Dalla relativit

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Dalla relatività Galileiana
1564 - 1642
agli albori di quella Einsteiniana
1879 - 1955
2
da Galileo, Dialogo sopra i due massimi sistemi
del mondo
Riserratevi con qualche amico nella maggiore
stanza che sia sotto coverta di alcun gran
navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e
simili animaletti volanti siavi anco un gran
vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti sospendasi
anco in alto qualche secchiello, che a goccia a
goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso
di angusta bocca, che sia posto a basso e stando
ferma la nave, osservate diligentemente come
quelli animaletti volanti con pari velocità vanno
verso tutte le parti della stanza i pesci si
vedranno andar notando indifferentemente per
tutti i versi le stille cadenti entreranno tutte
nel vaso sottoposto e voi, gettando all'amico
alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete
gettare verso quella parte che verso questa,
quando le lontananze sieno eguali e saltando
voi, come si dice, a piè giunti, equali spazii
passerete verso tutte le parti. Osservate che
avrete diligentemente tutte queste cose, benché
niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta
fermo non debbano succeder così, fate muover la
nave con quanta si voglia velocità che (pur che
il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in
là) voi non riconoscerete una minima mutazione in
tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli
potrete comprender se la nave cammina o pure sta
ferma.
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Voi saltando passerete nel tavolato i medesimi
spazii che prima, né, perché la nave si muova
velocissimamente, farete maggior salti verso la
poppa che verso la prua, benché, nel tempo che
voi state in aria, il tavolato sottopostovi
scorra verso la parte contraria al vostro salto
e gettando alcuna cosa al compagno, non con più
forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli
sarà verso la prua e voi verso la poppa, che se
voi fuste situati per l'opposito le gocciole
cadranno come prima nel vaso inferiore, senza
ca-derne pur una verso poppa, benché, mentre la
gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi
i pesci nella loro acqua non con più fatica
noteranno verso la precedente che verso la
sussequente parte del vaso, ma con pari
agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia
luogo dell'orlo del vaso e finalmente le
farfalle e le mosche continueranno i lor voli
indifferentemente verso tutte le parti, né mai
accadere che si riduchino verso la parete che
riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in
tener dietro al veloce corso della nave, dalla
quale per lungo tempo, trattenendosi per aria,
saranno state separate e se abbrucciando alcuna
lagrima d'incenso si farà un poco di fumo,
vedràssi ascender in alto ed a guisa di nugoletta
trattenervisi, e indifferentemente muoversi non
più verso questa che quella parte. E di tutta
questa corrispondenza d'effetti ne è cagione
l'esser il moto della nave comune a tutte le cose
contenute in essa ed all'aria ancora, che per ciò
dissi io che si stesse sotto coverta che quando
si stesse di sopra e nell'aria aperta e non
seguace del corso della nave, differenze più e
men notabili si
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vedrebbero in alcuni de gli effetti nominati e
non è dubbio che il fumo resterebbe in dietro,
quanto l'aria stessa le mosche parimente e le
farfalle, impedite dall'aria, non potrebber
seguire il moto della nave, quando da essa per
spazio assai notabile si separassero ma
trattenendovisi vicine, perché la nave stessa,
come di fabbrica anfrattuosa, porta seco parte
dell'aria sua prossima, senza intoppo o fatica
seguirebbon la nave, e per simil cagione veggiamo
tal volta, nel correr la posta, le mosche
importune e i tafani seguir i cavalli, volandogli
ora in questa ed ora in quella parte del corpo
ma nelle gocciole cadenti pochissima sarebbe la
differenza, e ne i salti e ne i proietti gravi,
del tutto impercettibile.
Oggi la scoperta di Galileo viene espressa, con
linguaggio moderno, come principio di relatività
galileiana le leggi della fisica sono le stesse
in tutti i sistemi di riferimento che si muovono
tra loro di moto rettilineo uniforme (detti
sistemi inerziali). Quindi, in particolare, le
leggi che valgono in un sistema di riferimento
inerziale rimangono valide in tutti i sistemi di
questo tipo. NB II principio di relatività
galileiana dice che nei due sistemi di
riferimento le leggi sono le stesse, non che la
descrizione del moto è identica.
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Riassumiamo la relatività Galileiana come
trattato in Levoluzione della fisica di
A.Einstein-L.Infeld
1) Non si conoscono regole per trovare un sistema
inerziale. Ma dato che ne esista uno, se ne
possono trovare altri in numero infinito, poiché
tutti i sistemi di coordinate in moto uniforme
l'uno relativamente all'altro, sono dei sistemi
inerziali, sempreché uno di essi lo sia. 2) II
tempo corrispondente ad un evento è lo stesso in
tutti i sistemi di coordinate. Ma le coordinate e
le velocità sono diverse e differiscono in
conformità alle leggi di trasformazione. 3)
Ancorché coordinate e velocità differiscano
quando si passa da un sistema di coordinate ad un
altro, forza ed accelerazione e pertanto le leggi
della meccanica sono invarianti rispetto alle
leggi di trasformazione. Le leggi di
trasformazione, testé formulate per le coordinate
e per la velocità, le chiameremo leggi di
trasformazione della meccanica classica o, più
brevemente, la trasformazione classica.
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Le trasformazioni galileiane

• Il sistema di riferimento xOy si muove di moto
  rettilineo uniforme lungo lasse x, con velocità
  u, rispetto a xOy
• Le relazioni tra le coordinate del punto, le
  velocità e le accelerazioni nei due sistemi sono

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Invarianza rispetto alle trasformazioni galileiane

• La distanza tra due punti calcolata in xOy o in
  xOy è la stessa
• La durata di un intervallo di tempo è la stessa
• Laccelerazione di un corpo è la stessa
• Sostituendo la trasformazione di coordinate
  precedente nelle leggi di Newton otteniamo leggi
  identiche le leggi di Newton sono invarianti
  rispetto alle trasformazioni galileiane. In altre
  parole, non è possibile stabilire con esperimenti
  di meccanica se un sistema è in moto rettilineo
  uniforme rispetto ad un altro (senza guardare
  fuori dal sistema).

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Le leggi dellelettromagnetismo

• Maxwell descrive tutti i fenomeni
  elettromagnetici mediante 4 leggi, dette appunto
  leggi di Maxwell, ed interpreta la luce come
  unonda elettromagnetica (la conferma
  sperimentale sarà data da Hertz)
• Le leggi di Maxwell non sono invarianti rispetto
  alle trasformazioni galieliane
• Possiamo quindi usare esperimenti di
  elettromagnetismo (o di ottica, dato che la luce
  è un fenomeno elettromagnetico) per stabilire se
  un sistema è in moto o no rispetto ad un altro?

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Lidea semplificata dellesperimento

• Secondo le equazioni di Maxwell la luce si
  propaga in tutte le direzioni(isotropa) alla
  stessa velocità c ? 300.000 km/s,
  indipendentemente dal moto della sorgente
• Se unautomobile procede in autostrada a velocità
  u e viene superata da un raggio luminoso, un
  osservatore sullautomobile dovrebbe misurare una
  velocità della luce pari a c u.
• Il problema è che la differenza di velocità è
  molto piccola e quindi lesperimento deve essere
  non solo accurato, ma anche ingegnoso per
  misurare in maniera indiretta tale differenza.

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Lidea delletere

• Prima di vedere come tale esperimento è stato
  realizzato, è necessario analizzare come si
  immaginava avvenisse la propagazione della luce
• Interpretando la luce come un fenomeno
  oscillatorio, i fisici dellottocento
  ipotizzavano lesistenza di un mezzo materiale,
  detto etere, le cui vibrazioni permettevano la
  propagazione delle onde luminose, così come
  laria permette la propagazione delle onde
  sonore.
• Letere doveva avere proprietà ben strane, dato
  che propagava la luce a velocità elevatissime e,
  daltra parte si lasciava attraversare da masse
  enormi (stelle, pianeti) senza nessuna
  perturbazione apparente.
• Nelletere (e quindi in un sistema di riferimento
  ad esso solidale) le onde luminose si
  propagavano con velocità c.

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Cosa ne pensava Maxwell?

• Anche lui riteneva indispensabile un mezzo che
  propagasse le onde elettromagnetiche, non era
  ipotizzabile che si trasmettessero nel vuoto
• Qualunque difficoltà possiamo avere nel formare
  un'idea consistente della costituzione
  dell'etere, non ci può essere dubbio che gli
  spazi interplanetari e interstellari non sono
  vuoti, ma sono occupati da una sostanza materiale
  o corpo, che è certamente il più grande e
  probabilmente il corpo più uniforme fra quelli di
  cui abbiamo qualche conoscenza.

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Misurare la velocità della terra rispetto
alletere

• Tornando allesempio dellautomobile, possiamo
  immaginare la terra al posto dellautomobile e
  misurare la sua velocità rispetto alletere.
• Prima idea prendere due stazioni A e B sulla
  terra a distanza L e misurare il tempo che un
  raggio luminoso impiega per andare da A e B e
  ritornare in A.

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1 caso terra ferma rispetto alletere (o
movimento perpendicolare alla direzione del
raggio)
Tempo da A a B t1 L/c Tempo da B a A t2
L/c Andata e ritorno t1 t2 2L/c
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2 caso terra in movimento rispetto alletere
con velocità u
Tempo da A a B Tempo da B a A Andata e
ritorno
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E realizzabile un tale esperimento?

• Potremmo pensare di prendere stazioni in
  direzioni diverse in modo da evidenziare il
  movimento della terra rispetto alletere in
  ciascuna direzione.
• La differenza di tempo sarebbe apprezzabile?
• Immaginiamo che la velocità della terra rispetto
  alletere sia uguale a quella rispetto al sole
  (30 km/s), che distanza dovremmo avere per
  misurare una differenza di tempo di 10-6s?

Circa 15 milioni di km (più di 40 volte la
distanza terra-luna)
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Lidea di Michelson

• Per evidenziare un differenza di tempo molto
  piccole si usa linterferenza delle onde luminose!

Gli specchi B e C si trovano alla stessa distanza
L da A

• Un fascio luminoso viene emesso dalla sorgente S
• Un vetro argentato posto a 45 A riflette
  parzialmente il fascio verso lo specchio B e
  lascia passare il resto del fascio verso lo
  specchio C
• I raggi vengono riflessi da B e C verso A dove si
  ricompongono e arrivano allosservatore O

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La struttura è ferma

• Supponiamo che la struttura sia ferma rispetto
  alletere

• Il raggio che va verso B percorre un percorso
  pari a 2L per tornare ad A
• Il raggio che va verso C percorre sempre un
  percorso lungo 2L
• I due raggi si ritrovano in A in fase e vengono
  riflessi verso O che nota uninterferenza
  costruttiva

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La struttura si muove rispetto alletere con
velocità u nella direzione AC (verso destra)

• Consideriamo il raggio orizzontale AC e
  poniamoci nel sistema di riferimento solidale
  alletere.
• Se t1 è il tempo per andare da A a C il raggio
  compie un percorso L ut1 in quanto C si è
  spostato verso destra di ut1. Per trovare t1,
  basta considerare che la luce viaggia nel sistema
  a velocità c e quindi avrà percorso una distanza
  ct1.
• ct1 L ut1 t1 L/(c-u)
• Il percorso di ritorno (CA) è invece più breve in
  quanto C si è avvicinato di ut2 (t2 è il tempo
  nel ritorno) ct2 L ut2 t2 L/(cu)
• Il tempo totale, andata e ritorno, è t1 t2
  L/(c-u) L/(cu) 2Lc/(c2 u2)raccogliendo c2
  

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La struttura si muove rispetto alletere con
velocità u nella direzione AC (verso destra)

• Consideriamo ora il raggio AB sempre nel sistema
  di riferimento solidale alletere.

• Il percorso è ora ABA. Indicando con t3 il
  tempo per andare da A a B, possiamo applicare il
  teorema di Pitagora a AAB
• Il tempo totale ABA è

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Confrontiamo i due tempi

• I tempi nei due percorsi non sono uguali
• percorso tramite B percorso tramite C
• Qual è il minore?

• Il tempo per andare verso B (direzione
  perpendicolare a quella del moto della terra) e
  ritorno è minore di quello attraverso C
  (direzione parallela al moto terrestre)!
• La differenza tra i due tempi e rispetto al tempo
  che si otterrebbe se la struttura fosse ferma (
  2L/c) è comunque molto piccola in quanto il
  termine u2/c2 è molto piccolo se u non è
  paragonabile a c.

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Come rivelare la differenza tra i due tempi?

• E praticamente impossibile rendere perfettamente
  uguali le distanze tra gli specchi AB e AC. La
  conseguenza è che in ogni caso losservatore
  vedrà delle frange di interferenza.
• Michelson e Morley ebbero lidea di effettuare
  due misure, ruotando di 90 lapparecchiatura
  nella seconda in modo che fosse ora AB lungo la
  linea del moto.
• In questo caso, a causa della differenza tra i
  tempi nei due percorsi prima esposta, si sarebbe
  dovuta vedere uno spostamento delle frange di
  interferenza della seconda misura rispetto alla
  prima, dalla quale si sarebbe potuta misurare la
  velocità della terra u rispetto alletere.

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La realizzazione dellesperimento

• Michelson e Morley orientarono il loro
  dispositivo in modo che la linea AC fosse
  parallela al moto della terra lungo la sua
  orbita. Questa velocità è di circa 30km/s
  (rispetto al sole) e la velocità rispetto
  alletere doveva essere almeno altrettanta in un
  qualche periodo dellanno e in un qualche momento
  del giorno.
• Il dispositivo realizzato era ampiamente
  sensibile per rilevare un effetto dovuto ad una
  tale velocità, ma nonostante i molti tentativi,
  non fu rilevato uno spostamento nelle frange di
  interferenza e quindi nessuna velocità della
  terra rispetto alletere.

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Lapparecchiatura usata

• Lapparecchiatura era montata su un blocco di
  pietra che galleggiava in una vasca piena di
  mercurio, in modo da poter farla ruotare e da
  renderla meno sensibile alle vibrazioni
• Si usavano più riflessioni del fascio nelle due
  direzioni per aumentare la distanza percorsa
  dalla luce e potere misurare lo slittamento delle
  frange di interferenza (sensibilità dello
  strumento).

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Conclusioni sullesperimento MM

• Lesperimento è fallito! Per quale motivo?
• La terra è solidale alletere?
• La terra trascina con sé letere? (spiegazione
  data inizialmente da Michelson in accordo con le
  teorie di Stokes, che però spiegano in maniera
  molto artificiosa il fenomeno dellaberrazione
  stellare)
• Le leggi di Maxwell sono errate? (ma avevano
  trovato proprio in quegli anni una spettacolare
  conferma nella scoperta delle onde
  elettromagnetiche da parte di Hertz)
• Forse le cose sono meno semplici e bisogna
  rivedere i concetti che stanno alla base della
  fisica, cioè spazio e tempo?

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Lidea di Lorentz

• H. A. Lorentz aveva suggerito che il risultato
  dellesperimento (nessuna differenza di tempo nei
  due percorsi) poteva spiegarsi se si ipotizza che
  gli oggetti in movimento si contraggano nella
  direzione del moto.
• Se L0 è la lunghezza quando il corpo è fermo,
  quando si muove con velocità u parallela a L0 la
  sua lunghezza è

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Spiegazione di Lorentz

• Se applichiamo lidea della contrazione
  allinterferometro di MM, notiamo che la distanza
  tra A e B non cambia (direzione perpendicolare al
  moto), mentre quella tra A e C, parallela al
  moto, diventa .
• Nella formula che da il tempo totale percorso va
  sostituita quindi al posto di L.

Ottenendo lo stesso tempo dellaltro percorso.
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Le obiezioni e la conclusione di Poincaré

• Lipotesi di Lorentz era stata ritenuta troppo
  artificiale e inventata a bella posta per venire
  a capo delle difficoltà incontrate
• Purtroppo (o per fortuna?) altri esperimenti
  analoghi a quelli di MM si imbattevano nelle
  stesse difficoltà, quasi che la natura stesse
  complottando introducendo ogni volta un nuovo
  fenomeno per impedire di misurare u.
• Il grande matematico francese Poincaré concluse
  che un complotto totale è esso stesso una legge
  di natura. In altre parole il fatto che non si
  possa scoprire il vento detere (u) con un
  esperimento è una legge della natura.
  Concludendo Legge di NaturaNon vi è alcun
  modo di determinare una velocità assoluta

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Unaltra curiosa scoperta di Lorentz

• Allinizio avevamo detto che le leggi di Maxwell
  non sono invarianti rispetto alle trasformazioni
  galileiane. Lorentz scoprì che invece risultavano
  invarianti rispetto alle seguenti trasformazioni
• (trasformazioni di Lorentz)
• Forse che le leggi di natura sono invarianti
  rispetto a queste strane traformazioni e non
  rispetto a quelle galileiane? Quali sono le
  conseguenze?
• Che dire di quello strano fattore , molto
  prossimo a 1 se ultltc, che compare dappertutto?

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verdetto definitivo sullETERE
da Levoluzione della fisica di
Eisntein-Infeld Il risultato del celebre
esperimento di Michelson-Morley fu un verdetto
di morte per la teoria di un oceano d'etere
immobile, attraverso il quale tutta la materia si
muoverebbe. Non si è trovato il minimo indizio
che la velocità della luce dipenda dalla
direzione. Se la teoria dell'oceano d'etere fosse
vera, non soltanto la velocità della luce, ma
anche altri fenomeni del campo,
manifeste- rebbero una dipendenza dalla direzione
dello SC in moto. Altri esperimenti hanno dato
risultato negativo come quello di
Michelson-Morley nessuno di essi ha rivelato la
minima dipendenza dalla direzione del moto
terrestre. Ci troviamo pertanto di fronte alla
caduta di due ipotesi la prima, che i corpi in
moto trascinano l'etere, ma il fatto che la
velocità della luce non dipende dal moto della
sorgente contraddice questa supposizione la
seconda ipotesi che esista un SC privilegiato e
che i corpi in moto non trascinino l'etere, bensì
attraversino un oceano d'etere eternamente
immobile. Ma se cosi fosse la velocità della luce
non dovrebbe essere la stessa in ogni
SC. Dobbiamo porci nuove supposizioni
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Gli albori della relatività speciale di
Le nuove supposizioni sono 1) La velocità della
luce, nel vuoto, è la stessa in tutti gli SC, in
moto uniforme gli uni relativamente agli
altri. 2) Tutte le leggi della natura sono le
stesse in tutti gli SC in moto uniforme, gli uni
relativamente agli altri. La teoria della
relatività s'inizia con queste due supposizioni.
Esse sono in contraddizione con la trasformazione
classica, per cui d'ora in poi rinunceremo a
servirci di quest'ultima. L'essenziale è qui,
come sempre nella scienza, di sbarazzarci da
pregiudizi profondamente radicati e spesso
invocati senza previa disamina. Poiché le tentate
modificazioni di 1 e 2 conducono a contraddizioni
con l'esperienza, dobbiamo avere il coraggio di
riconoscerne decisamente la validità e di
attaccare quindi il solo punto palesemente
debole, vale a dire le modalità della
trasformazione per il passaggio da un SC
all'altro. Dobbiamo perciò proporci di trarre
anzitutto delle conclusioni dalle nostre
supposizioni 1e2, per poi esaminare dove e come
esse contrastino con la trasformazione classica e
quindi scoprire il significato fisico dei
risultati raggiunti.