DEFINICI

1
DEFINICIÓN DE DERIVADA

• INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

JAVIER BERENGUER MALDONADO
2
Hasta el momento, de una función expresada
algebraicamente, yf(x), podemos conocer

• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
• Continuidad
• Asíntotas y ramas parabólicas

Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando
quiero conocer

• Intervalos de crecimiento / decrecimiento
• Máximos y mínimos relativos

Para estos dos puntos es necesario el estudio de
LAS DERIVADAS
3
LA IMPORTANCIA DE LAS TANGENTES
La clave para el estudio de las dos cosas que
nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de
crecimiento y decrecimiento) son las rectas
tangentes
4
m0
mgt0
En los puntos de máximo o mínimo, la recta
tangente es horizontal ( es decir, la pendiente
es 0)
mlt0
mlt0
En los tramos de crecimiento la recta tangente
tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento
la tiene negativa.
m0
5
Llamamos derivada de la función f en xa a la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de f
en el punto de abscisa a
La derivada de la función f en a se denota con el
símbolo f(a), que se lee f prima de a
f( -4,5) -3/2 porque la tangente en el punto
de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2.
y3
y1,2x1,5
f(-2) 0
f(4)0
f(2)1,2
f(6)-1,3
y-1,3x13
y-3/2x-24
y-4
6
CÓMO CALCULAR LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO?
Conocidos dos puntos de la recta tangente puedo
calcular su ecuación.
(3,2)
(1,-1)
Resolviendo el sistema y 3/2 x-5/2
De esta manera f(3)3/2
7
CÓMO CALCULAR LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO?
Lo anterior es muy largo pues lo único que me
interesa saber es la m. Para calcularla hay una
manera muy fácil
(3,2)(x1,y1)
(1,-1) )(x0,y0)
De esta manera f(3)3/2
8
IMPORTANTE
O LO QUE ES LO MISMO
9
Nos proponemos ahora calcular la pendiente la
recta t tangente en un punto de abscisa xa. Pero
sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta
t, y para hallar su pendiente necesitamos dos
puntos. Qué hacer? Resolvamos la cuestión en
varias etapas.
Recta t
f'(a)m?
A(a,f(a))
10
Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A
de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha
o izquierda una distancia h. Tenemos así el
punto xah sobre el eje X y su correspondiente
punto de la gráfica P((ah), f(ah))
P(ah,f(ah))
A(a,f(a))
Recta t
a
ah
11
Calculamos la pendiente de la recta secante AP
con las coordenadas de los dos puntos A y P.
f(ah)-f(a)
h
12
Si h es muy pequeño, ah está muy cerca de a. De
esta forma
13

• P está muy próximo a A
• La secante AP casi se confunde con la tangente
  t
• La pendiente de la secante AP es casi la
  pendiente de t

Ahora bien, el valor de h no puede ser 0, aunque
sí todo lo pequeño que se quiera. Y aquí
interviene el concepto de límite.
14

• P está muy próximo a A
• La secante AP casi se confunde con la tangente
  t
• La pendiente de la secante AP es casi la
  pendiente de t

P
A
a
ah
Así pues la derivada es un número que se obtiene
mediante un límite
15
Calcula la derivada de f(x)x2/4 para a2
16
Qué información da lo anterior?
La pendiente de la recta tangente a la función
en el punto x2 es 1, por lo que la recta
tangente a mi función en x2 es
Además como la derivada es , esto indica que
cerca de x2 la función es creciente.
yy0m(x-x0)
17
ACTIVIDADES 1 Y 2 DE PÁGINA 308