Skaiciai

1
Skaiciai
2

• Skaicius užrašome skaitmenu pavidalu.
• Skaitmenys sutartiniai skaiciu ženklai
• Seniausi žinomi egiptieciu (3000 pme),
• Babilonieciu (2000 pme , 60-taine sistema)

3
Arabiški
Babilonieciu
343 560 410 3
CCC XL III
Romeniški
4
Skaiciavimo sistema tai skaiciu vaizdavimo
budas skaitmenimis. Visos žinomos skaiciavimo
sistemos skirstomos i 2 grupes nepozicines
skaiciavimo sistemos, pozicines skaiciavimo
sistemos.
5
Nepozicine skaiciavimo sistema - pradeta vartoti
anksciausiai. Remiantis archeologiniais
radiniais, penkiataine nepozicine sistema jau
buvo vartojama prieš 20.000 metu rastas kaulas,
subraižytas skaiciu grupemis po penkis.
Skaitmens (žymes) vieta šioje sistemoje neturi
reikšmes, nes nuo to, kurioje vietoje yra
skaitmuo, jo skaitine reikšme nekinta arba
kitimas labai ribotas.
6
Nepozicine skaiciavimo sistema Skaitmens
vieta šioje sistemoje (dalinai) neturi reikšmes,
nes nuo to, kurioje vietoje jis yra, skaitine
reikšme nekinta arba kitimas labai
ribotas. Graikijoje VI apme atsirado antikine
numeracija 1 2 3 4 5 10 100 1000 10000 I II III
IIII ? ? ? X M Mes geriau žinome romeniškus
(etrusku) skaitmenis (V apme) 1 2 3 4 5 10
50 100 500 1000 I II III IV V X
L C D M Skaitmens vieta dalinai reikšminga jei
mažesnis skaitmuo eina prieš didesni, jis
atimamas, jei po - pridedamas. VIII, XIX,
7
Pozicineje skaiciavimo sistemoje skaiciaus verte
priklauso nuo skaitmens padeties skaiciuje. Pvz.
turime skaiciu 777. Matome, kad skaiciu sudaro
trys septynetai, taciau kiekvieno iš ju verte yra
skirtinga pirmas septynetas yra 10 kartu
didesnis už antra ir 100 kartu didesnis už trecia
septyneta. Ši skaiciu galima išskleisti
taip 777 7102 7 101 7 100
Arabiškieji skaitmenys iš Indijos V a.
8
Anot žymaus senoves Babilono matematikos
tyrinetojo O. Nuigebauerio, pozicine skaiciavimo
sistemos išradimas, be abejo, buvo vienas iš
labiausiai vaisingu išradimu žmonijos istorijoje.
Babilonieciu sistema galutinai susiformavo
treciosios Uro dinastijos metais (taip vadinami
valdovai, padare Uro miesta savo sostine XXI a.
pr. m. e.). Ji buvo artima dabar musu naudojamai
pozicinei skaiciavimo sistemai, kur skaitmens
vieta (pozicija) skaiciuje nusako jo eile,
pavyzdžiui, 13 ? 31, nes 13 11013100.
Kitaip, negu senoves Egiptieciu, cia buvo
naudojama šešiasdešimtaine skaiciavimo sistema,
kartu prie jos pridedant žymiai senesne
dešimtaine sistema. Pagrindine šios sistemos
ypatybe skaiciai mažesni už 60, budavo užrašomi
adityviai su dešimtainiu pagrindu. Skaiciai,
didesni už 60, buvo pateikiami pozicineje
sistemoje, kurios pagrindas 60. Toks adityvinis
pozicinis skaiciaus išreiškimas vartotas
išimtinai tik Mesopotamijos tautu. Yra dar vienas
bruožas, skiriantis šia sistema nuo senoves
Egiptieciu, - skaiciui užrašyti buvo vartojamas
tik vienas simbolis, kurio padetis bei
atitinkamos šiu simboliu kombinacijos ir
nusakydavo skaiciaus reikšme.
9
Babilonieciu
Cia buvo naudojama šešiasdešimtaine skaiciavimo
sistema, kartu prie jos pridedant žymiai senesne
dešimtaine sistema. Pagrindine šios sistemos
ypatybe skaiciai mažesni už 60, budavo užrašomi
adityviai su dešimtainiu pagrindu. Skaiciai,
didesni už 60, buvo pateikiami pozicineje
sistemoje, kurios pagrindas 60. Yra dar vienas
bruožas, skiriantis šia sistema, - skaiciui
užrašyti buvo vartojamas tik vienas simbolis,
kurio padetis bei atitinkamos šiu simboliu
kombinacijos ir nusakydavo skaiciaus reikšme.
Visi skaiciai nuo 1 iki 9 žymimi vertikaliu
danteliu . Skaicius 10 užrašomas
horizontaliu danteliu . Paskui visi skaiciai
iki 59 budavo užrašomi horizontaliu ir vertikaliu
danteliu pagalba. Skaicius 60 vel budavo žymimas
horizontaliu danteliu. 343 560 410
3
10
Dvejetainiai, aštuntainiai, skaiciai

• Taigi, pozicinese skaiciavimo sistemose
  kiekvienas skaitmuo skaiciuje turi tam tikra
  svori. Todel bet koki sveikaji skaiciu A galime
  užrašyti
• A am-1.pm-1am-2.pm-2 a2.p2a1.p1a0.p0
• A am-1am-2a2a1a0
• Cia p skaiciavimo sistemos pagrindas.
• Todel,
• 184710 1x1038x1024x1017x100

11
Skaiciavimo sistemos desningumai

• Imkime dešimtaini skaiciu 125
• 125 a2a1a0 a2.102a1.101 a0.100
• Cia 10 skaiciavimo sistemos pagrindas.
• Taigi, 1847 1x1038x1024x1017x100
• Taisykle koeficientu ai vertes nuo 0 iki p-1

12
Dvejetainiai, aštuntainiai, skaiciai

• Dar karta pažiurekime i išraiška
• A am-1.pm-1am-2.pm-2 a2.p2a1.p1a0.p0
• Jeigu ši skaiciu padalinsime iš p (skaiciavimo
  sistemos pagrindo), gausime sveikaja dali
• am-1.pm-2am-2.pm-3 a2.p1a1.p0 ir liekana
  a0.
• Gautaja sveikaja dali vel padaline iš p, gausime
  sveikaja dali am-1.pm-3am-2.pm-4 a2.p0 ir
  liekana a1.
• Vadinasi, noredami rasti skaiciaus A užraša
  kurioje nors skaiciavimo sistemoje, turime
  nuosekliai dalyti A iš tos sistemos pagrindo ir
  fiksuoti gautasias liekanas.

A am-1.pm-1am-2.pm-2 a2.p2a1.p1a0.p0a-1.p
-1a-2p-2
11011002 10810
13
Dvejetainiai, aštuonetainiai, šešioliktainiai
sveikieji skaiciai

• 11011002 ?10
• A an-1dn-1 an-2dn-2 a3d3 a2d2 a1d1
  a0d0
• 1 1 0 1 1 0 02
• n 6 5 4 3 2 1 0
• 11011002 26 25 23 22 643284 108
• 11011002 1548 1?82 5?81 4?80 64404
  108

14
Dvejetainiai, aštuonetainiai, šešioliktainiai
sveikieji skaiciai

• 11011002 ?10
• A an-1dn-1 an-2dn-2 a3d3 a2d2 a1d1
  a0d0
• A d(an-1dn-2 an-2dn-3 a3d2 a2d1 a1)
  a0
• d(d(an-1dn-3 an-2dn-4 a3d1 a2)
  a1) a0
• d(d(d(d(an-1d an-2) a3) a2)
  a1) a0
• (((((an-1d an-2)d an-3)d a3)d
  a2)d a1)d a0
• 11011002 (((((1?21) ?20) ?21) ?21) ?20)
  ?20 108

3
6
13
27
54
15
Dvejetainiai, aštuonetainiai, šešioliktainiai
sveikieji skaiciai

• 10810 ?2 ?8 ?16
• 108
• 54 0
• 27 0
• 13 1
• 6 1
• 3 0
• 1 1
• 1

10810 11011002
16
Dvejetainiai, aštuonetainiai, šešioliktainiai
sveikieji skaiciai
108 8 4 13 8 5
1 10810 154 8 10810 1 101 100
2 1 5 4 10810110 1100
26C16 6 C
1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110
E 1111 F
17
Dvejetainiai, aštuonetainiai, šešioliktainiai
sveikieji skaiciai

• 10810 ?2 ?8 ?16
• 108
• 54 0
• 27 0
• 13 1
• 6 1
• 3 0
• 1 1
• 10810 11011002

108 8 1001 9 4 13 8 1010
A 5 1 1011 B 1100
C 10810 154 8 1101 D 1110
E 10810 1 101 100 2 1111 F 1
5 4 10810110 110026C16 6 C
18
X 0 1
0 0 0
1 0 1
19
0 1
0 0 1
1 1 0
1)
20
13 5
1101 101 1 1 0 1 0 0 0 0 ? 1 1 0 1 ?? 1 0 0
0 0 0 1
X
gt 65
21
Neigiamu skaiciu kodavimas

• Neigiami sveikieji skaiciai gali buti pateikiami
• tokiais kodais

• tiesioginiu,
• atvirkštiniu,
• papildomuoju.

Kodas A0 Alt0
Tiesioginis 0.A 1.A
Atvirkštinis 0.A 1.A
Papildomasis 0.A 1.A1
22
Neigiami skaiciai?
- gt 1, 0 ?
13 -5
23
Neigiami skaiciai?
- gt 1, 0 ?
Papildomas kodas? Teig sk -1, inversija
-5 101 0101 -gt 1011 -13 1101 1101 -gt 0011
24
Sveikieji skaiciai

• Sveikieji skaiciai gali buti

i7 i6 i5 i4 i3 i2 i1 i0

• be ženklo
• su ženklu
• Diapazonas

s i6 i5 i4 i3 i2 i1 i0
n Be ženklo Be ženklo Su ženklu Su ženklu
n min max min max
8 0 255 -128 127
16 0 65536 -32768 32767
32 0 232-1 -231 231-1
25
Neigiamu skaiciu kodavimas

• Tegul skaiciui koduoti skirtos 8 skiltys.
• Pažiurekime, kaip tiesioginiu, atvirkštiniu ir
  papildomuoju kodais turi buti koduojami skaiciai
  108 ir -108 (1081011011002)

Kodas 108 -108
Tiesioginis 0.1101100 1.1101100
Atvirkštinis 0.1101100 1.0010011
Papildomasis 0.1101100 1.0010100
Papildomajame kode skilciu svorius galima
interpretuoti taip
-128 64 32 16 8 4 2 1
Iš tikruju -128 16 4 -108
26
Realus skaiciai

• 101,01
• Kablelis sk.viduryje nepatogu skaiciuoti
• Sprendimas
• Fiksuoto kablelio skaiciai
• Slankaus kablelio skaiciai

27
Fiksuoto kablelio skaiciai

• isivaizduojamas kablelis
• prieš vyriausia skilti
• arba
• po jauniausios skilties
• Jei - viena skiltis ženklui,
• t.y. rašomas tik ženklas ir mantise, eile
  atskirai (fiksuota)

Ž 0 0 0 0 1 0 1
,
,
20
28
28
Slankaus kablelio skaiciai

• aprašomi eile ir mantise (iskaitant ženklus)

Ž 0 0 Ž 0 1 0 1
eile mantise
Mantise visada normalizuojama, ty parenkama, kad
visada butu 1gtqgt1/2. (taip, sutarus, kad mantise
visada normuota, galima sutaupyti dar viena bita
1)
101,10011 1,101

Atliekant veiksmus denormalizuoti suderinti
eile
29
Fiksuoto kablelio skaiciai Slankaus kablelio
skaiciaiPrivalumai ir trukumai
101,10011 1,101

Atliekant veiksmus denormalizuoti suderinti
eile
30

• Integers are usually stored as sequences of
  bytes, so that the encoded value can be obtained
  by simple concatenation. The two most common of
  them are
• increasing numeric significance with increasing
  memory addresses or increasing time, known as
  little-endian, and 1 13
• 2 45 gt 4513
• its opposite, most-significant byte first, called
  big-endian
• A9 9A
• A9 12 12 A9

31
"Little Endian" means that the low-order byte of
the number is stored in memory at the lowest
address, and the high-order byte at the highest
address. (The little end comes first.) For
example, a 4 byte LongInt Byte3 Byte2 Byte1
Byte0 will be arranged in memory as follows
Base Address0 Byte0 Base Address1 Byte1 Base
Address2 Byte2 Base Address3 Byte3 Intel
processors (those used in PC's) use "Little
Endian" byte order. "Big Endian" means that the
high-order byte of the number is stored in memory
at the lowest address, and the low-order byte at
the highest address. (The big end comes first.)
Our LongInt, would then be stored as Base
Address0 Byte3 Base Address1 Byte2 Base
Address2 Byte1 Base Address3 Byte0 Motorola
processors (those used in Mac's) use "Big Endian"
byte order.
32
Which is Better? Both formats have their
advantages and disadvantages. In "Little
Endian" form, assembly language instructions for
picking up a 1, 2, 4, or longer byte number
proceed in exactly the same way for all formats
first pick up the lowest order byte at offset 0.
Also, because of the 11 relationship between
address offset and byte number (offset 0 is byte
0), multiple precision math routines are
correspondingly easy to write. In "Big Endian"
form, by having the high-order byte come first,
you can always test whether the number is
positive or negative by looking at the byte at
offset zero. You don't have to know how long the
number is, nor do you have to skip over any bytes
to find the byte containing the sign information.
The numbers are also stored in the order in which
they are printed out, so binary to decimal
routines are particularly efficient.
33
Endianness is the ordering convention that two
parties that wish to exchange information will
use to send and receive this information when
they need to cut the information down to pieces.
Say Joe wants to send the word "SONAR" to his
friend Moe across town. However, he can only
attempt this using small cards that fit just
three letters at a time. Since English uses
big-endian order (for the most part), Joe will
first send SON and then AR. Moe needs to be using
the same convention as Joe when receiving this
information such that when he receives the first
part (SON) he knows that this is the beginning of
the word, then when he receives the other part
(AR) he knows that it goes at the right hand (or
little) end. If Moe is unaware and assumes the
inverse, he ends up with the word "ARSON" and
confusion ensues. This same concept applies to
computer applications which need to store all
values into bytes (often breaking them apart and
putting them back together). The application
storing the values and that reading the values
need to be the same in terms of
endianness. Little-endian order is not unheard
of in English. Outside the US, English uses the
little-endian date format (DD/MM/YY). Examples of
middle-endianness include the U.S. date format
(MM/DD/YY) or U.S. street addresses of the form
123 Any St., Suite 101, Yourtown, ST, USA.
Lietuviškas datos formatas ?
34
Well known processor architectures that use the
little-endian format include x86, 6502, Z80, VAX,
and, largely, PDP-11. Processors using
big-endian format are generally Motorola
processors such as the 6800 and 68000 and PowerPC
(which includes Apple's Macintosh line prior to
the Intel switch) and System/370. SPARC
historically used big-endian, though version 9 is
bi-endian. The PDP-10 also uses big-endian
addressing for byte-oriented instructions.
Network protocols are also generally in
big-endian format see endianness in networking.

• bi-endian, said of hardware, denotes the
  capability to compute or pass data in either of
  two different endian formats.

35
Kilme

• The term big-endian comes from Jonathan Swift's
  satirical novel Gullivers Travels, where
  tensions are described in Lilliput and Blefuscu
  whereas royal edict in Lilliput requires cracking
  open one's soft-boiled egg at the small end,
  inhabitants of the rival kingdom of Blefuscu
  crack theirs at the big end (giving them the
  moniker Big-endians).3 The terms little-endian
  and endianness have a similar intent.4

36

• IT specialistai susigrums orientacinese varžybose
  Vilniuje
• Visi Lietuvos informaciniu technologiju
  specialistai kvieciami i sistemu administratoriu
  turnyra 6 val. trukmes orientacini žaidima
  Vilniaus mieste SysAdmin 2011, skirta Baltnetos
  taurei laimeti. IT specialistu komandos varžysis
  spresdamos aukštos kompetencijos reikalaujancias
  užduotis, ju ieškoti teks atlikineti visoje
  Vilniaus miesto teritorijoje.
• Administratoriu miesto turnyras SysAdmin 2011
  vyks spalio 6 diena. Turnyro nugaletoju komandai
  viena iš didžiausiu Lietuvoje duomenu perdavimo
  ir IT paslaugu teikeja Baltnetos komunikacijos
  isteige 1000 euru vertes priza. Taip pat dalyviu
  laukia ir renginio remeju, IT sprendimus
  teikiancios kompanijos DS Solutions, bei
  pasaulines saugumo sprendimu kurejos ESET siulomu
  produktu platintojos NOD Baltic isteigti
  specialieji prizai.

37

• Užduotis 
• Prieš keliasdešimt metu vištu fermoje susigincijo
  2 adminai - Aras ir Rasa. Kuriais metais pirma
  karta buvo aprašytas panašus konfliktas?
•  Sprendimas 
• Perskaite užduoti, galime pastebeti pora dalyku
  1. Pagrindine nurodytos fermos produkcija yra
  kiaušiniai 2. Adminu vardai susideda iš tu paciu,
  taciau skirtingai išdestytu raidžiu. Nueiname i
  Google ir ivedame klausima, paremta musu
  pastebejimais, tarkime "egg conflict computer ".
  Jau pirmame dokumente randame, kad tikrai buvo
  toks konfliktas tarp Little Endian bei Big Endian
  kompiuteriu, o jo pavadinimas kilo iš Jonathan
  Swift knygoje "Guliverio keliones" aprašyto
  liliputu konflikto - anie pešesi, kuri kiaušinio
  gala buka ar smaila reikia daužti. Taigi,
  atsakymas - tai knygos išleidimo metai - 1762 m.
• Sunkiausia, sprendžiant ši klausima - tai
  patiketi, kad gali buti ryšys tarp kiaušiniu bei
  kompiuteriu -)

38
Informacijos tipai kompiuteriuose

• minejome, kad n skilciu dvejetainis žodis
  kompiuteryje atitinka tokius informacijos tipus
• duomenis (skaicius, dvejetainius vektorius ar
  simbolius),
• komandas,
• atminties lasteliu arba ivesties ir išvesties
  itaisu adresus.
• Šiuolaikiniuose kompiuteriuose galima sutikti ir
  kitokius informacijos tipus
• Žymes tegus (tags) bitu grupes, kurios nurodo
  palydimos informacijos tipa
• informacijos vienetu deskriptorius
• informacijos vienetu identifikatorius (vardus).