una esfera
• PUNTO dos puntos diametralmente opuestos

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Plano
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Punto
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Geometría sobre la superficie de la Tierra

• RECTA círculo máximo

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Recta
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Recta
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Recta
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Recta círculo máximo
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Recta círculo máximo
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Geometría sobre la superficie de la Tierra

• SE VERIFICAN LOS PRIMEROS POSTULADOS
  CONVENIENTEMENTE MODIFICADOS

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Punto y recta
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Punto y recta
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Punto y recta
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Punto y recta
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Punto y recta
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No existe el paralelismo!
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Geometría sobre la superficie de la Tierra

• ES UN MODELO DE GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA!

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Geometrías no euclídeas

• Geometría hiperbólica
• K.F. Gauss (1777-1855)
• J. Bolyai (1802-1860)
• N.I. Lobachewski (1792-1856)
• Geometría elíptica
• B. Riemann (1826-1866)

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F. Dostoyevski (1821-1881) - 1

• Me pregunto cuál es nuestro designio. El mío,
  explicar la esencia de mi ser, mi fe y mis
  experiencias. Por eso me limito a declarar que
  admito la existencia de Dios.
• Si Dios existe, si verdaderamente ha creado la
  tierra, la ha hecho de acuerdo con la geometría
  de Euclides, puesto que ha dado a la mente humana
  la noción de las tres únicas dimensiones del
  espacio.

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F. Dostoyevski (1821-1881) - 2

• Sin embargo hay geómetras y filósofos que dudan
  de que todo el universo esté creado siguiendo
  únicamente los principios de Euclides.
• Incluso tienen la audacia de suponer que dos
  paralelas se pueden reunir en otra parte, en el
  infinito.
• En vista de que ni siquiera esto soy capaz de
  comprender, he decidido no intentar comprender a
  Dios.

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Einstein y la relatividad especial

• A. Einstein (1879-1955), 1905
• Al formular sus ecuaciones, éstas dependen de un
  factor F.
• F v(1-v2/c2)
• Evaluación aproximada de F
• c 300000 Km/s
• v 300 Km/h
• F 0,99999999999996. 1

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Geometría riemanniana

• Riemann (1851) estudia geometrías localmente
  euclídeas e introduce el tensor de curvatura
• Su anulación caracteriza la GE
• Einstein (1920) estudia geometría del Universo y
  muestra que la geometría espacio-tiempo tiene
  curvatura
• Teoría general de la relatividad
• Espacio curvo cuatro dimensiones

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D. Hilbert (1862-1942) - 1

• Debate Verdad-Falsedad
• 1900 De todo enunciado se puede demostrar su
  veracidad o falsedad
• Sistema axiomático
• Consistente No se deduce P y no P
• Independiente Los axiomas no se deducen unos de
  otros
• Completo Si P no es cierta, lo es no P

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D. Hilbert (1862-1942) - 2

• El problema de axiomatizar Aritmética y Geometría
• Existe un método que permita decidir sobre
  cualquier problema matemático, es decir,
  resolverlo conjugando un número finito de axiomas
  y teoremas?

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K. Gödel (1906-1978)

• Nunca dispondremos de un programa capaz de
  resolver cualquier problema en un sistema formal
  como la Aritmética o la Geometría cabe formular
  enunciados que no se pueden probar ni no probar,
  demostrar, ni rechazar, sobre los cuales por
  tanto no cabe decidir.
• Por ejemplo, la consistencia misma de los axiomas
  (1931)

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Incompletitud

• En cualquier formalización consistente de las
  matemáticas que sea lo bastante fuerte para
  definir el concepto de números naturales, se
  puede construir una afirmación que ni se puede
  demostrar ni se puede refutar dentro de ese
  sistema
• Ningún sistema consistente se puede usar para
  demostrarse a sí mismo
• Siempre habrá algo que no entenderemos

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Indecidibilidad

• Existen proposiciones indecidibles
• La hipótesis del continuo
• El problema de probar la existencia de Dios es
  indecidible!
• Quizá no se llegue a demostrar científicamente
  que Dios existe
• Pero tampoco que Dios no existe

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A. Einstein (1879-1955)

• El misterio es lo más hermoso que nos es dado
  sentir. Es la sensación fundamental, la cuna del
  arte y la ciencia verdaderos. Quien no la conoce,
  quien no puede asombrarse ni maravillarse, está
  muerto. Sus ojos se han extinguido
• Esta experiencia del misterio está también en el
  origen de la religión

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Evangelio de Juan

• Al principio ya existía el Verbo. Todo se hizo
  por el Verbo y sin el Verbo no se hizo nada. El
  Verbo estaba en el mundo y el mundo fue hecho por
  el Verbo. Y el Verbo se hizo carne y habitó entre
  nosotros y hemos visto su gloria, gloria que
  recibe del Padre como Hijo Único. La gracia y la
  verdad nos han llegado por Jesucristo.
• VerbumLogos Verbo, Palabra, Designio