ALGORITMI PER IL CALCOLO DEL PREZZO E DELLA COPERTURA DI OPZIONI EUROPEE

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ALGORITMI PER IL CALCOLO DEL PREZZO E DELLA
COPERTURA DI OPZIONI EUROPEE
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI ROMA TOR
VERGATA Corso di laurea in ingegneria dei
modelli e dei sistemi
Relatore Prof. Giovanni Bellettini
Studente Claudio Palandra
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Ringraziamenti

• Ringrazio tutti i presenti per la
  partecipazione.
• Claudio Palandra

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Sommario

• Introduzione proprietà del mercato ed opzioni
• Modello Cox-Ross-Rubinstein
• Programmazione in C.

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TASSI DINTERESSE

• Definiamo r il tasso di interesse il capitale
  iniziale cresce dopo n periodi di
  ricapitalizzazione nei seguenti modi
• Semplice
• Composto
• Composto tempo continuo
• Se nellanno ho k periodi, su n anni ottengo la
  seguente ricapitalizzazione

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ARBITRAGGIO

• È definito arbitraggio una operazione finanziaria
  che
• non necessita di capitale iniziale
• non può dar luogo mai a perdite, anzi ha
  probabilità strettamente positiva di guadagno.

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ARBITRAGGIO

• Un esempio
• sul mercato dei cambi si registra nello stesso
  istante i seguenti tassi
• Euro/USD 1.267
• Euro/Yen 133.85
• USD/Yen 106.75
• 1 USD 106.75 Yen 106.75 Yen 0.798
  Euro 1.011 USD
• Abbiamo ottenuto un guadagno di 1.1 centesimi di
  USD

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PROPRIETA DEL MERCATO FINANZIARIO

• Studieremo un mercato finanziario con proprietà
  quasi sempre non riscontrabili senza discostarci
  troppo dalla realtà avremo però grandi
  facilitazioni dal punto di vista dello studio
  matematico.
• Proprietà
• Esiste di un tipo di investimento non rischioso
  detto bond, a tasso r costante
• i costi di transazione(cambio valuta, acquisto
  azioni...) sono nulli
• è ammessa la vendita allo scoperto
• sono permesse operazioni che riguardano frazioni
  di bene.

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Derivati

• un prodotto derivato è un titolo il cui valore è
  basato sul valore di mercato di altri beni
• nati inizialmente con lo scopo di coprire il
  rischio tuttavia si prestano bene a scopi
  speculativi
• vasta diffusione sui mercati
• i principali derivati sono futures e opzioni.

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Opzioni

• Particolare tipo di derivato che conferisce al
  possessore la possibilità ma non lobbligo di
  comprare o vendere il bene(sottostante) sul quale
  lopzione è sottoscritta, ad un determinato
  prezzo prefissato fino a una particolare data
  prefissata(maturità).

Americane è possibile esercitare in qualsiasi
momento
Europee è possibile esercitare solo a maturità.
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Nomenclatura

• la data prefissata T è detta maturità
• il prezzo prefissato K è detto prezzo di
  esercizio o strike
• il bene si chiama sottostante
• Si distingue inoltre
• Call/put rispettivamente opzioni a comprare o
  vendere un bene
• Europee esercitabili solo a maturità
• Americane esercitabili in qualsiasi istante prima
  di maturità

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Payoff

• È una quantità che caratterizza lopzione
• rappresenta il guadagno del detentore del
  contratto
• dal payoff possiamo dedurre qualsiasi tipo di
  opzione (asiatica, digital, barriera...)

Grafico del payoff di una put
Grafico del payoff di una call
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Opzioni

• Possiamo domandarci

Cosè il premio di unopzione?
Cosè una strategia replicante?
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Modello C.R.R.

• Sul mercato sono presenti solo 2 titoli uno non
  rischioso e uno rischioso
• il prezzo del sottostante tra 2 istanti
  successivi può assumere solo 2 valori

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Note sul modello C.R.R.

• Sia il valore del sottostante al tempo n e
  a, b tali che
• -1ltaltb allora
• Affinchè il modello CRR sia privo di arbitraggio
  e completo è necessario che
• altrltb

con probabilità p
con probabilità (1-p)
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Note sul modello C.R.R.
1-p
p
0
1
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Note sul modello C.R.R.

• svolgendo semplicemente i conti si ottiene

da cui ottengo la misura di probabilità che
chiameremo neutrale al rischio
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In generale...

• Se h è il payoff di una opzione il prezzo è dato
  da
• Seguendo la strategia replicante sarò in grado di
  generare a maturità esattamente il valore h. Nel
  caso particolare di una call standard il prezzo
  sarà

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Mercato completo

• Un mercato è completo quando qualsiasi opzione è
  replicabile, cioè se esiste una strategia tale
  che il valore finale del portafoglio è uguale al
  payoff dellopzione.
• A differenza del concetto di arbitraggio non vi è
  un chiaro significato finanziario.

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Teoremi asset pricing

• Un mercato è privo di arbitraggio se esiste una
  misura di probabilità p equivalente a p tale che
  il vettore dei prezzi scontati del titolo
  rischioso è una p-martingala.
• 2. Un mercato privo di arbitraggio è completo
  se esiste ununica misura di probabilità
  equivalente p tale che il vettore dei prezzi
  scontati del titolo rischioso è una
  p-martingala.

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Martingale

• Una successione di variabili aleatorie è una
  martingala rispetto alla filtrazione se è
  adattata alla filtrazione, se ha speranza
  matematica finita per ogni n e se, per ogni n,

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Programmazione C

• Calcolo del prezzo di opzioni path dependent
• Calcolo della copertura dinamica di unopzione
• Verifica della velocità di convergenza

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Path dependent
Le opzioni path dependent hanno payoff dipendente
in maniera non banale dalla storia del prezzo del
sottostante. In genere non esistono formule
chiuse per il calcolo del prezzo.
K 100 So 100 T 1 12 lt N lt 365 104 lt M
lt 106
PREZZO OPZIONE INTERVALLI CONFIDENZA
SIMULAZIONI
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Path dependent

• Asiatiche

Barriera

• no forma chiusa

• no forma chiusa

simulazioni
simulazioni
Prezzo
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Asiatiche

• Il payoff dipende dalla media aritmetica dei
  valori del sottostante nel corso della vita
  dellopzione

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Asiatiche

• Visto che non è facile trovare formule chiuse,
  nel programma ricorriamo a simulazioni
• generiamo M volte il payoff
• per M molto grande la media empirica ci fornisce
  una buona approssimazione del valore che
  cerchiamo
• Codice back

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Cosa succede......
5
4
N
3
2
0
1
0
5
N
1
2
3
4






K
(
)

N1
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Asiatiche

• Nella tabella possiamo vedere alcuni risultati
  facendo variare il numero di simulazioni M ed il
  numero di periodi nellanno N

N365 N52 N12
M10.000 5.86649 5.81128 5.72745
M100.000 5.75327 5.8062 5.76763
M1.000.000 5.76844 5.75854 5.73879
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Asiatiche ? intervalli confidenza
DA A
M10.000 N365 5.70815 6.02483
M100.000 N365 5.70399 5.80256
M1.000.000 N365 5.7528 5.78407
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Barriera
opzione attiva

• Sono opzioni che si attivano o si disattivano se
  il valore del sottostante, in un momento
  qualsiasi della vita di unopzione, raggiunge una
  determinata soglia detta barriera.

barriera
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Barriera

• Hanno prezzo inferiore delle normali call/put
  perchè hanno la possibilità di entrare in stati
  disattivati o uscire da stati attivati.
• Se U è il valore della barriera, il payoff di una
  call up-and-in risulta

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Barriera

• Visto che non è facile trovare formule chiuse nel
  programma ricorriamo di nuovo a simulazioni.
• Codice back

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Barriera

• Nella tabella possiamo vedere alcuni risultati
  facendo variare il numero di simulazioni M ed il
  numero di periodi nellanno N

N365 N52 N12
M10.000 10.4029 10.3257 10.1298
M100.000 10.3233 10.351 10.2859
M1.000.000 10.2945 10.3045 10.2506
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Barriera ? intervalli di confidenza
DA A
M10.000 N365 10.115 10.6908
M100.000 N365 10.2316 10.415
M1.000.000 N365 10.2655 10.3234
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Variazioni sulla barriera
Nella tabella abbiamo fissato M1.000.000 e
N365 facendo variare il valore della barriera
si ottiene
U PREZZO INTERVALLO
200 0.0661976 0.0611827? 0.0712124
140 4.57489 4.54883 ? 4.60294
110 10.2945 10.2655 ?10.3234
103 10.4336 10.4048 ?10.4624
CALL S. 10.4358 ---------------------
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Simulazione Monte Carlo

• voglio determinare una certa quantità m
• scopro che m è la media di una variabile
  aleatoria X
• genero Q variabili aleatorie ,
  IID
• stimo m con la media aritmetica delle variabili
  generate

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Simulazione Monte Carlo

• per Qgtgt1 la seguente variabile aleatoria Z è
  distribuita come N(0,1)
• dunque possiamo determinare un intervallo di
  confidenza per la stima fatta
• rimane il problema della stima della varianza
  uso la varianza campionaria

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Barriera

• consideriamo una opzione barriera up-and-in
• n0 flag0
• flag1
• simulo veloce fino a nN
• n1
• continuo il ciclo
• n2 .......

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Stima empirica velocità di convergenza

• Il modello C.R.R. converge per N molto grande al
  modello B.S. trovare la velocità di convergenza
  è cosa piuttosto complessa
• un tentativo fattibile è una stima empirica con
  il calcolatore

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Prezzo Black-Scholes

• Definiamo la funzione di ripartizione di
  una gaussiana standard e i seguenti
  valori
• Per una put standard ed una call standard il
  prezzo secondo il modello Black-Scholes risulta
  rispettivamente

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Stima empirica velocità di convergenza

• se passo alla scala logaritmica
• ascissa
• ordinata
• posso graficare e stimare con il
  coeff.angolare...

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Stima empirica velocità di convergenza
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Stima empirica velocità di convergenza

• Lestrapolazione di Romberg fornisce una verifica
  della correttezza del risultato, oltre che una
  stima più precisa
• Codice back

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Copertura dinamica

• voglio fare il venditore di opzioni necessito
  costruire una strategia replicante, cioè una
  strategia che dia a maturità un valore di
  portafoglio pari al payoff dellopzione
• simulo la traiettoria del valore del sottostante,
  e ad ogni istante decido le quantità che dovrò
  acquistare allistante successivo di sottostante
  e di titolo non rischioso per garantirmi la
  copertura
• Codice back

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Copertura dinamica

• ad ogni passo k osservo , ricavo le
  funzioni prezzo
• da cui posso facilmente risalire alle quantità
  da acquistare tramite il sistema

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Copertura dinamica
Risolvendo il sistema si ricavano le quantità
cercate
Analizzando la prima delle 2 funzioni vediamo
come questa misuri la sensibilità della
variazione del prezzo dellopzione al tempo n
rispetto ad una variazione del prezzo del titolo
di base.
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Sviluppi per il futuro

• studio di opzioni americane
• studio di algoritmi efficienti per prezzare
  opzioni americane path-dependent
• articoli di Barraquand/Pudet e di Hull/White
• studio nel continuo.