M.H. ALLOUCHE, V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY,

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Transformations de Squire pour un fluide purement
visqueux
Ecoulement à surface libre sur plan incliné
M.H. ALLOUCHE, V. BOTTON, S. MILLET, D.
HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET

Laboratoire de Mécanique des Fluides et
dAcoustique,
1
2
Etude de stabilité
S.Millet et.al (2007)
3
(No Transcript)
4
Plan

• Stabilité découlement de fluide newtonien en
  canal plan (Squire H.B 1933)
• Stabilité découlement à surface libre de fluide
  newtonien sur plan incliné (Yih C.S 1955 et
  Chang-Demekhin)
• Stabilité découlement de fluide purement
  visqueux en canal plan (Nouar et.al 2007)
• Stabilité découlement à surface libre de fluide
  purement visqueux sur plan incliné

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Equation dOrr-Sommerfeld

• 3 Equations de Navier-Stokes continuité
• u,p (x,y,z,t)champ de base u,p (x,y,z,t)
• gt 4 Equations aux perturbations
• On élimine p, u et w gt 1 équation dordre 4
  en v
• Perturbations périodiques
• CL en canal plan non glissement aux parois
• CL à surface libre non glissement au fond
  contraintes tangentielles et normales à la SL
  condition cinématique

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Fluide newtonien en canal plan
7
Fluide newtonien en canal plan Squire H.B. 1933

• Perturbations (Orr-Sommerfeld)
• Relations de Squire
• Théorème de Squire
• Pour étudier les instabilités 3D, il suffit
  détudier les instabilités 2D.
• Les instabilités 2D sont les plus dangereuses.

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Fluide newtonien sur plan incliné
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Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin
et Yih C.S.

• Champ de base
• Nombres adimensionnels

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Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin
et Yih C.S.

• Eq dOrr-Sommerfeld identique
• CL différentes

11
(No Transcript)
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Fluide purement visqueux en canal plan
13
Fluide purement visqueux en canal plan

• Eq dOrr-Sommerfeld généralisée
• 3D
• Avec ? tenant compte de la perturbation de
  viscosité
• fluide
  purement visqueux
• Les relations de Squire sont-elles applicables ?
• Terme en Dw pas de relation de Squire !
• Introduire une équation supplémentaire ?
• Nouar et.al (2007)
• Etude numérique 3D ?
• En forçant ??...
• La viscosité perturbée nintervient quau niveau
  des contraintes de cisaillement dans le plan
  (x,y)

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Fluide purement visqueux sur plan incliné
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Fluide purement visqueux sur plan incliné

• Champ de base Avec
• Nombres adimensionnels

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Fluide purement visqueux sur plan incliné

• Eq dOrr-Sommerfeld généralisée
• CLs avec des perturbations 3D

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(No Transcript)
18
Merci de votre attention
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Équations aux perturbations

• Interprétation de q

où
19/40
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Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et al

• Modèle de Carreau
• Perturbation de contrainte
• Equations aux perturbations 3D

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Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et.al
2007

• Sous quelles conditions le théorème de Squire
  est-il applicable ?

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Seuil de stabilité (approche Orr-Sommerfeld)
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• Seuils de stabilité selon langle dinclinaison
• (Millet et al. 2007)
• L 0 dans le cas dun fluide newtonien
• L 0.5 dans le cas dun fluide de Carreau
• et I 10-3, n 0.5.

Recr
Angle dinclinaison
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Prise en compte de la perturbation de viscosité.
On peut écrire
avec
Pente de la loi constitutive en échelles log
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