Fonctions de transfert

1

• Fonctions de transfert
• Conception dun asservissement

• François BONDU CNRS
• francois.bondu_at_univ-rennes1.fr
• Collaboration VIRGO
• Institut de Physique de Rennes
• Equipe photonique et lasers
• Université de Rennes 1
• Avril 2009

Alfred Perot (1863-1926)
Charles Fabry (1867-1945)
2
Plan

• Éléments des boucles
• Systèmes LTI fonctions de transfert
• Densités spectrales
• Capteurs et actionneurs
• La cavité FP comme capteur
• fonctions de transfert pour déplacement et
  fréquence
• II. Boucles dasservissement
• Calculs de boucle fermée
• Critères de stabilité
• boucle simple
• ex. de boucles imbriquées
• Prescriptions pour la conception dune boucle
• Mesures dans une boucle dasservissement

3
I. Éléments de boucles
1. Systèmes LTI fonctions de transfert (1/2)
Fsys
signal entrée
signal en sortie
Linéarisation autour dun point de fonctionnement
Système linéaire invariant dans le temps

4
I. Éléments de boucles
1. Systèmes LTI fonctions de transfert (2/2)
Fonctions propres
Fsys
signal entrée
Signal en sortie
Décomposition dun signal sur la base des
fonctions propres transformée de Fourier
5
I. Éléments de boucles
2. Densités spectrales (1/3)
Fsys
bruit en entrée
bruit en sortie
Fonction dautocorrélation
6
I. Éléments de boucles
2. Densités spectrales (2/3)
Densité spectrale de puissance
définie pour les fréquences positives seulement
Densité spectrale linéaire
nombre réel positif
Fsys
bruit en entrée
bruit en sortie
7
I. Éléments de boucles
2. Densités spectrales (3/3)
Dans la pratique, une méthode pour calculer la
DSL
résolution en fréquence 1/Tinteg
s unité DSL longueur mètres
m/vHz fréquence Hertz Hz/vHz onde
gravitationnelle 1 1/vHz
8
I. Éléments de boucles
3. Capteurs et actionneurs (1/3)
Capteur
bruit ñc(f)

référence
S(f)
tension (V)


-
grandeur physique

• Exemple cavité FP pour mesurer la fréquence
  dun laser
• bruit de photon
• finesse
• bruit thermique de la cale despacement
• bruit thermique des couches minces des miroirs
• bruit accélérométrique

• La qualité du capteur dépend
• - de son bruit de mesure
• de sa sensibilité S(f)
• de la stabilité de sa référence

9
I. Éléments de boucles
3. Capteurs et actionneurs (2/3)
bruit ñc(f)
Capteur

référence
S(f)
tension (V)


-
grandeur physique
densité spectrale de résolution
Une grande sensibilité S(f) peut rendre
négligeable leffet du bruit de lecture de la
mesure
Ex mesure de fréquence sur une cavité FP rigide
couplée optimalement, F1000, P20 mW, L30 cm ?
résolution limitée par bruit thermique jusquà
f10 kHz
10
I. Éléments de boucles
3. Capteurs et actionneurs (3/3)
Actionneurs
driver
D(f)
grandeur physique
tension (V)
Actionneur de déplacement bande passante
limitée par la mécanique - pendules (fres 1
Hz) - miroirs montés sur cristaux
piezo-électriques (fres 30 kHz et harmoniques)
11
I. Éléments de boucles
4. La cavité Fabry-Perot comme capteur (1/5)

• - Mesure de longueurs donde (spectroscopie)
• Mesure dépaisseur détalons standards, du mètre
  étalon (5 fois plus précis que Michelson)
• Mesure de la masse du dm3 deau
• Mise en évidence de leffet Doppler-Fizeau
• Raies démission du soleil, rotation
  différentielle, décalage vers le rouge,
  température
• Eclat de la voie lactée
• Rotation et température de la nébuleuse dOrion
• Découverte de la couche dozone dans latmosphère

12
I. Éléments de boucles
4. La cavité Fabry-Perot comme capteur (2/5)
Pour les faisceaux gaussiens comparaison entre
le mode incident et le mode résonnant
Mesure de front donde (distribution transverse
de puissance) - mesure dagitation transverse et
angulaire de faisceau Mesure de longueur
donde Mesure de longueur Mesure de rayon de
courbure de miroir Mesure différentielle de
réflectivités de miroirs Mesure dondes
gravitationnelles (avec des miroirs inertiels)
13
I. Éléments de boucles
4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de
longueur / de fréquence (3/5)
Laser
Mirror 1
Mirror 2
14
I. Éléments de boucles
4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de
longueur / de fréquence (4/5)
Fonction de transfert en réflexion pour les ondes
lumineuses
a varie avec la chemin optique, la fréquence,
une onde gravitationnelle

• L1 pertes dans le miroir dentrée
• déphasage sur un aller-retour
• r1, r2 réflectivités des miroirs en amplitude
• réflexion à résonance en amplitude
• f écart à la résonance

15
I. Éléments de boucles
T1 12 T2 5 L 0 (finesse 35)
4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de
longueur / de fréquence (5/5)
Fonction de transfert pour les ondes lumineuses
REFLECTION
TRANSMISSION
16
I. Éléments de boucles
5. Fonction de transfert dune cavité
Fabry-Perot a. Bruit de fréquence (1/3)
porteuse
Onde entrante
fmod
f écart à la résonance
Signal Pound Drever Hall

• électronique
• puissance du laser
• indice de modulation de phase
• couplage de la cavité (visibilité 1 - z2)
• pôle de la cavité

17
I. Éléments de boucles
5. Fonction de transfert dune cavité
Fabry-Perot a. Bruit de fréquence (2/3)
porteuse
Onde entrante
fmod
fmes
Fonction de transfert, pour une porteuse à
résonance
18
I. Éléments de boucles
5. Fonction de transfert dune cavité
Fabry-Perot a. Bruit de fréquence (3/3)

• Mesure précise
• du pôle de la cavité
• de sa longueur
• du rayon de courbure effectif
• du couplage dimpédance
• fraction dénergie sur un mode désaligné
• fraction dénergie sur un mode désadapté en
  front donde transverse

module
f / ISL
19
I. Éléments de boucles
5. Fonction de transfert dune cavité
Fabry-Perot b. Bruit de longueur
-- miroir dentrée -- miroir de fond
20
Plan

• Éléments des boucles
• Systèmes LTI fonctions de transfert
• Densités spectrales
• Capteurs et actionneurs
• La cavité FP comme capteur
• fonctions de transfert pour déplacement et
  fréquence
• II. Boucles dasservissement
• Calculs de boucle fermée
• Critères de stabilité
• boucle simple
• ex. de boucles imbriquées
• Prescriptions pour la conception dune boucle
• Mesures dans une boucle dasservissement

21
II. Boucles dasservissement
1. Calculs de boucle fermée (1/3)
22
II. Boucles dasservissement
1. Calculs de boucle fermée (2/3)
23
II. Boucles dasservissement
1. Calculs de boucle fermée (3/3)

• NB sont sous-entendus
• les sur les DSL
• la dépendance en f des FT
• les facteurs devant les DSL sont des valeurs
  absolues

Fonction de transfert en boucle ouverte
Boucle efficace Ggtgt1
24
II. Boucles dasservissement
2. Critères de stabilité a. placement des
pôles et zéros

• On approxime GOLTF par une fraction rationnelle
  N(f)/D(f)
• La fonction G/(1G) ou 1/(1G) ne doit pas avoir
  de pôle à partie réelle positive
• exponentielle divergente dans le domaine temps
• équivalent à
• Le polynôme N(f) D(f) ne doit pas avoir de zéro
  à partie réelle positive

• Inconvénients
• pas très facile à visualiser si les pôles et
  zéros sont répartis sur plusieurs décades
• robustesse pas facilement identifiable
• lapproximation peut être dangereuse si il y a
  des retards importants
• Vérification utile en cas de doute si la fonction
  est complexe

25
II. Boucles dasservissement
2. Critères de stabilité b. critère de Bode
Marge de phase de la fonction de transfert en
B.O. au croisement du gain unité
gain unité
Marge de gain ? 5.6

• Inconvénients
• seulement si le gain unité nest croisé
  quune seule fois
• systèmes à phase minimale
• Facile, pour les systèmes courants (pas de
  résonance forte)

Marge de gain ? 3.7
fGU fréquence au gain unité 32 Hz
MP marge de phase 41
26
II. Boucles dasservissement
2. Critères de stabilité c. critère de
Black-Nichols (1/3)
laisser le point (-180,1) sur la droite
lorsquon parcourt la courbe vers les fréquences
croissantes

• Inconvénient
• absence de lecture des fréquences
• Avantages
• - facile
• toutes les marges
• en un coup dœil
• surtensions en boucles fermée
• (amplification des bruits)

Marge de gain ? 5.6
gain unité
MP marge de phase 41
Marge de gain ? 3.7
27
II. Boucles dasservissement
2. Critères de stabilité c. critère de
Black-Nichols (2/3)
Laisser tous les points (-180(2k1),1) sur la
droite lorsquon parcourt la courbe vers les
fréquences croissantes
Exemple de système avec une résonance (ça arrive
!)
Bode ne marche pas
Marges confortables MG 2 MP
30 (?surtension 2)
28
II. Boucles dasservissement
2. Critères de stabilité c. critère de
Black-Nichols (3/3)
Cas très exceptionnel filtres de Coulon
29
II. Boucles dasservissement
2. Critères de stabilité boucles imbriquées
(1/2)
Ex. Verrouillage dun laser sur un FP avec des
actionneurs de différentes rapidités
30
II. Boucles dasservissement
2. Critères de stabilité boucles imbriquées
(2/2)
Ex. Verrouillage dun laser sur un FP avec des
actionneurs de différentes rapidités
La boucle lente contient un capteur effectif
elle est indépendante de la réponse de la
cavité. Pour que lensemble soit stable, il
suffit que la fréquence de G.U. de la boucle
rapide soit une décade au-dessus de celle de la
boucle lente.
avec
31
II. Boucles dasservissement
3. Prescriptions pour la conception dune boucle
(1/3)

• 1.
• La vitesse de réponse de lactionneur ou du
  capteur, éventuellement les retards,
• définissent la fréquence de gain unité.
• 2.
• Conception la forme de la FTBO pour remplir les
  spécifications
• sur le RMS du signal derreur
• et/ou sur sa densité spectrale
• ou tout autre fonction de la DSL

32
II. Boucles dasservissement
3. Prescriptions pour la conception dune boucle
(2/3)
Méthode itérative, pour un système dont on na
pas une connaissance à priori de tous les
paramètres
1. On définit une première boucle, de forme
simple, sans souci des spécifications on
verrouille le système. 2. On mesure - la
DSL du signal de correction - la DSL du
signal derreur - la FTBO (fonction de
transfert en boucle ouverte) gt On ajuste le
modèle informatique des éléments de la boucle à
la mesure 3. On définit une nouvelle boucle plus
performante telle quelle remplit les
spécifications. Intégrateurs à très basse
fréquence, jusquà fGU/10 annule les erreurs
statiques de position, de vitesse, etc.
33
II. Boucles dasservissement
3. Prescriptions pour la conception dune boucle
(3/3)
Dans la pratique, on peut se trouver limité
(saturation) par les dynamiques des
électroniques, des échantillonneurs, etc.
Solution 1 filtres de pré-compensation
(Dolby) Solution 2 changement de fréquence de
gain unité par ex actionneurs multiples
34
II. Boucles dasservissement
4. Mesures dans une boucle dasservissement
p
zseismic
Factuation
Cfilter
nlaser
SPDH

scorr
e1
e2
zcavity
-
ncavity
n0/Lcavity
On ajoute une perturbation pendant que la boucle
est fermée

• bruit blanc, bruit blanc dans une bande
  limitée, bruit coloré
• sinus, et mesure avec ampli lock-in ou analyseur
  de réseau

35
Plan

• Éléments des boucles
• Systèmes LTI fonctions de transfert
• Densités spectrales
• Capteurs et actionneurs
• La cavité FP comme capteur
• fonctions de transfert pour déplacement et
  fréquence
• II. Boucles dasservissement
• Calculs de boucle fermée
• Critères de stabilité
• boucle simple
• ex. de boucles imbriquées
• Prescriptions pour la conception dune boucle
• Mesures dans une boucle dasservissement