Equa

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Equações Diferenciais e Engenharia de Segurança
no Trabalho - Algumas Aplicações Básicas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO
SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE
MATEMÁTICA PURA E APLICADA

• Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio
  Grande do Sul FAPERGS
• 2006

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Dados de Identificação

• Aluno Bolsista Deborah Marcant Silva Madalozzo
• Curso Engenharia Civil
• Professor Orientador Elisabeta D Elia
  Gallicchio
• Período de Vigência agosto/2005 a julho/2006
• Instituição Universidade Federal do Rio Grande
  do Sul
• Unidade Instituto de Matemática
• Órgão Departamento de Matemática Pura e Aplicada
• Número do Processo 05510790

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Etapas do Projeto

• Estudo da teoria concernente aos modelos
  matemáticos e métodos de resolução utilizados
• Correlação com a área de Engenharia
• de Segurança
• Resolução analítica e computacional de
  problemas reais

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Etapas do Projeto

• Estudo da teoria concernente aos modelos
  matemáticos e métodos de resolução utilizados
• Correlação com a área de Engenharia
• de Segurança
• Resolução analítica e computacional
• de problemas reais

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1. Estudo da teoria concernente aos modelos
   matemáticos e métodos de resolução utilizados

• Equilíbrio dos Fios
• Flexão de Vigas
• Vibrações de Vigas

Cabo sujeito a cargas concentradas Cabo sujeito
à carga distribuída Cabo sujeito à carga
distribuída com carregamento variável Cabo
sujeito ao próprio peso
Deflexão Flambagem
Vibração longitudinal Vibração transversal
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1. Estudo da teoria concernente aos modelos
   matemáticos e métodos de resolução utilizados

• Equilíbrio dos Fios
• Flexão de Vigas
• Vibrações de Vigas

Cabo sujeito a cargas concentradas Cabo sujeito
à carga distribuída Cabo sujeito à carga
distribuída com carregamento variável Cabo
sujeito ao próprio peso
Deflexão Flambagem
Vibração longitudinal Vibração transversal
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Equilíbrio dos Fios

• Cabos flexíveis e correntes são elementos muito
  utilizados em projetos estruturais para suportar
  e transmitir cargas de um componente a outro.
• Na análise de forças atuantes nos sistemas, o
  peso dos cabos pode ou não ser desprezado,
  conforme o seu valor (baixo ou considerável) em
  comparação às cargas a serem suportadas.
• O cabo é considerado como perfeitamente
  inextensível e flexível.

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1. Equilíbrio dos Fios
1.1 Cabo sujeito a cargas concentradas

• Quando um cabo de peso próprio desprezível
  suporta varias cargas concentradas, este assume a
  forma de vários segmentos de linha reta.
• A solução deste tipo de problema implica nas
  equações de equilíbrio de forças em cada nó (SFx,
  SFy, SMz) e noções básicas de geometria.

Figura 1 Exemplo de um cabo sujeito a cargas
concentradas
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1. Equilíbrio dos Fios
1.2 Cabo sujeito à carga distribuída

• O peso próprio do cabo é desprezível,
  considerando-se apenas o carregamento a que o
  cabo é submetido.
• A partir da análise do diagrama de um
  infinitesimal de cabo (Figura 2), seguida das
  equações de equilíbrio, expansões
  trigonométricas, simplificações, derivações e
  integrações, chega-se à expressão para a curva de
  deslocamentos de um cabo sujeito à carga
  distribuída

• Onde
• C1 e C2 são constantes, a serem determinadas com
  as condições de contorno do problema
• FH é a componente horizontal da força trativa em
  qualquer ponto ao longo do cabo
• Wo é o valor do carregamento a que o cabo está
  submetido quando este é constante

Figura 2 Diagrama de um infinitesimal de cabo
sujeito à carga distribuída
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1. Equilíbrio dos Fios
1.2 Cabo sujeito à carga distribuída - APLICAÇÃO
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1. Equilíbrio dos Fios
1.3 Cabo sujeito à carga distribuída com
carregamento variável

• A formulação para este tipo de problema é
  análoga a do caso anterior (carga distribuída).
• Aqui o carregamento se apresenta variável ao
  longo do cabo.

• Onde
• FH é a componente horizontal da força trativa em
  qualquer ponto ao longo do cabo
• W(x)f(x) é a expressão para o carregamento

Figura 3 - Exemplo de um cabo sujeito a
carregamento variável
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1. Equilíbrio dos Fios
1.4 Cabo sujeito ao próprio peso

• Na análise de forças, o peso do cabo deve ser
  considerado.
• O carregamento ao longo do cabo depende do
  comprimento s do arco e não do comprimento
  projetado x.
• A partir da análise do diagrama de um
  infinitesimal de cabo (Figura abaixo),

seguida das equações de equilíbrio e de

expansões trigonométricas, simplificações,
derivações e integrações, decorrem às
expressões que, combinadas corretamente com as
condições de contorno, determinam a curva de
deslocamentos de um cabo sujeito ao próprio
peso
Figura 4 Diagrama de um infinitesimal de cabo
sujeito ao próprio peso
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1. Equilíbrio dos Fios
1.4 Cabo sujeito ao próprio peso
Expressão para o comprimento do cabo

• Onde
• C1 e C2 são as constantes a serem
  determinadas com o uso das condições de contorno
  do problema
• FH é a componente horizontal da força trativa
  em qualquer ponto ao longo do cabo
• Wo é o valor do peso próprio do cabo

Expressão para o comprimento do vão
Expressões para a curva de deslocamento de um
cabo submetido ao próprio peso
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1. Equilíbrio dos Fios
1.2 Cabo sujeito ao próprio peso - APLICAÇÃO
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1. Estudo da teoria concernente aos modelos
   matemáticos e métodos de resolução utilizados

• Equilíbrio dos Fios
• Flexão de Vigas
• Vibrações de Vigas

Cabo sujeito a cargas concentradas Cabo sujeito
à carga distribuída Cabo sujeito à carga
distribuída com carregamento variável Cabo
sujeito ao próprio peso
Deflexão Flambagem
Vibração longitudinal Vibração transversal
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Flexão de Vigas

• Vigas são elementos estruturais que oferecem
  resistência à flexão devido a cargas aplicadas
• Considera-se a viga como uniforme, homogênea e
  formada por fibras longitudinais
• Quando submetida à ação de uma carga, a
  estrutura delgada se deforma devido à sua
  elasticidade a fibra que coincidia com o eixo de
  simetria da viga (linha imaginária que passa
  pelos centros de gravidade das seções
  transversais) se deforma segundo a curva elástica
  

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2. Flexão de Vigas
2.1 Deflexão de vigas

• A Equação Diferencial de Segunda Ordem
• juntamente com as condições de contorno,
  determinam a expressão da Curva Elástica
• Onde M, o somatório dos momentos, é
  o Momento Fletor da secção
• transversal
• EI é o módulo de rigidez
  à flexão (característico do material)
• e a derivada de segunda
  ordem é obtida do raio de curvatura
• da curva, dado por

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2. Flexão de Vigas
2.1 Deflexão de vigas - APLICAÇÃO
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2. Flexão de Vigas
2.2 Flambagem de vigas

• Viga vertical com carga axial P atuante na
  extremidade superior (Figura 6).
• O comportamento da estrutura é modelado através
  da EDO de segunda ordem, obtida com o cálculo do
  momento fletor para a carga aplicada

• Onde
• P é a carga aplicada longitudinalmente
• EI é o módulo de rigidez do material
• É a expressão da Curva Elástica, com A e B
  determinadas a partir das condições de contorno
  do problema

Figura 6 Viga disposta verticalmente com a ação
de uma carga P.
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2. Flexão de Vigas
2.1 Flambagem de vigas - APLICAÇÃO
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1. Estudo da teoria concernente aos modelos
   matemáticos e métodos de resolução utilizados

• Equilíbrio dos Fios
• Flexão de Vigas
• Vibrações de Vigas

Cabo sujeito a cargas concentradas Cabo sujeito
à carga distribuída Cabo sujeito à carga
distribuída com carregamento variável Cabo
sujeito ao peso próprio
Deflexão Flambagem
Vibração longitudinal Vibração transversal
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Vibrações de vigas

• A vibração transversal, ao contrário da
  longitudinal, é facilmente percebida o
  deslocamento de pessoas sobre uma ponte suspensa
  é um bom exemplo de vibração transversal.
• Na análise de vibrações, os primeiros modos de
  freqüência são os mais importantes uma vez que
  apresentam as maiores amplitudes.

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3. Vibrações de Vigas
3.1 Vibração longitudinal

• A equação para a vibração longitudinal de uma
  estrutura é obtida a partir do equilíbrio
  dinâmico de um elemento infinitesimal na direção
  x (Figura abaixo)
• E a carga, a partir da Lei de Hooke, dada por
• Dão origem à Equação Diferencial Parcial de
  Segunda Ordem
• válida para (0ltxltL, tgt0) e que pode ser resolvida
  com o Método de Separação de Variáveis.

Figura 7 Diagrama de um infinitesimal de viga
para análise do equilíbrio dinâmico

• Onde
• C2 E/r ,
• E é o módulo de Young
• r é a massa específica do material

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3. Vibrações de Vigas
3.1 Vibração longitudinal de vigas - APLICAÇÃO
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3. Vibrações de Vigas
3.2 Vibração transversal

• A equação para a vibração transversal de uma
  estrutura é obtida a partir do equilíbrio
  dinâmico de um elemento infinitesimal na direção
  x (Figura abaixo)
• Da Segunda Lei de Newton (com algumas
  substituições e simplificações), decorre a
  Equação de Euler-Bernoulli
• válida para (0ltxltL e tgt0) e que pode ser
  resolvida com o Método de Separação de
  Variáveis

Figura 8 Diagrama de um elemento infinitesimal
para o equacionamento do equilíbrio dinâmico

• Onde
• c2 EI/Ar , com r massa específica do
  material
• A área da seção
  transversal

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3. Vibrações de Vigas
3.2 Vibração transversal de vigas - APLICAÇÃO
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Etapas do Projeto

• Estudo da teoria concernente aos modelos
  matemáticos e métodos de resolução utilizados
• Correlação com a área de Engenharia
• de Segurança
• iii. Resolução analítica e computacional de
• problemas reais

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• Correlação com a área de Engenharia de Segurança
• (Empresa Colaboradora
• MR Engenharia Empreendimentos e Consultorias Ltda)

• A importância dos cabos de aço no canteiro de
  obras
• Síntese da palestra
• Ordem de Serviço Pedreiro

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A importância dos cabos de aço no canteiro de
obras

• As linhas de vida, usadas em serviços
  periféricos,
• se apresentam ora fixadas em pilares, ora
  em
• tubos suportes.
• Tubo suporte é uma haste cilíndrica de aço,
  fixada
• na base e apoiada nas lajes que atravessa.
• A modelagem usual, para o tubo suporte,
  considera
• a divisão dos esforços em horizontais,
  pressupondo
• a deflexão da barra como similar à de uma
  estrutura
• delgada, sujeita a uma força concentrada
  verticais,
• como a flambagem na estrutura, causada por
  cargas
• axiais.

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1. A importância dos cabos de aço no canteiro de
obras
Figura 9 Cabo de aço sujeito ao próprio peso
31
1. A importância dos cabos de aço no canteiro de
obras
Figura 10 Cabo de aço sujeito ao próprio peso
32
1. A importância dos cabos de aço no canteiro de
obras
Figura 11 Cabo de aço sujeito ao próprio peso e
a cargas concentradas (mosquetão)
33
1. A importância dos cabos de aço no canteiro de
obras
Figura 12 Tubo suporte sujeito a esforço
inclinado
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2. Síntese da palestra Ordem de Serviço
Pedreiro
Figura 13 Ata palestra do dia 08.02.2005
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Etapas do Projeto

• Estudo da teoria concernente aos modelos
  matemáticos e métodos de resolução utilizados
• Correlação com a área de Engenharia
• de Segurança
• Resolução analítica e computacional
• de problemas reais

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• Resolução analítica e computacional de problemas
  reais

• Correias flexíveis
• Deslizamento de cabo sobre roldana
• Deslocamento horizontal sobre plataforma delgada

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Correias Flexíveis

• Dispositivos de transporte vertical no
  canteiro de obras como o guincho em coluna e
  andaimes móveis, como o Suspenso Mecânico

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1. Correias Flexíveis
1.1 Correias flexíveis - APLICAÇÃO
39
2. Deslizamento de Cabo sobre Roldana
2.1 Deslizamento de cabo sobre roldana - APLICAÇÃO
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Agradecimentos

• Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio
  Grande do Sul FAPERGS
• MR Engenharia Empreendimentos e Consultorias
  Ltda, em especial à Eng.ª de Segurança no
  Trabalho Maria Regina Pereira Buss
• Professora Orientadora Elisabeta D Elia
  Gallicchio
• Professores do Curso de Engenharia Civil que
  colaboraram com a pesquisa

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Referências

• ARTICOLO, G. Partial Differential Equations
  Boundary
• Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS,
  New York, US, 1998.
• ASMAR, N. Partial Differential Equations and
  Boundary Value Problems. Prentice-Hall Inc., New
  Jersey, US, 2000.
• AYRES, Frank Jr., Equações Diferenciais, Coleção
  Schaum, 1ª ed, Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico
  S.A., 1952.
• CHOPRA, Anil K., Dynamics of Structures Theory
  and Applications to Earthquake Engineering,
  Prentice-Hall Inc., New Jersey, US, 1995.
• CLAEYSSEN,J., GALLICCHIO, E., TAMAGNA, A.,
  Sistemas Vibratórios Amortecidos, Porto Alegre,
  Editora da UFRGS, 2004.

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Referências

• INMAN, Daniel J., Engineering Vibration,
  Prentice-Hall Inc.,New Jersey, US, 1996
• MERIAN, James L., Mecânica estática, 4ª. ed.,
  Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos,
  1999.
• MERIAN, James L., Mecânica dinâmica, 4ª. ed.,
  Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos,
  1999.
• THOMSON, Willian T., Teoria da vibração com
  aplicações, Editora Interciência, Rio de Janeiro,
  1978.
• WHITE, Richard N.,GERGELY, Peter, SEXSMITH,
  Robert G., Structural Engineering - Introduction
  to Design Concepts and Analysis, V. 1, Canada,
  John Willey sons Inc, 1972.