Fale%20elektromagnetyczne

1
Fale elektromagnetyczne
Równania Maxwella przewiduja istnienie fal
elektromagnetycznych o predkosci rozchodzenia sie
w prózni
(1)
2
Równania Maxwella przewiduja, ze zmienne w
czasie pole magnetyczne indukuje wirowe pole
elektryczne i na odwrót, zmienne w czasie pole
elektryczne indukuje wirowe pole magnetyczne.
Kazda zmiana w czasie pola elektrycznego wywola
powstanie zmiennego pola magnetycznego, które z
kolei wytworzy zmienne pole pole elektryczne.
Ciag wzajemnie sprzezonych pól elektrycznych i
magnetycznych stanowi fale elekromagnetyczna.

• Fale elektromagnetyczne mozemy podzielic na
• stojace (np. wneka rezonansowa) i
• biezace - rozchodzace sie wzdluz linii
  przesylowej lub w wolnej przestrzeni.

3
Obwód LC
Przyklad powstawania fal elektromagnetycznych.
Drganiom wytworzonym w elektrycznym
obwodzie LC (cewka, kondensator) towarzyszy
okresowa zmiana energii pola elektrycznego
kondensatora w energie pola magnetycznego cewki.
Jezeli pominiemy straty na cieplo, to energia
drgan w obwodzie pozostanie stala.
4

Pole B
L
C
Pole E
Do generatora drgan
Obwód taki przeksztalcamy w nastepujacy sposób
cewke redukujemy do prostoliniowego przewodu,
okladki kondensatora zmniejszamy, a przewody
prostujemy. Pole elektryczne i magnetyczne
wypelnia teraz bardzo duza przestrzen.
5
Przeksztalcanie zamknietego obwodu drgan w dipol
elektryczny
E
Przeksztalcony obwód ma teraz wieksza zdolnosc
emitowania energii, stal sie obwodem otwartym.
Powstaly obwód stanowi dipol elektryczny o
momencie dipolowym zaleznym od czasu.
B
Do generatora drgan
6
Jezeli do pretów dipola doprowadzone zostanie
napiecie zmienne, to prety beda sie ladowac
okresowo ladunkiem dodatnim i ujemnym. Zatem
obwód taki staje sie oscylujacym dipolem
elektrycznym emitujacym fale elektromagnetyczna
we wszystkich kierunkach.
Pole elektryczne dipola w czterech chwilach
q
-
-

-q

-
t 1/4 T
t 0
t 1/8 T
t 3/8 T
7
Wykres biegunowy natezenia fali emitowanej przez
dipol, znajdujacy sie na osi z. Dlugosc odcinka
OP jest proporcjonalna do natezenia fali
emitowanej w danym kierunku.
z
P
x
O
Zmienne napiecie doprowadzone do z generatora
powoduje przeplyw pradu wzdluz dipola. Ladunki
zbierajace sie na koncach pretów dipola
wytwarzaja tam najwieksze napiecia. Drgania
elektryczne rozchodzace sie wzdluz dipola daja w
wyniku fale stojaca. Fala emitowana przez dipol
jest juz fala rozchodzaca sie w przestrzeni
(biezaca). Fala ta jest spolaryzowana, wektor E
jest równolegly do osi dipola, B - prostopadly.
8
Na podstawie wprowadzonych równan Maxwell
wykazal, ze wzajemnie sprzezone pola elektryczne
i magnetyczne tworza fale poprzeczna i obliczyl
predkosc fali. W fali elekromagnetycznej wektory
E i B sa prostopadle do siebie i do kierunku
rozchodzenia sie fali.
Dla fali rozchodzacej sie wzdluz osi x zaleznosc
natezenia pola B i E od czasu i polozenia ma
postac nastepujaca B Bmsin(kx - ?t)
E Em sin(kx - ? t) ? - pulsacja, ? 2??
k - liczba falowa
(3)
(2)
(4a)
(4)
? - dlugosc fali T - okres drgan ? -
czestotliwosc
(6)
(5)
9
Plaska fala elektromagnetyczna poruszajaca sie
w dodatnim kierunku osi x
dx
y
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?

h
c

? ? ? ? ?

x
z
E ?? z B ?? y c ?? x
Pola E i B sa zgodne w fazach.
10
Prostokat o wymiarach h i dx nie porusza sie w
przestrzeni. W miare przesuwania sie fali
strumien magnetyczny ?B bedzie sie zmienial, co
spowoduje powstanie indukowanych pól
elektrycznych. To indukowane pola elektryczne, to
skladowe elektryczne wytworzonej fali biezacej.
Zastosujmy prawo Faradaya dla obwodu prostokata o
bokach h i dx (pl. xz).
(7)
(8)
Strumien pola magnetycznego przechodzacy przez
powierzchnie prostokata (plaszczyzna xz) wynosi
B jest wartoscia bezwzgledna pola w prostokacie
(9)
11
Rózniczkowanie po czasie daje
(10)
Na podstawie prawa Faradaya w postaci (8 )
otrzymujemy
(11)
stad
(13)
(12)
12
E(x,t) i B(x,t) sa znane, wiec równanie (13)
mozna zapisac jako
(14)
czyli
(16)
ale
(15)
Oznacza to równiez, ze zwiazek sluszny jest dla
dowolnych wielkosci pola E i B w danym momencie.
(17)
Zastosujmy teraz prawo Ampera w postaci
(18)
13
Calkujac to równanie po obwodzie prostokata o
bokach h i dx w plaszczyznie xy otrzymujemy
(19)
Strumien pola elektrycznego przechodzacy przez
ten prostokat wynosi
(20)
Rózniczkujac po czasie otrzymujemy
(21)
a wiec równanie (18 ) mozna przepisac w postaci
(22)
14
Korzystajac z równan (14 ), (22 ) otrzymujemy
(23)
stad
(24)
Eliminujac Em/Bm otrzymamy
c - predkosc swiatla w teorii elektromagnetyzmu.
Maxwell przewidzial ten zwiazek przed odkryciem
fal radiowych!
(1)
15
Energia niesiona przez fale elektromagnetyczna
Wyznaczmy energie fali przechodzaca przez pudelko
o objetosci sdx, gdzie s jest polem powierzchni
podstawy w plaszczyznie yz. Przyjmujemy h 1
B
hh s
y
c
E
x
z
dx
16
W pewnej chwili energia dW zawarta w pudelku o
objetosci sdx przenoszona przez fale
elektromagnetyczna wynosi dW dWE dWB (uE
uB)sdx
(25)
uE - gestosc pola E uB -
gestosc pola B
Energia pola E
Energia pola B
(26)
ale
(17)
(28)
17
Zgodnie z (1)
oraz
Energia przeplywajaca przez jednostkowa
powierzchnie w jednostkowym czasie. Energie te
oznaczono nastepnie przez S i wprowadzono
odpowiadajacy jej wektor przeplywu energii zwany
wektorem Pointynga
(29)
(30)
(31)
18
Wielkosc S jest wyrazona przez wartosci chwilowe,
wiec jest funkcja czasu. Wektor S jest
prostopadly do wektora E i do wektora B. Wektor
Pointynga pokazuje kierunek przenoszenia energii.
Z trzech wielkosci wystepujacych w równaniu (31),
jedna ma scisle okreslona wartosc
pozostale c i ?0 sa mierzalne.
Na podstawie równania (1) wykorzystuje sie
zmierzona dokladnie wartosc predkosci swiatla
c 2.99792458 108 m/s do wyznaczania
wartosci ?0.
19
Predkosc c, mimo ze dotyczy wszystkich fal
elektromagnetycznych, nazywa sie predkoscia
swiatla. W roku 1888 Heinrich Hertz przeprowadzil
po raz pierwszy eksperyment, w którym byly
wytwarzane i odbierane fale elektromagnetyczne,
dowodzac tym samym ich istnienia i potwierdzajac
slusznosc równan Maxwella.
20
James Maxwell
Maxwell urodzil sie w 1831 r. w Edynburgu w
Szkocji. Byl tzw. Cudownym dzieckiem majac
zaledwie pietnascie lat przedstawil prace naukowa
w Edinburgh Royal Society. Uczeszczal na
uniwersytet w Edynburgu. Stopien naukowy otrzymal
na uniwersytecie w Cambridge. Byl zonaty, ale nie
mial dzieci. Maxwell uwazany jest powszechnie za
najwiekszego fizyka teoretyka w okresie pomiedzy
Newtonem i Einsteinem. Jego wspaniala kariera
zakonczyla sie przedwczesnie zmarl na raka w
1879 r., na krótko przed czterdziestymi ósmymi
urodzinami.
21
Hertz Heinrich Rudolf (1857-1894)
22
Kwantowe wlasnosci promieniowania

• Cialo doskonale czarne

23
Z doswiadczen wiadomo, ze cialo ogrzane do
odpowiednio wysokiej temperatury zaczyna wysylac
promieniowanie widzialne, jak równiez wiadomo, ze
cialo ogrzane do temperatury wyzszej promieniuje
bardziej intensywnie niz cialo o temperaturze
nizszej. Obserwacje i dokladniejsze pomiary
pozwalaja na stwierdzenie, ze wszystkie ciala
emituja promieniowanie elekromagnetyczne, które
nazywamy promieniowaniem cieplnym w kazdej
temperaturze wyzszej od zera bezwzglednego T gt 0
K. Widmo promieniowania cieplnego jest bardzo
szerokie od zakresu radiowego do rentgenowskiego,
ale zakres najbardziej intensywny zalezy od
temperatury. Teoretyczny opis promieniowania
cieplnego przeprowadza sie dla wyidealizowanego
ciala zwanego cialem doskonale czarnym. Wyobrazmy
sobie wneke wydrazona w dowolnym ciele,
polaczona z otoczeniem niewielkim otworem.
24
Promieniowanie padajace na ten otwór i dostajace
sie do wneki bedzie ulegalo wielokrotnemu odbiciu
od scianek wneki. W wyniku strat
zachodzacych przy odbiciu, promieniowanie
zostanie prawie calkowicie pochloniete nim wiazka
trafi z powrotem do otworu.
Model ciala doskonale czarnego
25
Widmo promieniowania ciala doskonale czarnego
50
T1 gt T2 ?1 lt ?2
T1
R? - jedn. umow-ne
40
30
20
T2
10
?1
?2
0
1
2
3
4
5
µm
? - dlugosc fali
26
Prawo Wiena
Pierwsza teorie ciala doskonale czarnego
stworzyl Wien. Uwazal on, ze podobienstwo
krzywych rozkladu promieniowania cieplnego do
maxwellowskiego rozkladu predkosci czasteczek
gazu wynika stad, ze drgajace czasteczki w
goracym ciele stalym maja rozklad predkosci
podobny do rozkladu Maxwella. Predkosciom tym
powinny odpowiadac odpowiednie termiczne
przyspieszenia czasteczek. Poniewaz czasteczki
obdarzone sa ladunkami elektrycznymi, wiec
zgodnie z elektrodynamika klasyczna powinny
emitowac promieniowanie w trakcie
niejednostajnego ruchu. Na podstawie tego Wien
dopasowal do krzywej doswiadczalnej zdolnosci
emisyjnej modelu ciala doskonale czarnego wzór
empiryczny (3) na rozklad zdolnosci emisyjnej
wzgledem dlugosci fali ?, analogiczny do rozkladu
Maxwella.
27
Zdolnosc emisyjna R? zdefiniowana jest jako moc
?P promieniowania wysylanego z jednostki
powierzchni ?s cial w jednostkowym przedziale
dlugosci fal ??.
(32)
Calkowita zdolnosc emisyjna R ciala jest to moc
promieniowania w calym zakresie dlugosci fal,
wysylanego z jednostki powierzchni ciala.
(33)
T - temperatura C1 i C2 - odpowiednio pierwsza i
druga stala emisyjna
Zdolnosc emisyjna podana przez Wiena ma postac
nastepujaca
(34)
28
Wartosci stalych emisyjnych we wzorze Wiena
dobrano tak, ze aby otrzymac dobra zgodnosc w
zakresie fal krótkich. W zakresie fal dlugich
obliczone na podstawie wzoru (3) zdolnosci
emisyjne byly znacznie mniejsze od wyników
doswiadczalnych.
Wzór Rayleigha-Jeansa
Uczeni ci rozpatrywali cialo doskonale czarne w
postaci wneki majacej zwierciadlane scianki.
Wewnatrz takiej wneki powstaja wówczas
elektromagnetyczne fale stojace, podobne do fal w
strunie lub w rezonatorze akustycznym, w którym
obok drgania podstawowego wystepuje szereg
wyzszych harmonicznych. Rayleigh i Jeans
otrzymali zwiazek na liczbe fal powstalych w
jednostce objetosci wneki w zakresie dlugosci fal
od ? do ? d? o postaci
29
(35)
Kazdej z tych fal mozna przypisac dwa stopnie
swobody i kazdemu z nich przypisac energie kT/2,
co oznacza, ze kazdej fali odpowiada calkowita
energia kT. Mnozac liczbe fal przypadajacych na
jednostke objetosci przez kT otrzymamy wzór
Rayleigha-Jeansa
gdzie k jest stala Boltzmanna
(36)
Wzór ten jest zgodny z fizyka klasyczna, ale w
zakresie fal krótkich dawal wyniki absurdalne,
niezgodne z danymi doswiadczalnymi.
30
Prawo Plancka
Max Planck (1900) zwrócil uwage, ze gdyby wzór
Wiena zmienic w prosty sposób, dawalby wyniki
zgodne z doswiadczeniem. Planck zalozyl, ze atomy
scian wneki (ciala doskonale czarnego) zachowuja
sie jak oscylatory elektromagnetyczne, z których
kazdy ma charakterystyczna czestotliwosc drgan.
Atomy te emituja do wneki i absorbuja z niej
energie elektromagnetyczna. Wlasnosci powstalego
promieniowania we wnece wynikaja z wlasnosci
oscylatorów, z którymi wneka jest w równowadze.
Planck przyjal dwa istotne zalozenia
31
1. Oscylator nie moze miec dowolnej energii, lecz
tylko energie dane wzorem
E nh?
(37)
gdzie ? oznacza czestotliwosc oscylatora, h -
stala (zwana obecnie stala Plancka, n - pewna
liczba (liczba kwantowa), która moze przybierac
tylko calkowite wartosci. Z równania tego wynika,
ze energia oscylatorów musi byc skwantowana.
Pózniejsze odkrycia pokazaly, ze poprawny wzór na
energie oscylatora harmonicznego ma postac
(38)
32
2. Oscylatory nie wypromieniowuja energii w
sposób ciagly, lecz skokami czyli kwantami.
Kwanty energii sa emitowane, kiedy oscylator
przechodzi z jednego do drugiego stanu
energetycznego. Jezeli n zmienia sie o jednosc w
równaniu (6), wypromieniowana zostaje ilosc
energii dana wzorem
?E ? nh? h?
(39)
Dopóki oscylator pozostaje w jednym ze swoich
stanów kwantowych, zwanych stacjonarnymi, dopóty
nie emituje ani nie absorbuje. Przy takich
zalozeniach widmowa zdolnosc emisyjna ciala
doskonale czarnego, podana przez Plancka ma postac
(40)
33
Po scalkowaniu R? wzgledem ? otrzymujemy
wyrazenie na zdolnosc emisyjna ciala doskonale
czarnego
(41)
Zwiazek ( ) zapisuje sie czesto w postaci
(42)
Przy czym ? 5.67 10-8 W/m2 K4. Jest to
prawo Stefana-Boltzmanna, które mówi,
ze
Calkowita zdolnosc emisyjna ciala doskonale
czarnego jest proporcjonalna do czwartej potegi
jego temperatury bezwzglednej
34
Dla dowolnego ciala rzeczywistego emisja
promieniowania ma mniejsza wartosc i mozna
wyrazic ja wzorem
(43)
gdzie A oznacza zdolnosc absorpcyjna ciala. Dla
ciala doskonale czarnego A 1, dla cial
rzeczywistych 0ltAlt1. Ciala doskonale odbijajace
A 0.
Widmowa zdolnosc emisji R? ma wartosc maksymalna
dla pewnej dlugosci fali ?max, która mozemy
obliczyc z warunku
Rózniczkujac to wyrazenie dochodzimy do
zaleznosci
(44)
35
gdzie b 2898 10-6 m K
(45)
Wzór ten nazywa sie prawem przesuniec Wiena
Ze wzrostem temperatury maksimum promieniowania
ciala doskonale czarnego przesuwa sie w strone
fal krótszych.
Efekt taki obserwujemy jako zmiane barwy ciala,
które ogrzewamy do wysokiej temperatury.
Prawo przesuniec moze byc tez wyprowadzone z
wzoru (34).

Stala Plancka, wprowadzona w modelu ciala
doskonale czarnego, wyznaczona jest na podstawie
efektu fotoelektrycznego, potwierdzajacego
kwantowa nature promieniowania. Wynosi ona
h 6.625 10-34 J s
36
Doswiadczalne dowody kwantowej natury
promieniowania

• Efekt fotoelektryczny a)
  zewnetrzny, b) wewnetrzny

37
Zjawisko fotoelektryczne zewnetrzne polega na
wybijaniu elektronów z powierzchni ciala stalego
przez promieniowanie. Zjawisko obserwowane jest w
ukladzie zawierajacym banke prózniowa z dwiema
elektrodami. W obwodzie zewnetrznym znajduje sie
zródlo zasilania, miernik pradu i miernik
napiecia. Pod wplywem padajacego na katode
promieniowania mozna zaobserwowac przeplyw pradu.
Analiza zjawiska fotoelektrycznego obejmuje
badanie zaleznosci natezenia od napiecia oraz
wplywu czestotliwosci na przebieg zjawiska
fotoelektrycznego. W zakresie napiec hamujacych
przeplyw pradu tylko te elektrony docieraja do
anody, których energia kinetyczna jest wieksza od
energii pola elektrycznego. Przy pewnej wartosci
pola prad zanika, odpowiadajace temu napiecie Uh
nazywamy napieciem hamujacym. Mozemy zauwazyc ze
maksymalna energia elektronów równa jest energii
hamujacego pola.
38
Ekmax e Uh
(46)
a
I
b

-
0
Róznica potencjalów V V
Prad fotoelektryczny I w zaleznosci od róznicy
potencjalów V. Krzywa b otrzymano przy mniejszym
natezeniu swiatla niz w przypadku krzywej a.
Energia kwantów jednakowa.
39
Jezeli pole przyspiesza elektrony, wówczas
obserwujemy najpierw wzrost pradu, a nastepnie
jego nasycenie ograniczone zdolnoscia emisyjna
katody.
h?
I
Uklad do badania fotopradu I w funkcji róznicy
potencjalów V
V
Wyjasnienie wlasnosci zjawiska fotoelektrycznego
jest mozliwe na podstawie kwantowej teorii
swiatla. Zgodnie z nia energia fotonu padajacego
na powierzchnie ciala stalego zostaje pochlonieta
przez elektron.
40
Czesc tej energii zostaje zuzyta na oderwanie sie
od elektronu od powierzchni, pozostala czesc
elektron zachowuje w postaci energii kinetycznej.
Stosujac zasade zachowania energii mozemy napisac

(47)
równanie Einsteina dla zjawiska
fotoelektrycznego.
h? ? Ekmax
Energia kwantu
Energia kinetyczna
Praca wyjscia
Wplyw czestotliwosci swiatla na przebieg
zjawiska fotoelektrycznego wyraza sie zaleznoscia
napiecia hamujacego Vh od czestotliwosci swiatla.
Istnieje pewna czestotliwosc progowa ?0
ponizej której zjawisko fotoelektryczne nie
zachodzi.
41
Czestotliwosci progowej ?0 odpowiada Ekmax 0.
Zatem
h ?0 ?
(48)
Praca wyjscia
Energia kwantu
W przypadku (48) foton ma tylko tyle energii, ile
potrzeba do wyjscia elektronu na zewnatrz z
zerowa energia kinetyczna. Jezeli h? gt ?, to
wybite elektrony maja energie kinetyczna, która
pozwala im dotrzec do anody, a jezeli ta energia
jest wystarczajaca, moga pokonac potencjal
hamujacy.
Odkrycie zjawiska fotoelektrycznego pozwolilo
na zbudowanie fotokomórki.
42
Albert Einstein (1879 1947)
Albert Einstein jeden z najwiekszych
fizyków-teoretyków XX wieku, twórca ogólnej
teorii wzglednoscii, wspóltwórca
korpuskularno-falowej teorii swiatla, odkrywca
emisji wymuszonej. Laureat nagrody Nobla za
wyjasnienie efektu fotoelektrycznego. Opublikowal
ponad 450 prac, w tym ponad 300 naukowych. Wniósl
tez swój wklad do rozwoju filozofii nauki.
43
Zjawisko Comptona
Zjawisko Comptona polega na zderzeniu kwantu
promieniowania z elektronem slabo zwiazanym z
atomem. Elektron taki traktujemy jako swobodna
czastke, a samo oddzialywanie kwantu z elektronem
traktujemy jako zderzenie sprezyste. Zderzenie
to musi podlegac prawu zachowania energii i prawu
zachowania pedu. Przed zderzeniem elektron ma
tylko energie spoczynkowa m0c2, a kwant enegie
h?0 i ped pf0 równy
(49)
Po zderzeniu foton zostaje odrzucony w bok,
tworzac kat ? z pierwotnym swoim kierunkiem,
natomiast elektron uzyskuje ped pe mv i
porusza sie pod katem ?.
44
Wektorowy wykres prawa zachowania pedu w zjawisku
Comptona
AB2 OB2 OA2 - 2OB OAcos?
(50)
A
pf
pf0
?
?
O
B
pe
Zapisujemy prawo zachowania energii i prawo
zachowania pedu dla zderzenia comptonowskiego.
45
Prawo zachowania energii
(51)
Prawo zachowania pedu
(52)
Na podstawie zwiazków miedzy bokami trójkata OAB
mozna napisac
(53)
lub
(54)
46
Z równania (51) znajdujemy
(55)
skad
(56)
Odejmujac od tego zwiazku wyrazenie (53)
znajdujemy
(57)
ale
(58)
47
Wobec tego znajdujemy
(59)
a nastepnie
(60)
Wykorzystujemy zwiazki miedzy predkoscia c,
dlugoscia fali - ? i czestotliwoscia - ? ,
indeks 0 oznacza wartosci przed zderzeniem
(61)
(62)
48
Wobec tego mamy wzór na zmiane dlugosci fali w
zjawisku Comptona.
(63)
lub
(64)
(65)
Zwykle oznaczamy
W zjawisku Comptona obserwujemy fotony
rozproszone pod róznymi katami. Zmiana dlugosci
fali, a co za tym idzie zmiana energii fotonu
zalezy od kata rozproszenia. Od kata zalezy tez
energia elektronów, które braly udzial w
zderzeniu.
49
Ilustracja zjawiska Comtona
?
e-
?
50
Ilustracja wewnetrznego zjawiska fotoelektrycznego
e-
?
51
Ilustracja zjawiska tworzenia sie par elektron -
pozyton
e-
?
e
52
Widmo kobaltu 60Co Spektrometr scyntylacyjny
Zjawisko Comptona
h? gt 2m0c2
1.17 MeV
1.33 MeV
Zjawisko fotoelektryczne
53
Widmo cezu 137Cs Spektrometr scyntylacyjny
0.66 MeV
h? lt 2m0c2
Zjawisko Comptona
Zjawisko fotoelektryczne