Dinmica de Poblaciones II

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Dinámica de Poblaciones II

• En esta presentación se analizarán las patrones
  de comportamiento de ecosistemas con
  interacciones de más de dos especies.
• Este tipo de sistemas muestra frecuentemente
  comportamientos caóticos.
• Modelos caóticos se analizarán con muchos
  detalles.

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Contenido

• Generalización de modelos ecológicos
• El modelo de Gilpin
• El movimiento caótico
• Bifurcaciones
• Complejidad estructural y de comportamiento
• Límites de complejidad
• Las fuerzas de la creación

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Generalización de Modelos Ecológicas

• Qué pasa si tres especies compiten para la misma
  fuente de nutrición? El modelo usado antes tiene
  que extenderse de la manera que sigue
• Nunca se encuentran términos como
• ya que un tal término indicaría que no habrá
  competición más entre x2 y x3 si x1 desaparece.

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El Modelo de Gilpin I

• Michael Gilpin analizó el siguiente ecosistema
  con tres especies
• Un solo predador, x3, se alimenta de dos especies
  de presa, x1 y x2 . Ambos presas además compiten
  para la misma fuente de nutrición y sufren
  efectos de apiñamiento.
• La población inicial de las tres especies se puso
  arbitrariamente a 100 animales cada una.
  Simulamos a través de 5000 unidades de tiempo.

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El Modelo de Gilpin II

• El modelo se codificó en Modelica

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El Modelo de Gilpin III

• Se cambiaron algunos parámetros de control de
  simulación

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El Modelo de Gilpin IV
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El Modelo de Gilpin V

• Casi siempre hay muchos animales x2.
• De vez en cuando, la población de los predadores
  (x3) explota mostrando un patrón similar al
  patrón del modelo Lotka-Volterra.
• En seguida, los predadores reducen la población
  de x2 rápidamente.
• La población x1 está normalmente afectada por la
  fuerte competición de la población x2 para la
  misma fuente de nutrición.
• Si la población x2 está diezmada, la población x1
  puede florecer.
• Sin embargo, la población x2 se recupera
  rápidamente, privando de nuevo la población x1 de
  su comida.

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El Modelo de Gilpin VI

• Sin embargo, se observa que el comportamiento de
  este sistema es diferente del anterior. Puede
  verse mejor en retratos de fase.

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El Modelo de Gilpin VII

• En un ciclo límite, los retratos de fase muestran
  una sola órbita.
• El comportamiento observado es caótico. Cada
  órbita es un poco diferente de la anterior. Si
  la simulación continuara para siempre, las
  órbitas cubrirían una región entera del plano de
  fases.
• Comportamiento caótico está causado aquí porque
  las dos presas pueden coexistir a diferentes
  niveles de equilibrio, es decir, el predador
  puede nutrirse tan bien comiendo animales de la
  especie x1 como de la especie x2. Una presa
  puede sustituirse por la otra.
• En sistemas continuos, caos sólo puede ocurrir en
  sistemas de órdenes ? 3.

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La Ecuación Logística Discreta I

• En el caso de sistemas discretos, caos puede
  observarse ya en sistemas del primer orden.
• Para estudiar caos en su forma más pura,
  analizaremos los patrones de comportamiento del
  modelo logístico discreto
• donde a es un parámetro que cambiará de valor
  mediante el experimento.

xk1 a xk (1.0 xk )
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La Ecuación Logística Discreta II
En el intervalo a ? 0.0, 1.0 hay una sola
solución x 0.0.
Con a acercándose al valor de a 1.0, las dos
curvas se ponen más y más paralelas. Por
consecuencia toma más y más iteraciones hasta que
el valor estático está alcanzado.
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La Ecuación Logística Discreta III
En el intervalo a ? 1.0, 3.0 hay dos
intersecciones entre las dos funciones.
Sin embargo, solamente una de las dos soluciones
es estable. Todavía hay un solo valor estático.
La iteración converge rápidamente para valores
intermedios, pero con a acercándose o al valor de
a 1.0 o al valor de a 3.0, la iteración toma
más y más pasos para convergir.
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La Ecuación Logística Discreta IV
En el intervalo a ? 3.0, 3.5 se observa un
ciclo límite discreto.
Por a 3.05 y a 3.3, el ciclo límite discreto
tiene un período de 2.
Por a 3.45 y a 3.5, el ciclo límite discreto
tiene un período de 4.
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La Ecuación Logística Discreta V
En el intervalo a ? 3.5, 4.0, las patrones
observadas se presentan más y más extraños.
Por a 3.56, se observa un ciclo límite discreto
con un período de 8.
Por a 3.6, el comportamiento es caótico.
Por a 3.84, se observa un ciclo límite discreto
con un período de 3.
Por a 3.99, el comportamiento es de nuevo
caótico.
Por a gt 4.0, el sistema es inestable.
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La Ecuación Logística Discreta VI

• Podemos graficar las soluciones estáticas
  estables en función del parámetro a.

La región oscura en la gráfica de la izquierda es
la región caótica. Sin embargo, aun dentro de la
región caótica se encuentran islas no caóticas,
por ejemplo en proximidad de a 3.84.
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Bifurcaciones I

• Cómo pueden encontrarse las bifurcaciones en el
  modelo logístico discreto?
• Un algoritmo simple se presenta en seguida.
• Empezamos con la suposición de un solo valor
  estático fijo
• Ya sabemos que esta suposición es correcta para
  el intervalo a ? 1.0, 3.0.
• Trataremos de encontrar estos dos valores límites.

xk1 a xk (1.0 xk ) ? xk k ? 8
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Bifurcaciones II

• La ecuación tiene dos soluciones, x1 0.0, y x2
  (a 1.0)/a.
• Ya sabemos que la segunda solución, x2, está
  estable.
• Se mueve la solución estable al origen usando la
  transformación
• Genera la ecuación de diferencias

xk xk (a 1.0)/a
xk1 -a xk2 (2.0 a ) xk
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Bifurcaciones III

• Linealizamos esta ecuación de diferencias
  alrededor del origen y obtenemos
• La ecuación de diferencias está marginalmente
  estable por a 1.0 y a 3.0.
• Continuamos ahora suponiendo que existe un ciclo
  límite estable con un período discreto de 2,
  entonces

xk1 (2.0 a ) xk
xk2 a xk1 (1.0 xk1 ) ? xk k
? 8
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Bifurcaciones IV

• Evaluamos esta ecuación de forma recursiva hasta
  que xk2 es solamente una función de xk.
• Obtenemos un polinomio de cuarto orden en xk.
• Las dos soluciones que encontramos anteriormente
  tienen que satisfacer este nuevo polinomio.
  Entonces podemos dividir el polinomio por estas
  dos soluciones y obtenemos otra vez un polinomio
  cuadrado en xk.
• Este nuevo polinomio también tiene dos
  soluciones. Una entre ellas es a 3.0, la otra
  nos da la próxima bifurcación.

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El Modelo de Gilpin VIII

• Miramos ahora otra vez el modelo de Gilpin.
  Cambiaremos el factor de competición k durante el
  experimento
• El valor nominal de k es k 1.0.
• Variaremos k alrededor de su valor nominal.
• Graficaremos solamente la población x1.

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El Modelo de Gilpin IX
Por k 0.98, observamos un ciclo límite con
valores máximos cada vez de la misma altitud.
Por k 0.99, observamos un ciclo límite con
valores máximos que alternan entre dos niveles.
Miramos solamente a las cimas, pudiéramos decir
que tenemos un ciclo límite con un período
discreto de 2.
Por k 0.995, observamos un ciclo límite con un
período discreto de 3.
Por k 1.0, el comportamiento es caótico.
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El Modelo de Gilpin X
Por k 1.0025, k 1.005 y k 1.0075, el
comportamiento se queda caótico.
El comportamiento se queda caótico por valores
de k lt 1.0089.
Por k gt 1.0089, por ejemplo k 1.01, la
población x1 decae rápidamente a cero.
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Comportamiento Real o Artefacto Numérico I?

• En el caso del modelo logístico discreto fuimos
  capaz de analizar el comportamiento observado de
  forma analítica y pudimos verificar que el caos
  ocurre verdaderamente.
• En el caso del modelo de Gilpin no es tan simple
  más.
• Por eso, es razonable preguntarse si las
  trayectorias observadas realmente representan el
  comportamiento analítico del sistema o si nos
  pusimos víctimas de un artefacto numérico.

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Comportamiento Real o Artefacto Numérico II?

• Para verificar la existencia de caos, propongo
  aplicar una transformación logarítmica al modelo
  de Gilpin
• El modelo modificado de Gilpin puede
  represenatrse de la forma siguiente
• Las trayectorias analíticas de los dos modelos
  deben coincidir mientras sus propiedades
  numéricas son distintas.

yi log(xi )
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Comportamiento Real o Artefacto Numérico III?

• Podemos graficar las mapas de bifurcaciones
  discretas de los dos modelos. Si coinciden se
  puede creer que el caos es real también en este
  modelo.

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Complejidad Estructural y de Comportamiento I

• Vimos que una ecuación diferencial determinista
  muy simple puede generar patrones de
  comportamientos increíblemente complejas.

Comportamiento
Comportamiento
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Complejidad Estructural y de Comportamiento II

• Mirando el modelo de Gilpin se podría concluir
  que los comportamientos caóticos son una
  excepción, es decir, que ocurren muy raramente.
• Nada podría ser más lejos de la verdad.
• Con la complejidad estructural (el orden del
  sistema de ecuaciones diferenciales) creciente,
  también las regiones caóticas crecen rápidamente.
  De hecho, dominan pronto los comportamientos del
  sistema entero.
• Por eso es muy sorprendente que nadie identificó
  el caos como comportamiento analítico hasta los
  años sesenta. Anteriormente, los comportamientos
  caóticos siempre se interpretaron como artefactos
  numéricos.

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Caos en Sistemas Mecánicos
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Los Límites de la Complejidad

• Podemos preguntarnos qué limita a la complejidad
  en el universo? Porqué caen las hojas de todos
  los árboles en los otoños y reaparecen en las
  primaveras? Cómo es posible que todavía se
  pueden reconocer estructuras en esta complejidad
  tan loca que gobierna las leyes de la naturaleza?
• Hay tres mecanismos que limitan a la complejidad

• Restricciones físicos Si conectamos dos
  subsistemas, los grados de libertad combinados
  son normalmente más pequeños que la suma de los
  grados de libertad de los dos sistemas
  individuales.
• Mecanismos de control Controladores (copiosos en
  la naturaleza) restringen los modos de
  comportamiento de un sistema.
• Energía Las leyes de la termodinámica indican
  que cada sistema reduce su energía al valor
  mínimo. Eso limita a la complejidad.

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Las Fuerzas de la Creación I

• Caos ofrece a la naturaleza un mecanismo
  importante para innovaciones constantes.
• Normalmente interpretamos la ley de Murphy como
  algo negativo lo que puede extraviarse, lo hará.
  Sin embargo, la ley de Murphy también puede
  interpretarse como algo muy positivo lo que
  puede crecer, con tiempo lo hará.
• Caos es el grande innovador. Eleva cada sistema
  constantemente al nivel más alto de desorden que
  puede.
• Caos está incorporado en el tejido de nuestro
  universo. Al nivel molecular, las moléculas se
  mueven en caos total como las pelotas sobre la
  mesa de trucos. Es lo que identificamos como la
  entropía. La entropía se maximiza.

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Las Fuerzas de la Creación II

• Sin embargo, caos por su mismo nos presentaría
  con un universo que es solamente una acumulación
  de ruido blanco. No se quedaría ninguna
  estructura.
• Para que las estructuras pueden sobrevivir,
  también se necesita una fuerza opuesta, el grande
  organizador, una fuerza que fomenta orden, una
  que tamiza por todas las diferentes posibilidades
  y solamente guarda aquellos que tienen más
  promesa.
• Hablamos de tres mecanismos que lo hacen. El más
  importante entre ellos La energía se minimiza.

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Las Fuerzas de la Creación III

• Los viejos ya sabían de la necesidad de estas dos
  fuerzas opuestas. Hablaban de la lucha perpetua
  del bueno contra el malo. Hablaban de la lucha
  de Dios contra el Diablo.
• El Diablo es el grande estafador. Siempre inventa
  nuevos trucos para ganar sobre el Dios, pero
  nunca le funciona. El Dios siempre arregla las
  cosas para que el mundo no se quede desordenado.

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Las Fuerzas de la Creación IV

• La lucha no debe ganarse por ninguna de las dos
  fuerzas.
• El día que gana el Dios sobre las fuerzas de la
  oscuridad (es lo que pasa si nuestro universo es
  abierto), la temperatura del universo empieza a
  acercarse lentamente al valor del cero absoluto.
• El día que gana el Diablo sobre las fuerzas del
  cielo (es lo que pasa si nuestro universo es
  cerrado), la temperatura del universo empieza a
  aumentarse hasta que las cuatro fuerzas básicas
  se rompen y se reestablece un plasma, un universo
  muy caliente sin ninguna estructura.

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Las Fuerzas de la Creación V
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Conclusiones

• En las últimas dos presentaciones introdujimos
  técnicas inductivas para el modelado de la
  dinámica de poblaciones.
• Sin embargo, estas técnicas no pudieron
  presentarnos con un modelo satisfactorio que
  puede ayudarnos en entender los mecanismos que
  producen el comportamiento oscilatorio en la
  población de los insectos Zeiraphera Diniana
  (Guenée).
• En la próxima presentación se introduce una
  metodología mejorada que nos ayudará en tratar
  con este tipo de sistemas.

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Referencias

• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
  Springer-Verlag, New York, Chapter 10.
• Gilpin, M.E. (1979), Spiral chaos in a
  predator-prey model, The American Naturalist,
  113, pp. 306-308.