Chapitre II : Les outils math

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Chapitre II Les outils mathématiques
II-1 Les signaux analogiques et
échantillonnés II-2 Produits de signaux II-3
Transformées de Fourier II-4 Transformée de
Laplace II-5 Transformation en Z
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Chapitre II Les outils mathématiques
II-1 Les signaux - Les différents états dun
signal
1 Signal analogique Il est représenté par une
fonction continue f(t) de la variable continue t
(f et t prenant leurs valeurs dans ?).
2 Signal échantillonné Il est obtenu à partir
dun signal analogique par discrétisation de la
variable générique t. Cest donc une suite de
valeur f(kT) prélevée sur f(t) aux instants tkT
(k est entier etT période déchantillonnage) Symbo
le de lopération échantillonnage
T
f(t)
f(kT), fe(t), fk
Le modèle mathématique dun échantillon de valeur
f(kT) est la distribution singulière de Dirac
?kT?(t-kT) damplitude f(kT). Un signal
échantillonné sécrit donc
fe(t)f(t).
Peigne de Dirac
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3 Signal numérique cest une suite de nombres
obtenue à partir dun signal échantillonné après
discrétisation de lamplitude f(kT) de
léchantillon (cest donc le nombre mis en
mémoire dans lordinateur). f(kT) ne peut prendre
quune suite de valeurs séparées du pas de
quantification q. Lexemple le plus courant est
celui des signaux délivrés par un convertisseur
analogique-numérique (CAN) et traités ensuite par
un ordinateur. Le modèle mathématique du signal
numérique est le même que celui du signal
échantillonné. Cependant le signal numérique peut
etre décomposé en 2 contribution. Signal
Numérique Signal Echantillonné bruit de
quantification de variance On supposera dans la
suite du cours que qltlt1, aussi ne fera-t-on pas
de différence entre un signal numérique et un
signal échantillonné.
4 Signal quantifié (Convertisseur Numérique
Analogique CNA) Cest le signal obtenu après le
convertisseur numérique analogique. Il peut être
obtenu aussi à partir de f(t) après
quantification de lamplitude de f au pas q
(troncature, arrondi, ....).
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t f(t) Continu Discret
Continu Analogique Echantillonné
discret Quantifié (CNA) Numérique (CAN)
II-2 Produits de signaux
1 Le produit de convolution a Définition Le
produit de convolution modélise la relation
entrée sortie dun système linéaire invariant
(SLI)
h(t) représente la réponse impulsionnelle du
système considéré Lélément neutre du produit de
convolution est la distribution de Dirac
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b Convolution de signaux discrets
(échantillonnés)
Le produit de convolution de 2 signaux
échantillonnés est un signal échantillonné dont
la suite des échantillons est
2 Produit Scalaire de deux signaux
analogiques Soit f et g deux fonctions réelles ou
complexes, le produit scalaire de ces deux
fonctions est P est un nombre réel ou
complexe. On dit que P représente la projection
de f sur g. Si P0, on dit que les deux fonctions
sont orthogonales. Si fg, P représente lénergie
de f (Ef).
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Exemple La Transformée de Fourier (voir II-3)
représente lensemble des projections dune
fonction f(t) sur la base des fonction
cissoïdale (qui forment une base de fonctions
orthonormée).
Remarque On peut définir le produit scalaire de
2 signaux numériques
Donc la Transformée de Fourier dun signal
échantillonné sécrit
FFT
3 Energie et Puissance Les produits précédents
nexistent que si au moins lun des signaux est
dit à énergie finie.
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II-3 Transformée de Fourier
1 Définition
F(?) existe si f(t) est absolument
sommable Quelques cas particuliers
TF
2 Propriétés principales
Retard
Convolution (lun au moins des signaux est
dénergie finie)
Energie
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Transformée de Fourier dun signal échantillonné
On remarque que la TF dun signal échantillonnée
est périodique de période . Le développement
précédent est le développement en série de
Fourier complexe de Fe(?) les f(kT) sont les
coefficients de ce développement et donc
3 Conséquences de l'échantillonnage et Théorème
de Shannon
L'échantillonnage est une nécessité pour pouvoir
traiter les signaux analogiques par calculateur
numériques (traitement plus simple et moins
coûteux), la contre partie est la perte
dinformation entraînée par L'échantillonnage. La
suite numérique f(kT) est censée représenter la
signal analogique f(t). Or on vient de voir que
la TF de fe(?) Fe(?) est périodique de période
(T période d'échantillonnage) alors que
F(?) na aucune raison de l'être.
L'échantillonnage dans le domaine temporel se
traduit par une périodisation de spectre dans le
domaine fréquentiel.
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Relation entre Fe(?) et F(?)
fe(t)f(t).
Fe(?) F(?)
Fe(?) est le répétition périodique de F(?), qui
représente le motif élémentaire, avec la période
Exemple
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A linverse dans le cas ci-dessous on constate
que les deux signaux sont identiques car
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Remarque En pratique, le signal f(t) nest pas
à bande limitée. De plus fréquemment un signal
est entaché de bruit à large spectre. On aura
donc toujours recouvrement des fréquences du à la
périodisation du spectre du signal
échantillonné. Donc pour éviter le repliement du
spectre autour de ?e/2 (appelée fréquence de
Nyquist). - Il est nécessaire de décider quil
existe une fréquence maximum ?M au delà de
laquelle f(t) ne contient plus dinformation
utile. - Il faut alors filtrer le signal
analogique avant échantillonnage utilisation
dun filtre passe bas anti-repliement dont le
rôle est de couper les fréquences supérieures à
?M.
Restitution du signal
On désire donc reconstituer un signal à temps
continu à partir des valeurs aux instants nT.
Pour cela il est nécessaire deffectuer une
interpolation entre 2 instants de discrétisation.
1 Interpolateur idéal
Comme nous lavons vu précédemment pour obtenir
le signal f(t) à partir du signal échantillonné
fe(kTe) il suffit déliminer les bandes
translater de F(?) par une fonction fenêtre
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La transformée de Fourier inverse du filtre est
bien connue, notamment lorsque lon veut calculer
la diffraction dune fente, donc on obtient la
formule de linterpolateur idéale
Remarque Lutilisation de la formule de
linterpolateur idéale est impossible en temps
réel car pour calculer f(to) il faut connaître
les valeurs de f(t) aux instants tel que kTgtto
2 Interpolateur réalisable en temps réel
Bloqueur dordre 0 (B0)
B0
Réponse impulsionnelle du B0
?0
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Représentation fréquencielle
Filtre idéal
Exemple de filtre antirepliement
filtre de Butterworth

• constante caractérisant londulation dans la BP
• Cn polynôme de Tchebychev du premier ordre et
  de degré n

filtre de Tchebychev
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II-4 Transformée de Laplace dun signal analogique
1 Définition
La variable de Laplace est
Abscisses de convergence
La transformée de Laplace (TL) définit ci-dessus
est la TL bilatère, la TL monolatère ou TL (sans
plus de précision) est
Il est à noter quune TL bilatère na de sens que
si lon précise le domaine de convergence de
Re(p)r
Exemple
Lorsquon travaille avec des sommes de signaux,
lintersection des domaines de convergence (?)
doit être non nul pour que lon puisse travailler
avec la TL.
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En fait les signaux auxquels nous sommes
confrontés rentrent dans lune des deux classes
suivantes
a Les signaux sont sommables en valeurs absolue
alors ? est non vide puisque r0. On pourra alors
remplacer p par j?, donc TL et TF se déduisent
lune de lautre b Les signaux sont nuls tlt0
(signaux causals) et sont de croissance au plus
exponentielle alors la convergence de la TL est
assurée. Donc ? est non vide puisque la borne
supérieur est linfini (?), pas de problèmes
existence, par contre le passage à la Tf nest
pas assuré contrairement au cas précédent.
Quelques TL
2 Propriétés de la TL
Linéarité Le produit de convolution La
dérivation
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Cas des fonctions rendues causales
L'intégration
Théorème de la somme
Théorème de la valeur finale et initiale
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Théorème du retard
Formule dinversion pour les fonctions causales
Le ième résidu a pour valeur
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II-5 Transformation en Z (TZ)
1 Définition
Pour les signaux analogiques, l'outils
mathématiques utilisé est la TL. Lune de ces
propriétés notable est de remplacer le produit de
convolution par un produit simple et de
substituer lopérateur dérivée (d/dt) par la
seule multiplication de la variable p ... Un
outil analogue a donc été développé pour le
traitement des signaux échantillonnés - A une
suite d'échantillons xn on fait correspondre
X(Z) de la variable complexe où T est
la période d'échantillonnage. - Sachant que le
modèle mathématique dun signal échantillonné
sécrit
Remarque est un opérateur avance du
temps T, cest-à-dire lopérateur avance dun
échantillon La TZ sidentifie à la TF pour
. On dit que la TZ est TF évaluée
sur le cercle unité.
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2 Condition dexistence
Appliquons ce critère à F(Z)
La zone de convergence est un anneau délimité par
les rayons R- et R qui représentent léquivalent
des abscisses de convergence de la TL
Remarque Si f(kT) est causal R???
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Exemples
Définir les rayons de convergence des suites
3 Transformée en Z inverse a - Formule
dinversion
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Cette relation a valeur de définition
Cas des signaux causals
? R ?,donc tous les pôles de F(z) sont à
lintérieurs du contours (c), on peut évaluer
lintégrale
Uniquement valable pour les signaux causals
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Exercice
Trouver les rayons de convergence, lexpression
de F(Z)
b Inversion numérique directe pour un signal
causal
Si F(Z) se présente sous la forme dun rapport de
2 polynômes en Z On calcul le quotient en
divisant N(Z) par D(Z) suivant les puissance
croissante de Z-1. La suite f(kT) est la suite
des coefficients du quotient
Exemple Rampe
Remarque pour un signal causal degrés de N ?
degrés de D
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4 Obtention de la TZ à partir de la TL
Exemple
5 Propriétés de la TZ
Linéarité
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Avance / Retard

• Remarque k0?1 correspond à lavance ou le
  retard dun échantillon.
• La variable Z joue le rôle dopérateur avance au
  même titre que la variable p joue le rôle
  dopérateur dérivation en TL
• La variable Z-1 joue le rôle dopérateur retard
  au même titre que la variable 1/pp-1 joue le
  rôle dopérateur intégration en TL

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Avance / Retard (suite) Cas de la
transformation monolatère ou dune suite rendue
causale
Le décalage à gauche (avance) fait disparaître un
certain nombres déchantillon
Le décalage à droite (retard) fait apparaître un
certain nombres déchantillon quil faut ajouter

Exemple
Rappel
Retard
Avance
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Multiplication par ak
On se déplace sur un rayon suivant la valeur de
a. Une des applications possible est de
multiplier un signal par ak afin de modifier la
position des pôles et des zéros de sa TZ
Multiplication par le temps (t)
Valeurs limites
Valeurs initiales
Valeurs finales
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Produits de signaux
Equation de récurrence