Brojevi u starim kulturama

1
Brojevi u starim kulturama

• Ivana Šovagovic, studentica Odjela
  za matematiku

2

• Brojevni sustav Egipta (3000.
  g. pr. Kr.)

3

• HIJEROGLIFI
• pismo se sastoji od raznih simbola i slicica
• ima 7 simbola pomocu kojih zapisujemo brojeve
  
• baza 10

1973
Primjer
2235102
125
4
HIJERATSKI BROJEVI

• mijenjali su se tijekom vremena

• Boyer ( prije 50 godina)

Korišteni pojedinacni znakovi za

• jedinice (1, 2,9)

• desetice (10, 20,90)

1800 p.n.e

• stotice(100, 200,900)

• tisucice (1000, 2000,9000)

• nisu bili pisani u sustavu mjesnih vrijednosti

• adicijski sustav

Primjeri
1600 p.n.e
5
Demotski brojevi

• nastalo u 8 st. pr. Kr iz hijeratskih brojeva
• drugaciji nacin zapisivanja brojeva -gt isti
  princip kao hijeratski brojevi
• 664-525. pr. Kr -gt glavno pismo
• koristilo se do polovice 5. st pr. Kr
• Demotski sustav brojeva ce preuzeti i Stari Grci
• Demotsko pismo se dijeli na tri perioda
• rano demotsko pismo (650 - 400 p.n.e.)
• srednje (ptolomejsko) demotsko pismo (400 - 30.
  p.n.e.)
• kasno (rimsko) demotsko pismo (30. p.n.e. - 452)

6
RAZLOMCI
Poznavali su samo jedinicne razlomke
zapisivali tako da zapišu nazivnik i iznad njega
stave simbol otvorenih usta
Specijalni znakovi su postojali samo za ? i ¾
Primjer
oko boga Horusa
cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1
7

• Babilonski brojevni sustav (oko
  2000. g. pr. Kr.)

8

• u pocetku koristili pet simbola

Danas za prikaz brojeva koristili "jedinice" i
"desetice" koriste dva simbola

Primjer
broj 95
60305
9
baza 60
Primjer
Brojevni sustav s bazom šezdeset u
babilonskoj matematici
10
Tablica reciprocnih brojeva

Objašnjenje
11

• Grcki brojevni sustav (oko 900. pr. Kr.
  200. poslije Kr.)

12
Imali dva usporedna brojevna sustava
Prvi je bio zasnovan na pocetnim slovima imena
brojeva
Primjer
Baza 10

• 5678

13
Drugi je upotrebljavao sva slova grckog alfabeta
i tri iz fenickog
Primjer
Adicijski sustav brojeva

• 269

14

• Rimski brojevni sustav (400. pr. Kr. - 600.
  poslije Kr.)

15

• jedan je od najpoznatijih brojevnih sustava u
  povijesti ljudske civilizacije
• jedan znak predstavlja jednu vrijednost
• nije osnovan na nekom baznom broju
• osnovne znamenke u rimskom brojevnom sustavu su
  
• I, V, X, L, C, D, M
• ( ima ih sedam)

NEPOZICIJSKI brojevni sustav
Vrijednost znamenki
I ? 1 V ? 5 X ? 10 L ? 50 C ? 100 D ?
500 M ? 1000
16
Za zapisivanje brojeva uobicajeno je koristiti
uzastopno najviše tri ista znaka
17

• Pravila za pisanje rimskih brojeva

• Ako su znamenke napisane jedna do druge tako
  da desna nije veca od
• lijeve, onda se vrijednosti znamenki zbrajaju

Primjer (zbrajanje znamenki) L X V I I
LXVII 5010511 67

• Ako su znamenke napisane tako da je vrijednost
  lijeve znamenke
• manja od desne, onda se vrijednost lijeve
  znamenke oduzima od
• vrijednosti desne

• Primjer (oduzimanje znamenki)
• IV 4
• IX 9

18
Najveci broj koji bi se mogao napisati
rimskim brojevnim sustavom je MMM
CM XC IX 3000 900 90 9
3999
Primjer citanja rimskih brojeva CXXIX
CXX 120 nakon cega dolazi IX gdje
je X veci od I i nalazi mu se s desne strane
pa se I mora oduzeti od X te iznosi 9, što se
dodaje broju 120 pa iznosi 129 CXXIX 129
19
Što je sa brojevima koji su veci ili jednaki
4000 ?
5 000 10 000 50 000
500 000 1 000 000  
XV 15 -gt 15 000 CMXXIV 924 -gt
924 000 
20
Mane sustava

• Njegova ogranicenost
• Nema decimalnih brojeva
• Velik broj znamenaka za velike brojeve
• Nepostojanje nule

21
Latinski nazivi rimskih brojeva 
I - unus, una ,unum XI unadecim II - duo, duae,
duo XII duodecim III - tres, tria XIII -
tresdecim IV - quattuor XIV - quattuordecim V -
quinque XV - quinquedecim VI - sex XVI -
sedecim VII - septem XVII - septedecim VIII -
octo XVIII - duodeviginti IX - novem XIX -
unadeviginti X - decem XX - viginti XXIV -
quattuoretviginti XXX triginta
22
Kineski brojevni sustav (oko 1400.-1100. g. pr.
Kr.)
23
Primjer

• najprije racunali ?na prste?

• u 2. tisucljecu prije Krista imali su imali
  simbole za brojeve

4359
5080
baza 10
2000.god. pr. Kr.
24
kasnije se racunalo pomocu štapica

• brojevi od 1 - 5 bili su prikazivani kao
  horizontalne crtice

• brojevi od 6 9 su prikazivani kao jedan
  vertikalni štapic
• te kombinacija od nekoliko horizontalnih
  štapica

400.god pr.Kr

• nakon uvodenja negativnih brojeva,
• štapici za racunanje su se izradivali u dvije
  boje
• - crveni za pozitivne
• - crni za negativne brojeve

25
s vremenom kinesko se pismo malo promijenilo i
oblikovalo

• suvremeni kineski znakovi za brojeve

26
Citanje kineskih brojeva
nihyaku - 200sanbyaku - 300yonhyaku -
400gohyaku - 500roppyaku - 600shichihyaku ili
nanahyaku - 700hapyaku - 800kyuhyaku - 900

• 1 - ichi 2 - ni 3 - san
  4 - shi ili yon 5 - go 6 - roku 7
  - shichi ili nana 8 - hachi 9 - kyu
• 10 ju
• 100 hyaku
• 1000 - sen
• 10 000 - man

65 Roku juu go Šestdeset pet67 Roku juu nana
Šestdeset sedam69 Roku juu ku Šestdeset
devet74 Nana juu yon Sedamdeset cetiri76 Nana
juu roku Sedamdeset šest83 Hachi juu san
Osamdeset tri
27

• Brojevni sustav Maya (indijansko pleme,
  srednja Amerika, 3.-10. st.)

28
Baza 20
zapisivali brojeve pomocu samo 3 simbola
tablica s brojevima
29

• Brojevni sustav Azteka(srednja Amerika, 15.-16.
  st.)

30
Koristili cetiri simbola
baza 20
1 ? zrno kukuruza ?
Primjer
39
9000
9287
31

• Indijski brojevni
  sustav

32

• Indijski nacin zapisivanja brojki bio je temelj
  europskom nacinu
• zapisivanja koji je danas jako proširen
• prvi put se pojavljuje nula (vjerojatno od 4.
  st., sigurno od 9. st.)
• sunya -gt praznina
• uvodenje negativnih brojeva

Imali su tri razlicita tipa brojevnih sustava

• KHAROSTHI (oko 400.-200. pr. Kr.)
• BRAHMI (oko 300. pr. Kr.)
• GWALIOR (oko 850. poslije Kr.)

33
Brahmi (1. stoljece poslije Kr.)

• dekadski brojevni sustav znamenke 1,.9

• iz njega se razvio arapski brojevni sustav

• prvi pravi pozicijski sustav

• imali su posebne simbole i za vece brojeve
• 10, 20, 30, 40, ... ,
• 90, 100, 200, 300, 400, ...,
• 900, 1000, ...

34

• Arapski brojevni sustav

35
Tri tipa aritmetike

• 1. Racunalo se na prste brojevi se pišu
  rijecima

2. Seksadecimalni sustav brojevi oznaceni
arapskim slovima

36
3. Indijski dekadski sustav

• brojke koje danas koristimo nazivaju se arapske
  brojke

• nasljedene iz indijskog Brahmi sustava

• iz zapadno arapskih brojki razvile su se
  današnje europske brojke

• sastoje se od znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
  7, 8, 9

• pozicijski brojevni sustav

37

• Japanski brojevni sustav

38

• U Japanu se koriste dva sustava brojeva
• jedan je originalno japanski
• drugi je kineski koji je prihvacen prije oko
  1000 godina
• Preko broja deset koriste se samo kineski brojevi

1 Hitotsu Jedan2 Futatsu Dva3 Mittsu / Mi
Tri4 Yottsu / Yon Cetiri5 Itsutsu Pet6
Muttsu / Mu Šest7 Nanatsu / Nana / Sebun
Sedam8 Yattsu / Ya / Hatsu / Eito Osam9
Kokonotsu Devet10 To / Too Deset
39
Africki brojevni sustav
40
800 godina prije Krista Fenicani donijeli zapadno
azijski brojevni sustav
Rimljani poducavaju sjevernoafricke studente o
grckoj geometriji
Vecina ljudi u sjevernoj i istocnoj Africi je
koristila indijski brojevni sustav
brojevni sustav koji se temelji na bazi 10, a
dijelom na bazi 20 ? narod Yoruba
41
Narod Yoruba
Koristili brojevni sustav koji se temelji na bazi
10, a dijelom na bazi 20
U knjizi Africa Counts, Claudia Zaslavsky,
opisuje brojevni sustav Yoruba
Citanje brojeva Yoruba 20 ogun 40 ogun
meji 200 igba 400 irinwo
42
Objašnjenje Yoruba brojevnog sustava
Brojevi od 1 do 10 imaju jedinstvene
nazive Brojevi 11, 12, 13 i 14 se zapisuju
11101
13103 12102
14104 Brojevi od 15 do
19 su napisani pomocu oduzimanja od broja
20 Brojevi 21, 22, 23 i 24 se zapisuju
21201
23203 22202
24204 Brojevi od 25 do 29 zapisuju se kao
oduzimanje od 30 Svaki broj veci od 30 se
zapisuje kao odredeni broj puta 20 ?
plus/minus desetica i jedinica
43
Primjer 35 (2 20) - 5 47 (3 20) - 10 -
3 51 (3 20) - 10 1 55 (3 20) - 5 67
(4 20) - 10 - 3 73 (4 20) - 10
3 86 (520) - 10 - 4 117 (620) - 3
44
Literatura

• Baze u drugim i nacin kulturama, Doc. dr. sc.
  Blaženka Divjak
• Povijest Matematike1, Franka Miriam Bruckler
• http//free-bj.htnet.hr/zbjelanovic/index.html
• http//ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatemati
  ke/prva.htm
• http//www.skole.hr/ucenici/os_nizi?news_hk5283n
  ews_id183mshow345
• http//www.prenhall.com/divisions/esm/app/ph
  elem/multicult/html/chap3.html
• http//www.historyforkids.org/learn/africa/science
  /numbers.htm
• http//sh.wikipedia.org/wiki/Egipatski_brojevi
• http//sh.wikipedia.org/wiki/GrC48Dki_brojevi