Val

1
Valószínuségszámítás

• dr. Szalkai István

2
TARTALOM 0. Kombinatorika elemei
(segédeszközök) 1. Eseményalgebra 2. A
valószínuség a) axiómák és következményeik
b) klasszikus (kombinatorikus) valószínuségi
mezo c) geometriai valószínuségi mezo 3.
Feltételes valószínuség, események
függetlensége 4. Valószínuségi változók a)
általános definíciók b) várható érték, szórás
3
5. Nevezetes diszkrét eloszlások a)
Bernoulli ( binomiális
visszatevéses mintavétel) b) Hipergeometriai
(visszatevés nélküli mintavétel) c)
Geometriai (próbálkozás
amíg nem sikerül) d) Poisson
( a) közelítése) 6. Nevezetes folytonos
eloszlások a) Egyenletes
( buszváró, "hidastábla", ) b)
Exponenciális ( nem öregedo
élettartam) c) Normális
( fizikai / biológiai rendszerek)
4
7. Nagy számok törvényei (Markov, Csebisev,
Bernoulli, Csebisev, Centrális,
Moivre-Laplace) 8. Két diszkrét val.vált.
összefüggése (kétdimenziós v.v.)
5
Ajánlott irodalom ( " Példatár " )
6
0. Kombinatorika Hány / hányféleképpen ?
hat képlet hat új alapmuvelet i)
Sorbarendezések n elem egy sorban
permutációk - ha az n elem mind különbözo
(ismétlés/ ismétlodés nélkül) gt Pn
123...(n-1)n n! /
0! 1 / . - ha az n elem nem mind
különbözo (ismétléses), azaz s féle az egyes
típusokból k1 , k2 , , ks van, akkor gt
Pnk1,,ks (ism) n! ,
( k1 k2 ks n )
k1!k2! ks!
7
ii) Kiválasztások n különbözo elem közül k
-szor választunk ki egyet-egyet a KIVÁLASZTÁS
SORRENDJE számít nem számít (pl.
tombola) (pl. lottó) VARIÁCIÓ
KOMBINÁCIÓ Vnk lt
ismétlés/visszatevés nélkül gt Cnk
Vnk (ism) lt ismétléssel visszatevéssel
gt Cnk (ism)
8
Vnk n(n-1)(n-2)(n-(k-1))
n(n-1)(n-2)(n-k1) Vnk (ism) nn.n
nk , Cnk ( nk )
n(n-1)(n-2)(n-k1) n!
,
k! k! (n-k)
! " binomiális együtthatók " Vnk / k!
Ck (ism) ( nk-1 ) /
nk-1 \ n n-1
\ n-1 /
((szövegszerkeszto !!! ))
9
Binomiális együtthatók alaptulajdonságai / Cnk
( nk ) n elem közül k -t kiválasztani
hányféleképpen
visszatevés nélkül, sorrend lényegtelen / ( n0 )
( nn ) 1 , ( n1 ) ( nn-1 ) n ,
( nk ) ( nn-k ) / szimmetria
tulajdonság/ pl. / 20 \ / 20 \
2019181716 \ 15 / \ 5 /
12345 / 90 \ 2019181716 \ 5
/ 12345
10
1. Eseményalgebra Definíciók Kísérlet aktív
vagy passzív, valami történik, Eseménytér
kísérlet összes lehetséges kimenetele
tetszoleges halmaz ?? Jele H , O vagy
T (Solt Gy. ) , . ? pl. Két kockával
dobunk gt O (1,1) , (1,2) , (1,3) ,
, (6,6) O 36 Megj. két
különbözo kocka / pénzérme /
11
Def. Esemény Tetszoleges A ? O
részhalmaz . ?
Pl. A " a
két kocka összege 5 "
(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) ? O . Def.
Lehetetlen esemény ... ? ? O
(Solt O?) biztos esemény
O ? O (SoltIOT)
ellentett esemény tagadás O \ A A
komplementere ? Kísérlet végeredménye x?O
Def. A esemény bekövetkezik x?A . ?
A O Def. A és B kizárják
egymást /?/ ( x?A gt x?B és x?B gt x?A
) tehát A és B diszjunktak A ? B ? .
?
12
Eseményalgebra esemény muveletek
halmazmuveletek Def. A vagy B A ? B
AB események "összege", A
és B A ? B AB események
"szorzata", nem A A
A esemény "ellentettje",
( tagadás / komplementer) A gt B
A ? B " A maga után vonja
B -t" ( A -ból következik B) ?
13
Halmazmuveletek tulajdonságai
Eseményalgebra gtgtgt ld. Solt Gy. 47.old.
14
Pl disztributivitás (széttagolhatóság)
halmazelméletben valószínuségszámításban A ?
(B?C) (A?B) ? (A?C) A?(BC ) (A?B)(A?C) A
? (B?C) (A?B) ? (A?C) A(B?C) (AB)?(AC)
De Morgan - azonosságok ____ __
__ ____ __ __ A?B A ? B AB A
? B ____ __ __ ____ __ __ A?B
A ? B A?B A B
15
2a) A valószínuség axiómái és következm.
(Kolmogorov) P(A) ? A esemény valószínusége
(esélye) ? R DEF P A ?? p ? R
P P(?) ? R tetszoleges
függvény amelyre i) 0 ? P(A) ? 1
ii) P(?) 0 , P(?) 1 ,
(100 ill. 0 ) iii) ha A és B kizáróak gt
P(A?B) P(A)P(B) ? KÖV tetszoleges A,
B halmazokra P(A?B) P(A) P(B) -
P(A?B) ? !!!!!
P(A) ? TA / terület / !!!!!
16
KÖV P(A-) 1 - P(A) (tagadás)
ha A ? B gt P(A) ? P(B) (A maga
után vonja B -t) ? DEF A lehetetlen
esemény, ha P(A) 0 . A
biztos esemény, ha P(A) 1 .
? Pl A ? N , A
négyzetszámok lehetetlen, mert P(A)
limn?? ?n / n 0 . !!!!!
P(A) ? TA / terület / !!!!!
17
DEF teljes eseményrendszer partíció
felosztás ? B1 ? B2 ? B3 ? Bn
(lefed hézagtalanul) és Bi ? Bk ?
(? i?k) (nincs átfedés)
? Állítás Ekkor P(B1) P(B2) P(B3)
P(Bn) 1 . ?
P(A) TA
18
2.b) klasszikus (kombinatorikus) valószínuségi
mezo Ha ? véges és minden eleme egyenlo
esélyu, akkor P(A) A / ?
( " k/ö ")
? 2.c) geometriai valószínuségi mezo Ha ? -t
geometriai alakzattal szemléltethetjük, és
P(A) a területtel / hosszal arányos, akkor
P(A) TA / T? hA / h?
? !!!!! GYAKORLÁS
!!!!! Solt Gy. 91-99.old. kimarad !!! (
Maxwell, Boltman, Bose, Einstein, Fermi, Dirac )
19
3.a) Feltételes valószínuség " Ha B
bekövetkezett, akkor A -ról mit tudunk ?
" DEF jele P (A B) (" A
feltéve B ") kiszámítása P (A B)
P(A ? B)
P(B) ha P(B) ? 0 .
? Szorzás-Tétel P(A B) ? P(B)
P(A ? B) . ?
20
Teljes valószínuség Tétele Ha B1 , B2 , B3 ,
, Bn teljes eseményrendszer, P(Bi) ? 0
, akkor tetszoleges A ? O eseményre P(A)
P(AB1)?P(B1) P(AB2)?P(B2) P(ABn)?P(Bn)
. ? TA TA?B1
TA?B2 TA?Bn .
P(A) TA
21
Bayes Tétele ( Megfordítási Tétel)
P (B A) P(A B) ? P(B)
P(A)
?
22
3.b) események függetlensége Megj A és B
független ? P(AB) P(A) és P(BA)
P(B) ? Áll ?
P(A?B) P(A)?P(B) Def
ez utóbbi .
? Megj természet ?
fenti képlet.
?
23
4. Valószínuségi változók / v.v. / ? "
a kísérlet (mérés) számszeru végeredménye "
?(A) amit éppen mérünk, A eseménynél. Def
/mat./ ? P(?) ? R tetszoleges függvény.
? A ? z ? R valós szám. ?
!!! ? lehet DISZKRÉT Im(?) x1, x2,
, xn , /felsorolható/ vagy FOLYTONOS
Im(?) R // Im(?) ÉK a mérés összes
lehetséges eredménye //
24
DISZKRÉT v.v. eloszlása Im(?) x1
, x2 , x3 , x4 , , xn , eloszlása
p1 , p2 , p3 , p4 , , pn , ahol
pi P(?xi) /a méréseredmények val./
? ? Axiómák /alaptulajdonságok/ (i) 0 ?
pi ? 1 (ii) ?i1 pi 1 .
? ? DEF./mat./ Tetszoleges p1,p2,,pn,
sorozat a fenti két tulajdonsággal. ?
25
FOLYTONOS v.v. eloszlása SURUSÉGFÜGGVÉNY
ábra f(x)
26
DEF Suruségfüggvény axiómái /?
folytonos/ (i) 0 ? f(x) ? x?R (ii) ?R f(x)
dx 1 . ? Alkalmazása P( a ? ? ? b)
a?b f(x) dx F(b) - F(a) ahol F(x)
? f(x) dx primitív függvény
eloszlásfüggvény !!!pontosabban DEF F(b)
P( ? ? b) -??b f(x) dx . ? vagy
f(x) F'(x) deriváltfüggvény
suruségfüggvény /Szótár!/ DEF Eloszlásfüggvény
axiómái (? x?R) /? tetszoleges/ (i)
0 ? F(x) ? 1 , (ii) F(x) monoton no , (iii)
limx? ?? F(x) 0 , limx? ? F(x) 1 , (iv)
F(x) balról folytonos limx?c- F(x) F(c)
/"teli karika"/ ?
27
"Tipikus" kérdések (és a válaszok) P(?ltb)
???b f(x) dx F(b) P(a??) a?? f(x)
dx 1-F(a) 1- P(?lta) P(a??ltb) a?b
f(x) dx F(b)-F(a) /N.-L.-szabály/ P(?b)
0 (ha ? folytonos v.v.) P(??c)
P(?-clte) P(c-elt?ltce) F(ce)-F(c-e) .
28
(No Transcript)