Medidas de Tendencia Central

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Medidas de Tendencia Central
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE TLAXCALA
INGENIERÍA QUÍMICA
PROABILIDAD Y ESTADÍSTICA

• Percentiles

Maestro Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez
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Introducción

• Un conjunto de datos pueden conocerse por medio
  de algunas medidas que lo describen.
• La medida de la tendencia central se emplea para
  localizar el centro de un conjunto de
  observaciones. Sin embargo, con frecuencia
  resulta igualmente importante describir la forma
  en que las observaciones están diseminadas o
  dispersas, a cada lado del centro.

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Temas de discusión

• Estadígrafos o Estadísticos
• Estadígrafos de posición
• Percentiles
• Tipos especiales de percentiles
• Cálculo de percentiles en datos agrupados
• Cálculo de deciles en datos agrupados
• Cálculo de cuartiles en datos agrupados

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Estadígrafos o estadísticos

• Estadígrafos llamaremos estadígrafo o
  estadístico, a números resúmenes, que nos
  permiten establecer conclusiones a cerca de la
  estructura de una muestra, estos números son
  construidos considerando TODA la información que
  contiene dicha muestra, es decir consideran TODOS
  los datos que han sido recolectados.

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Estadígrafos o estadísticos

• Pueden construirse estadígrafos para distintos
  fines, sin embargo estudiaremos cuatro tipos de
  ellos, estadígrafos de
• Posición
• Tendencia central
• Variabilidad o dispersión
• Y de forma.

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Estadígrafos o estadísticos

• Cada vez que la muestra de datos, medidos en al
  menos en escala ordinal, ha sido ordenada, se
  establece un Ranking para cada una de las
  observaciones, este ranking, indica en que
  posición, en dirección ascendente, se encuentra
  el dato respecto a la muestra.

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Estadígrafos o estadísticos

• Este ranking se denota por un subíndice encerrado
  entre paréntesis. Por ejemplo si se tienen los
  datos
• 12, 7, 15 y 13
• al ordenarlos se tiene
• 7, 12, 13 y 15
• es decir el primer dato ordenado es 7, el segundo
  es 12 etc. Este hecho lo anotamos simbólicamente
  como sigue
• X(1)7, X(2)12, X(3)13 y X(4)15

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Estadígrafos o estadísticos

• De este modo la muestra la podemos visualizar
  sobre un eje ordenado Información complementaria
  y ejemplos

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Estadígrafos de posición

• Estadígrafos de posición son aquellos que dan
  información a cerca del orden en la estructura de
  una muestra.
• Ya hemos mencionado dos de ellos que aparecen en
  forma instantánea al ordenar la muestra, nos
  referimos al máximo, X (n), y al mínimo,
  X(1).Resumir los elementos de acción que se deben
  llevar a cabo

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Percentiles

• Llamaremos PERCENTILES, a cada uno de los números
  que dividen la muestra en 100 partes iguales.
• Hay 99 percentiles, y se denotan por P(k), donde
  k es el orden del percentil indicado.
• Dado el percentil P(k), este divide la muestra en
  dos partes, la inferior que contiene el k
  inferior de las observaciones y la superior que
  contiene el (100-k) de las observaciones.
• Entre dos percentiles consecutivos está contenido
  un 1 de la muestra

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Percentiles
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Percentiles

• Cálculo de los percentiles para variables medidas
  en escala ORDINAL o variables de RAZON DISCRETAS
• Pk es el valor de la variable para el cual la
  frecuencia acumulada IGUALA o SUPERA por primera
  vez el orden del percentil buscado.

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Percentiles

• Hay percentiles, que por la popularidad de
  interpretación que tienen, reciben nombre propio,
  entre ellos están
• Los Cuartiles son tres, denotados por Q1, Q2 y
  Q3 , que corresponden respectivamente a los
  percentiles P25, P50 y P75, ellos dividen la
  muestra en cuatro partes iguales.
• Los quintiles son cuatro, denotados por C1, C2,
  C3 y C4, que corresponden respectivamente a los
  percentiles P20, P40, P60 y P80, ellos dividen la
  muestra en cinco partes iguales.
• Los deciles son nueve, denotados por D1,
  D2,...,D9, que corresponden respectivamente a los
  percentiles P10, P20,...,P90, ellos dividen la
  muestra en diez partes iguales.

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Ejemplo
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Percentil Mediana

• Podemos concluir que P50 sería el valor que
  divide en dos parte iguales la cantidad de datos
  de la muestra o población siendo equivalente a la
  mediana.
• P50 Me

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• Traslademos el gráfico de barra a su respectiva
  tabla de frecuencia y tratemos de localizar los
  Porcentiles expuestos en el ejemplo

• Podemos concluir fácilmente (con ayuda de las
  frecuencias acumuladas), que 14 personas (14 del
  total) están por debajo de los 15 años (podemos
  aproximarlo a 15 años), lo cual representaría al
  percentil 14
• P15 14

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Formula para calcular Percentiles

• Para expresar la fórmula en frecuencias absolutas
  tenemos que
• k es el porcentil deseado
• Lsi-1 es el límite inferior exacto de la clase
  que contiene el porcentil deseado
• A es el ancho del intervalo
• n es la frecuencia total
• Fi-1 es la frecuencia acumula de la clase
  anterior a la que contiene el porcentil deseado
• f es la frecuencia absoluta de la clase

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• El percentil 5 (P5) no puede ser calculado
  directamente, pero podemos concluir que dicho
  valor se encuentra en el primer intervalo, ya que
  este acumula el 14 de las personas. No ocurre lo
  mismo con el percentil 78 (P78) que aparece
  directamente en la tabla
• PASO 1 Localizar en cuál de los intervalos de
  clase se encuentra el percentil
• PASO 2 Aplicando la fórmula concluimos

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Deciles

• Para los deciles, tomaremos el total de los datos
  divididos en 10 partes iguales, por tanto,
  existirán 10 deciles representado como Dk

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Fórmula para calcular Deciles

• Para expresar la fórmula en frecuencias absolutas
  tenemos que
• k es el decil deseado
• Lsi-1 es el límite inferior exacto de la clase
  que contiene el decil deseado
• A es el ancho del intervalo
• n es la frecuencia total
• Fi-1 es la frecuencia acumula de la clase
  anterior a la que contiene el decil deseado
• f es la frecuencia absoluta de la clase

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Ejemplo A partir de la tabla de frecuencia dada
para ejemplificar los percentiles, encontrar el
decil 2.

• PASO 1 Localizar en cuál de los intervalos de
  clase se encuentra el decil
• PASO 2 Aplicando la fórmula concluimos

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CUARTILES

• Para los deciles, tomaremos el total de los datos
  divididos en 4 partes iguales.
• Denotaremos el cuartil como Qk.

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Fórmula para calular Cuartiles

• Para expresar la fórmula en frecuencias absolutas
  tenemos que
• k es el cuartil deseado
• Lsi-1 es el límite inferior exacto de la clase
  que contiene el cuartil deseado
• A es el ancho del intervalo
• n es la frecuencia total
• Fi-1 es la frecuencia acumula de la clase
  anterior a la que contiene el cuartil deseado
• f es la frecuencia absoluta de la clase

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Ejemplo Calcular el cuartil 3.

• PASO 1 Localizar en cuál de los intervalos de
  clase se encuentra el cuartil
• PASO 2 Aplicando la fórmula concluimos

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EJERCICIO PROPUESTO

• A partir de la siguiente tabla de frecuencia
  calcular

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EJERCICIO PROPUESTO

• a. Percentil 15
• b. Percentil 35
• c. Percentil 40
• d. Percentil 85
• e. Decil 2
• f. Decil 6
• g. Decil 8
• h. Cuartil 1
• i. Cuartil 2
• j. Cuartil 3

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CUESTIONARIO DE REPASO