FONCTIONS%20EXPONENTIELLES

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FONCTIONS EXPONENTIELLES

• EN TERMINALE ST2S
• auteur Philippe Angot (version adaptée)

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DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
I - INTRODUCTION
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DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Certains problèmes, liés aux suites géométriques,
ne peuvent pas être résolus à laide des suites
géométriques ..
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EXPONENTIELLES
Par exemple
La population dun village diminue de 5 par
an. Un agent de recensement passé dans le village
le 15 janvier 2003 a compté 5230
habitants. Combien comptera-t-il dhabitants
lorsquil repassera le 15 juin 2005 ?
On a placé le 1er janvier 2005 la somme de 1000
sur un livret rapportant 3,5 dintérêts
(composés) par an. De quelle somme pourra-t-on
disposer le 1er mars 2008 ?
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Une interpolation linéaire est possible,
mais elle donne dans la plupart des cas une
approximation trop éloignée du résultat exact.
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Ici la suite géométrique de premier terme 1 et de
raison 1,5
En noir les points représentant les valeurs
exactes des termes de la suite.
Lerreur commise devient rapidement importante
En rouge les points représentant les valeurs
des termes de la suite dindices impairs calculés
par interpolation linéaire à partir des termes de
rangs pairs qui lencadrent.
1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
7
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EXPONENTIELLES
II CONSTRUCTION DUNE FONCTION EXPONENTIELLE
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Dans le projet de document daccompagnement

•  les suites sont un cas particulier de
  fonctions. 

•  La représentation graphique des suites pose la
  question faut-il relier les points ? Cette
  question peut être soumise aux élèves, et le
  professeur leur fera découvrir que la réponse est
  non pour deux raisons
• - les nombres réels autres que les entiers
  naturels nont pas d'image
• - il y a une infinité de fonctions interpolant
  une suite donnée.
• Ce problème de linterpolation est dailleurs une
  question importante dans les sciences appliquées 

•  On veillera à établir le lien entre la suite n
  ? an et la fonction x ? ax. Les fonctions
  exponentielles fournissent un modèle continu là
  où les suites géométriques fournissent un modèle
  discret. 

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EXPONENTIELLES
Les fonctions exponentielles sont présentées
comme le prolongement des suites géométriques de
premier terme 1 et de raison q strictement
positive
La démarche est expérimentale. Elle consiste à
compléter le nuage de points représentant les
puissances entières dun réel strictement positif
q
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Lalgorithme de construction des points est basé
sur le principe de dichotomie. Il sappuie sur
les deux résultats suivants
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EXPONENTIELLES
Lalgorithme de construction des points est basé
sur le principe de dichotomie. Il sappuie sur
les deux résultats suivants
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Considérons 3 points  consécutifs  de la
représentation graphique dune suite géométrique
Illustration
u
5
Le point intermédiaire admet
u
4
-pour abscisse, la moyenne arithmétique des
abscisses des deux points qui lentourent
u
3
u
2
u
1
-pour ordonnée, la moyenne géométrique des
ordonnées des deux points qui lentourent
u
0
1
2
3
4
5
O
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Outils tableur et grapheur
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1ère étape Points à abscisses entières
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8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
O
-1
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EXPONENTIELLES
2ème étape
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8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
O
-1
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EXPONENTIELLES
3ème étape
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8
7
6
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4
3
2
1
1
2
3
4
5
O
-1
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On utilise le même processus dichotomique pour
obtenir un nombre croissant de points
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On peut répéter le processus pour obtenir un
nombre de plus en plus important de points
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7
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
O
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On peut répéter le processus pour obtenir un
nombre de plus en plus important de points
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Cet ensemble de points suggère la courbe dune
fonction.
On admet que cette fonction existe et est unique
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III PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES
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Les propriétés suivantes sont admises
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Remarques